阅读与思考 九连环公开课教案

《九连环》教学设计

——人教A版必修5第二章59页“阅读与思考”栏目

授课教师：

湖北省宜昌市夷陵中学

王方

一、教学内容

（一）教学内容的功能和地位

九连环是中国的一种古老智力游戏，它环环相扣，趣味无穷。本节课选自普通高中课程标准实验教科书人教A版必修5第二章59页阅读与思考栏目“九连环”。在学习了数列的相关知识之后，教材安排了阅读与思考栏目，目的是让学生了解古代人的无穷智慧，感受我国古代数学成就，同时学会经历动手操作、探索规则、提出问题、建立模型、解决问题、方法应用的学习过程，了解九连环的解环方法，在具体问题情景中发现数列的递推关系。培养自主思考、合作探究的学习方式，加强问题意识，提高学生思维能力。

（二）学生的学情分析

课前进行学情调查，发现班级里只有少数学生精通九连环，大部分学生对其知之甚少，或者不知道如何把玩九连环，但学生们普遍都对九连环有浓厚的好奇心，有强烈的求知欲。另外，此时的学生们已经学习了数列的相关知识后，掌握了数列的递推关系，了解了数列的一些性质，同时，在已有的学习经验中，已经知道了归纳、类比、递归等处理问题的思想方法。

二、教学目标

（1）经历动手操作、探索规则、提出问题、建立模型、解决问题、方法应用的学习过程，了解九连环的解环方法，在具体问题情景中发现数列的递推关系。

（2）体会求解过程中的化归、递归、类比、函数、归纳等思想方法。

（3）通过了解九连环的历史，让学生感受到我国古代数学成就，激发学生的民族自豪感；通过学生课前、课内、课后自主、合作探究的学习方式，培养学生问题意识，提高学生思维能力，孕育学生创新精神；体会数学源于实践并应用于实践。

三、教学重点与难点

教学重点：九连环的下环方法，及其中间蕴含的数列的递推关系

教学难点：九连环的下环过程，及其中间蕴含的数列的递推关系

四、教学策略及设计

“数学教学是数学活动的教学”，“数学活动是思维的活动”，新课标也在倡导独立自主、合作交流、积极主动、勇于探索的学习方式。基于这种理念的指导，在教法上采用探究发现式课堂教学模式，在学法上以学生独立自主和合作交流为前提，教学过程中注意生活实际的引入，使学生体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。

因此设计流程如右所示：

1

五、教学过程

教学环节

介绍历史，

引入新课

近观连环，认识结构

初解连环，总结规律

教学内容

1.介绍历史，引入新课

由世界上三大智力玩具，其中的两种都是来源于中国，引出九连环。引导学生感受古人智慧，激发学生产生爱国情怀。

老师播放视频，介绍九连环的历史，吸引学生的兴趣，引入新课。九连环——聪明的代表，智慧的象征。

师生活动

问题：世界上三大智力玩具是什么？什么是华容道？

活动：学生自愿回答，老师播放九连环相关视频。

教师实物展示，在教室来回走动，引导更多学生观察到位，必要时让学生动手操作感受。

问题：解九连环(从满贯状态到零状态)最少需要多少步？

2.近观连环，认识结构

（1）老师实物展示：介绍九连环的结构，引导学生认识九连环“环环相扣”的特征，了解九连环的两种状态：满贯状态和零状态。

（2）提问：解九连环(从满贯状态到零状态)最少需要多少步？

3.初解连环，总结规律

（1）老师指出：解九连环很复杂，我们从最简单的一连环、问题：解下一连环、二连环、二连环、三连环开始，由简单到复杂，慢慢探索规律。考虑到学生在课下已经提前预习，并尝试解下一至四连环，所以下面以小组为单位，交流分享解环过程及经验。

解环

解1连环

解2连环

解3连环

解4连环

具体操作步骤

规律

三连环的具体过程是？由此，你得到解环的哪些方法与技巧？

学生小组讨论，小组代表发言。在发言的过程中，教师记录发言结果，

在黑板上写下解环过程，在白板上写下学生总结的规律。

2 生答：①1号环可以自由上下，1号2号环可同时上下；

②要想下/上第n个环，n>2，必须满足两个条件：第n-1个环在环柄上；前n-2个环全不在环柄上.（教师补充：哦，我需要且只需要前一环为我保驾护航！）

③上环和下环是互逆的过程。

比赛解环，再悟规律

（2）探究：设解下n连环需要移动连环的最少次数为an.再次回顾上述过程，把表格补充完整。

解环

解1连环

解2连环

解3连环

解4连环

移动圆环所需的最少步数an

规律

教师指出：为了检验同学对这个规律的理解程度，下面请大家以小组为单位，进行解四连环比赛。

4.

