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第五章

数列 第4节

复杂数列的求和问题 编号：GSY5-004

复杂数列的求和问题

【考纲解读】

数列的公式法求和、裂项求和是学生必须掌握的内容，是每年高考必考内容之一；

【学习目标】

1．掌握等差数列、等比数列的前n项和公式．

2．掌握列项求和法．

一．课前参与设计

：

（一）、公式法

1．直接利用等差数列、等比数列的前n项公式求和

(1)等差数列的前n项和公式Sn＝____________＝____________ ． (其中a1为首项，d为公差) (2)等比数列的前n项和公式

当q1时，Sn＝______；

当q1时，Sn＝____________＝____________．(其中a1为首项，q为公比) （二）、裂项相消法：

把数列的通项拆成__________，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．

常用的裂项公式：

1(1)＝________________；

n（n＋1）1(2)＝________________；

（2n－1）（2n＋1）1(3)＝________________；

n＋n＋1

二．课堂参与设计【例题及变式】：

（一）、公式法[来源:学科网ZXXK]

例1.设{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S77，S1575，Tn为数列{

Sn}的前n项和，求Tn．

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数列 第4节

复杂数列的求和问题 编号：GSY5-004

变式1.【2017届巴蜀中学高三月考】已知数列{an}满足3an1an0，a2的前10项的和等于（ ）

A.6(13

变式2.（14.全国2.理17.改）已知数列an满足a1=1，an13an1. （Ⅰ）证明an1是等比数列，并求an的通项公式；

104，则{an}31) B.(1310) C.3(1310) D.3(1310)

92（Ⅱ）证明：

11…+11.. a11a21an1（二）、裂项相消法

例2. (山东省烟台市高三统一质量检测考试)已知数列{an}前n项和为Sn，首项为a1，且，an，Sn成等差数列．

（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）数列{bn}满足bn(log2a2n1)(log2a2n3)，求证：

变式1.已知知函数f(x)xbx的图象在点A(1,f(1))处的切线l与直线3xy20平行，若数列{2121b11111...．

b2b3bn21}的前n项和为Sn，则S2013的值为(

) f(n)2012201120102013 B. C. D.201320122011

A.2014变式2.【2016届湖南省长沙明德中学高三上第三次月考】数列1，11，，…，121231的前n项和Sn

（ ）

123n3n12n3n4nA． B． C． D．

n1n1n1n3

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复杂数列的求和问题 编号：GSY5-004

（三）、拓展提升，归纳总结

1.裂项相消法求和的原理及注意问题

①原理：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．

②注意：在相加抵消过程中，有的是依次抵消，有的是间隔抵消，特别是间隔抵消时要注意规律性．

③一般地，若{an}为等差数列，则求数列{an＋1－an111d＝＝·(). danan＋1danan＋1daann111事实上，}的前n项和可尝试此方法，anan＋1anan1＝2.用裂项法求和的裂项原则及规律

（1）裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项直到发现被消去项的规律为止．

（2）消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项．

（3）常见式的裂项

11111111()

()

、24n122n12n1n(nk)knnk1n1n

、loga(1)loga(n1)logan

nnn11

三．课后参与设计

1．【2017届云南曲靖一中高三理上学期月考】已知等差数列an的前n项和为Sn，又知S10lnxdx，S2011，则S30为（

）

1eA．21

B．30

C．48

D．50 2．【2017届河北武邑中学高三周考】设曲线yx图形的面积为an，设bnanan1，则b1b2A．nxN与x轴及直线x1围成的封闭b2012（

）

201120122013503

B．

C.

D．

20122013201410073．【

2017届安徽百校论坛高三上学期联考】已知函数an满足an11an1，且a11，2an3

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则数列2的前20项和为

．

an11an1an2an，，对任意nN，34．【2017届湖南长沙一中高三月考】数列{an}满足a12016则an11的整数部分是

. n15．【2017届安徽淮北一中高三上学期四模】已知数列an的前n项和为Sn,满足

3a1,a22,2Sn2Sn4Sn11, 则数列an的前n项和Sn__________. 26.【2016届云南省玉溪市一中高三上学期期中】数列{an}的通项ann2(cos2nnsin2)，其前n项和为Sn，则S30为

．

337.（13.全国2.文17）（17）（本小题满分12分）

已知等差数列{an}的公差不为零，a125，且a1,a11,a13成等比数列。

（Ⅰ）求{an}的通项公式；

（Ⅱ）求a1a4+a7a3n2；

8.（15.全国1.理17）

2 Sn为数列{an}的前n项和.已知an＞0，anan=4Sn3. （Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn

1 ,求数列anan1}的前n项和

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