阅读与思考 九连环精品学案

九连环---选自人教A版阅读与思考九连环

枝江市第一高级中学

徐万军

一、教学目标

知识与技能方面：（1）理解用化归、递推、类比、函数等思想解决九连环计数问题的方法；（2）能在具体问题情境中发现数列的递推关系。

过程与方法方面：（1）经历动手操作、探索规则、提出问题、建立模型、解决问题、方法应用的学习；（2）体会求解过程中的化归、递推、类比、函数等思想方法。

情感态度价值观：（1）通过了解九连环的历史，让学生感受到我国古代数学成就，激发学生的民族自豪感；（2）通过学生课前、课内、课后自主、合作探究的学习方式、培养学生问题意识，提高学生思维能力，孕育学生创新精神；（3）通过九连环计数数列使学生体会数学源于实践并应用于实践。

二、教学重难点

教学重点：解九连环的策略与方法，结合递推公式求解九连环的最少移动步数；

教学难点：将九连环问题转化为数列递推公式的过程。

三、教法学法

遵循“以学生为主体、教师是数学课堂活动的组织者、引导者和参与者”的现代教育原则，采用“启发式教学法”，学生主要采用“探究式学习法”，

并利用多媒体辅助教学．

四、教学过程

（一）九连环的历史（一组图片古今中外男女老少解九连环）

九连环是中国人的发明，这是毋庸置疑的。宋代（公元960-1279）已经流行，至今已有800多年的历史。有关它的发明史，还有一些不同的说法。

1、春秋战国说

《战国策·齐策六》：“秦昭王尝遣使者遗君王厚玉连环，曰：‘齐多智，而解次环否？’君王后以示群臣，群臣不知解，君王后引锥椎破之，谢秦使曰：‘谨以解矣！’”有人以此认为早在春秋战国时就有了九连环玩具。这“玉连环”是否就是现在所说的九连环，还须证据。但那时就已经有了连环之类的玩具。

2、西汉说

西汉司马相如与妻子通信，妻子回信中有：

一别之后，二地相思。都说是三四月，谁又知五六年。七弦琴无心弹，八行书不可传。九连环从中折断，十里长亭望眼欲穿。百思想，千系念。万般无奈，把郎怨。

这里明确用了“九连环”这个词。是连在一起的能玩的玩具一类的东西。3、三国说

认为是诸葛亮发明，但这并无证据，估计是由于诸葛亮是智慧的代表，特别是他能造出木牛流马这样不可思议的东西。那么不知来历的巧妙玩意儿，想孔明锁、孔明灯，都冠以诸葛的名字，也就不奇怪。

总之，九连环产生在古代中国，这已为世界所公认。

又在《红楼梦》第七回中，就有大观园中小姐们玩九连环的描写，······周瑞家的奉薛姨妈之命，送一些宫制的堆纱假花给园子里的姑娘们，没人两朵。找黛玉时，“谁知此时黛玉不在自己房中，却在宝玉房中大家解九连环玩呢”。

（二）九连环的结构（结合实物自然语言直接描述）

1、

环钗与环柄：由一根金属丝制成

2、

环杆板：一椭圆金属盘钻有9个小孔，可穿环杆

3、

环与环杆：环有金属丝制成，每一环带一金属环杆

将环及环杆编号每一个环有环杆穿过下一个环，再连接到环座上。从而使九个环成叠错相连的关系，九连环的奥秘就是由它们的这种结构引起的。

环柄19 8 7 6 5 4 3 2柄钗柄把环杆板环环杆

（三）九连环的解法

1、归纳解环规则．课前进行学情调查，发现班级里只有少数学生精通九连环，大部分学生对其知之甚少，因此让学生在课前进行小组合作，探究解环规则，在课内进行交流得出。课堂中完成两个任务，任务一：解下前三个环与复原前三个环，任务二

：前五个环的解下与复原．让学生以小组为单位解三，五连环，操作：将五连环从“满贯状态”变成“零状态”．记录：五连环经过哪些变化状态？探究：上述变化过程中有什么规律？并请每个小组派代表上台比赛解五连环．类比得解九连环过程．建立模型，解决问题．自主探究：如何将九连环从“满贯状态”变成“零状态”？

解九连环的要点：

（1）第一环可以自由上下；

（2）要想下/上第n个环n3，必须满足两个条件：

①第n1个环在环柄上；

②前n2个环全不在环柄上。

2、教师向学生明确任务：解九连环就是将九连环从满贯状态111111111变到零状态000000000．教师提问：在这个过程当中有什么数学问题？解九连环（从满贯状态到零状态）最少需要移动多少步？（每次只移动一个环）

（四）九连环与递推公式

下面我们一起来探究一下.大家知道要解下九连环，必须先解下前七环；要解下前七环，必须先解下前五环；要解下前五环，必须先解下前三环；要解下前三环，必须先解下第一环.它们之间存在着一种递推关系，故我们可以用刚学过的递推数列来表示，我们用通项an表示解下前n环所需的最少移动次数.要解下

九连环须分为四个步骤1.解下前七环；2.解下第九环；3.套上前七环；4解下前八环.结合flash得到：a92a71a8再归纳得到一个递推公式：an2an2an11n3. 利用递推公式a11，a22，a32a11a25，a42a21a310，a52a31a421，a62a41a542，a72a51a685，a82a61a7170，a92a71a8341； （五）由递推公式求通项公式

探究：已知a11，a22，an2an2an11n3，求数列an通项公式

回忆复习已知递推公式求通项公式的方法。

证明过程：（1）an2an2an11 an-12an3an21

（1）

（2） 12得an2an1an22an3

anan22an1an3

记bnanan2 则bn2 bn1 当n3时，bn是一个等比数列

(2)由(1)知bnb3qn342n32n1anan22n1

当n为奇数时：a3a122a5a324a7a526anan22n1以上式子相加:ana1222426an2022242612n11n1(21)12232n12n1

当n为偶数时：a4a223a6a425a8a627anan22n1以上式子相加:ana2232527an212325272n12n1

2(12n)1n1(22)21231n1223综上知an12n113当n为偶数时

当n为奇数时（六）小结：（1）解九连环的诀窍；

（2）本节课的收获：

知识层面：数列的递推公式

思想层面：由递推公式求通项公式，构造法，累加法

方法层面：化归与转化，分类讨论

（七）课外探究题：

（1）阅读：书本P59-60阅读与思考题，了解求解九连环最少步数另一种解法

（2）了解九连环与格雷码，二进制有什么样的关系？

（3）华生问题：上个世纪70年代早期，美国一家生产玩具的公司老板杰西华生（Jesse R. Watson）提出这样一个问题：假设九连环的初始状态是只有最靠近柄把的一个环在柄上，其他所有的环都在柄下，问解开这个九连环最少需要多少步？ （八）板书设计：

1、九连环的玩法 2、九连环的步数

（1）第一环可以自由上（下）

（2）要想上（下）第n环（n>2），必须满足两个条件：

（I）第n-1环在环柄上 （II）前n-2个环不在环柄上

五、教学反思

本节课主要以学生为主体，教师为主导完成教学。通过介绍九连环的历史，让学生感受到我国古代数学成就，激发学生的民族自豪感。介绍九连环的结构，并引导学生探究九连环的解开与复原，并猜想出联想出九连环解开n个环所需的最少步数的递推公式，培养学生问题意识，提高学生思维能力，孕育学生创新精神。最后由教师带领学生完成递推公式得出通项公式的过程，通过九连环计数数列使学生体会数学源于实践并应用于实践课堂中主要让学生自己操作。