比赛解环，再悟规律

（1）

以小组为单位，根据总结的解环规律，比赛解下四连环或五连环。小组其他成员负责记录解环具体操作过程.

比赛：以小组为单位，进行解四连环比赛，最快解下四连环的获胜！

比赛规则：比赛前，所有同学把手中的连环还原到初始状态，记录：小组代表在黑板上写比赛开始后，每组共6个代表同时把四连环从“满贯状态”解下来，同时其他组员记录四连环的解环过程。最先解开四连环的赢得比赛！

解环

解4连环

具体操作步骤

规律

下解环过程。老师引导学生进一步发现规律。

下2

下1

下4

上1

上2 下1

下3

上1

下2

a42a21a3

下1

总结: 老师引导学生找出递推关系，解四连环=下二连环+1+上二连环+下三连环

（2）老师指出：在解四连环的这个过程中，你有什么新的发现？要想下第4环，须先取下前2环（即解二连环），下第四环，为了解第3环，再上前两环（上二连环），上了二连环后，

柄上就剩下三连环，问题转化成解三连环的过程。

（3）操作: 按照这个规律递推，解五连环需要移动圆环最少是多少次？操作检验，确认你的答案。

（4）探究：这个递推关系可以推广到六连环、七连环、八连环、九连环吗？运用数学中的“二进制”表示连环状态：在柄操作确认：学生操作五连环，再次确认这个递推关系。

上记为1，在柄下记为0.回顾上述过程，把连环的状态用二进问题解决：这个递推关系可制数表示，推导解九连环需要移动圆环的次数. 以推广到六连环、七连环、

3

反思规律，妙用连环

解环

解6连环

解7连环

解8连环

解9连环

移动圆环所需的最少步数an

八连环、九连环吗？

运用规律，解决问题：解九连环就是将九连环从满贯状态111111111变到零状态000000000.

请同桌讨论解决，并请一位学生上台展示他解决的成（1）华生问题：上个世纪70年代早期，美国一家生产玩具的公司老板杰西华生提出这样一个问题：假设九连环的初始状态是只有最靠近柄把的一个环在柄上，其他所有的环都在柄下，问解开这个九连环最少需要多少步？

（2）九连环与二进制数

考察九连环的解法过程可以发现，每一个环只有两种状态：在柄上或者柄下，而解环的操作也只有上下两种，就是将环在这两种状态之间变换。如果用0和1表示这两种状态，1—表示环在柄上，0—表示环在柄下。那么解环过程的每一种状态就对应一个九位二进制数，解环的过程就可用一系列的二进制数表示出来。

果.

教师引导学生回答，作出评价。

4 5.反思规律，妙用连环

师生共同探究，引导学生思考，“反思解法，提新

（3）九连环与格雷码

仔细一看，二进制数跟九连环序码虽然相近，但并不是完全一致的，有一些数对应相同，但有一些九连环码对应不同。早在1935年，美国的数学家格雷发明的“格雷码”，是一种比二进制数更优化的一种编码方式。我们可以实现格雷码与二进制数之间的转化，转化后，你会惊奇的发现，九连环序号和格雷码竟然完全一致！不得不感叹古人的智慧。

问题；妙用连环，变化无穷”，以体现让不同的学生得到不同的发展，让学生感受古人的智慧，数学的神奇。

（4）千变万化的九连环

随着人们对九连环的认识与了解，热爱巧环的民间人士对九连环进行了研究及开拓创新，各种各样的新式九连环悄然出现在民间。下面请同学们一起欣赏各式各样的九连环。

6.总结收获，分享心得

“有人说，数学枯燥，其实数学并不枯燥，它是生动的、形总结收获，学生交流收获，自由分享感象的、丰富多彩的.我们的祖先把玩具和数学结合起来，创造分享心得

出数学玩具,使玩具有了数学的文化底蕴，使数学有了玩具的受。

形象载体：珠联璧合，相得益彰，真是太好了！

——数学家吴文俊院士

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