正弦、余弦、正切函数的简单应用优秀公开课教案

28.2.2

应用举例(1)

学前温故

由直角三角形中除直角外的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做__________．

新课早知

1．从下往上看，视线与水平线的夹角叫做________；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做________．

2．为测楼房BC的高，在距楼房30 m的A处，测得楼顶B的仰角为α，则楼房BC的高为________ m. 3．在解决实际问题时，可以直接或通过作辅助线，构造出直角三角形，化归为解________的问题来解决．

4．如图，小明要测量河内小岛B到河边公路l的距离，在A点测得∠BAD＝30°，在C点测得∠BCD＝60°，又测得AC＝50米，则小岛B到公路l的距离为________米．

答案：学前温故

解直角三角形

新课早知

1．仰角

俯角

2．30tan α

3．直角三角形

4．253

过点B作BE垂直于l，垂足为E.

因为∠BAD＝30°，∠BCD＝60°，所以∠ABC＝∠BAD＝30°，则BC＝AC＝50米．

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BE在Rt△BCE中，sin∠BCE＝BC，所以小岛B到公路l的距离BE＝BC·sin∠3BCD＝50×2＝253(米)．

1．作高构造直角三角形解决实际问题

【例1】

如图是某货站传送货物的平面示意图．为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为30°.已知原传送带AB长为4 m.

(1)求新传送带AC的长度；

(2)如果需要在货物着地点C的左侧留出2 m的通道，试判断距离B点4 m的货物MNQP是否需要挪走，并说明理由．(说明：(1)(2)的计算结果精确到0.1 m，参考数据：2≈1.41，3≈1.73，5≈2.24，6≈2.45)

分析：(1)如图，过A作AD⊥BC于D，通过Rt△ABD求出AD的长，然后再通过Rt△ACD求出AC的长；(2)通过BC的长的计算判断货物是否需要挪走．

2解：(1)如图，作AD⊥BC于点D.在Rt△ABD中，AD＝ABsin 45°＝4×2＝22(m)．

在Rt△ACD中，∵∠ACD＝30°，∴AC＝2AD＝42≈5.6(m)，即新传送带AC的长度约为5.6 m. (2)结论：货物MNQP应挪走．

2在Rt△ABD中，BD＝ABcos 45°＝4×2＝22(m)．

3在Rt△ACD中，CD＝ACcos 30°＝42×2＝26(m)．

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∴CB＝CD－BD＝26－22＝2(6－2)≈2.1(m)．

∵PC＝PB－CB＝4－2.1＝1.9(m)＜2 m，

∴货物MNQP应挪走．

2．利用仰角、俯角解决生活中的测高问题

【例2】为了缓解长沙市区内一些主要路段交通拥挤的现状，交警队在一些主要路口设立了交通路况显示牌(如图)．已知立杆AB的高度是3 m，从侧面D点测得显示牌顶端C点和底端B点的仰角分别是60°和45°.求路况显示牌BC的高度．

分析：在Rt△ABD中，AB＝3 m，∠ADB＝45°，所以可利用解直角三角形的知识求出AD；类似地，可以求出AC. 解：在Rt△ABD中，AB＝3 m，∠ADB＝45°，

所以AD＝AB33＝tan 45°＝1＝3(m)．

tan∠ADBRt△ACD中，AD＝3 m，∠ADC＝60°，所以AC＝ADtan∠ADC＝3×tan 60°＝3×3＝33(m)．

所以路况显示牌BC的高度为(33－3) m.

1．如图，小颖利用有一个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度，已知她与树之间的水平距离BE为5 m，AB为1.5 m(即小颖的眼睛距地面的距离)，那么这棵树高是(

)．

533A.＋2

m

353C.3

m

353＋B.

m 2

D．4 m

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2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在BC上，CD＝3，AD＝BC，且3cos∠ADC＝5，则BD的长是(

)．

A．4

B．3

C．2

D．1

(第2题图) 3．如图，某人站在楼顶观测对面笔直的旗杆AB，CE＝8 m，测得旗杆顶的仰角∠ECA＝30°，旗杆底部的俯角∠ECB＝45°，那么旗杆AB的高度是(

)．

(第3题图) A．(82＋83) m

83

m

C.82＋3

B．(8＋83) m 83

m

D.8＋34．如图，在高出海平面100 m的悬崖顶A处，观测海平面上一艘小船B，并测得它的俯角为45°，则船与观测者之间的水平距离BC＝__________ m.

5．如图，某海岛上的观察所A发现海上某船只B并测得其俯角α＝8°14′，已知观察所A的高AC＝41.11 m，求观察所A到船只B的水平距离BC(精确到1 m)．

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答案：1．A 2．C

求BD需求BC，而BC＝AD，

在Rt△ADC中，CD＝3，

3且cos∠ADC＝5，

∴AD＝5，∴BC＝AD＝5，

∴BD＝2. 3．D

4．100 5．解：根据题意，得∠B＝∠α＝8°14′，在Rt△ABC中，AC＝41.11 m，

AC∴BC＝tan

B≈284(m)．

∴观察所A到船只B的水平距离BC约为284 m.

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