信息技术应用 估计√2的值ppt课件教学实录

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空间点、直线、平面之间的位置关系

2．1.1

平面

预习课本P40～43，思考并完成以下问题

1．平面的表示方法有哪些？

2．公理1、公理2、公理3的内容是什么？

3．公理1、公理2、公理3各自的作用是什么？

4．点、线、面之间的位置关系用符号怎样表示？

[新知初探]

1．平面的概念

几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的．几何里的平面是无限延展的．

2．平面的画法

(1)水平放置的平面通常画成一个平行四边形，它的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍．如图①. (2)如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用虚线画出“备课大师”全科【9门】：免注册，不收费！http://www.eywedu.cn/

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来．如图②.

3．平面的表示法

图①的平面可表示为平面α、平面ABCD、平面AC或平面BD. [点睛]

(1)平面和点、直线一样，是只描述而不加定义的原始概念，不能进行度量；

(2)平面无厚薄、无大小，是无限延展的．

4．平面的基本性质

公理

内容

如果一条直线上的公理1

两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内

A，B，C三点不共过不在一条直线上公理2

的三点，有且只有一个平面

如果两个不重合的平面有一个公共点公理3

，那么它们有且只有一条过该点的公共直线

[点睛]

对公理2必须强调是不共线的三点．

P∈α，P∈β⇒用来证明空间的点共线和线共点

线⇒用来确定一个平面

A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α

用来证明直线在平面内

图形

符号

作用

存在唯一的α使A，B，C∈α

α∩β＝l，且P∈l [尝试应用]

1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)空间不同三点确定一个平面(

) (2)空间两两相交的三条直线确定一个平面(

) (3)和同一直线都相交的三条平行线在同一平面内(

) 答案：(1)×

(2)×

(3)√

2．有以下命题：

(1)8个平面重叠起来要比6个平面重叠起来厚；

(2)有一个平面的长是50 m，宽是20 m；

(3)平面是无厚度、可以无限延展的抽象的数学概念．

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其中正确命题的个数为(

) A．0

C．2

B．1 D．3 解析：选B

平面是无厚度的，故(1)错；平面是无限延展的，不可度量，故(2)错；平面是无厚度、无限延展的，故(3)正确．正确命题的个数为1. 3．根据右图，填入相应的符号：A__________平面ABC，A________平面BCD，BD________平面ABC，平面ABC∩平面ACD＝________.

答案：∈

∉

⊄

AC

文字语言、图形语言、符号语言的相互转化

[典例] 根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系．

(1)点P与直线AB；

(2)点C与直线AB；

(3)点M与平面AC；

(4)点A1与平面AC；

(5)直线AB与直线BC；

(6)直线AB与平面AC；

(7)平面A1B与平面AC. [解] (1)点P∈直线AB. (2)点C

∉直线AB. (3)点M∈平面AC. (4)点A1∉平面AC. (5)直线AB∩直线BC＝点B. (6)直线AB⊂平面AC. (7)平面A1B∩平面AC＝直线AB.

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三种语言的转换方法

(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示．

(2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别．

[活学活用] 1．若点M在直线a上，a在平面α内，则M，a，α间的关系可记为(

) A．M∈a，a∈α

C．M⊂a，a⊂α

B．M∈a，a⊂α

D．M⊂a，a∈α

解析：选B

根据点与线、线与面之间位置关系的符号表示可知B正确．

2．用符号语言表示下列语句，并画出图形：

(1)三个平面α，β，γ相交于一点P，且平面α与平面β相交于PA，平面α与平面γ相交于PB，平面β与平面γ相交于PC；

(2)平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC相交于AC. 解：(1)符号语言表示：α∩β∩γ＝P，α∩β＝PA，α∩γ＝PB，β∩γ＝PC，图形表示：如图(1)．

(2)符号语言表示：平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC，图形表示：如图(2)．

题点一：点线共面问题

1.如图，已知直线a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.求证：a，b，c，l共面．

证明：∵a∥b，∴a，b确定一个平面α. ∵l∩a＝A，l∩b＝B，

∴A∈α，B∈α. 又∵A∈l，B∈l，∴l⊂α. ∵b∥c，∴b，c确定一个平面β. 同理可证l⊂β. 于是b⊂α，l⊂α，b⊂β，l⊂β，即α∩β＝b，α∩β＝l. “备课大师”全科【9门】：免注册，不收费！http://www.eywedu.cn/ 平面的基本性质的应用

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又∵b与l不重合，

∴α与β重合，

∴a，b，c，l共面．

点线共面问题是指证明一些点或直线在同一平面内的问题，主要依据是公理1、公理2．解决该类问题通常有三种方法：(1)纳入平面法，先由部分元素确定一个平面，再证其他元素也在该平面内；(2)辅助平面法(平面重合法)，先由有关的点、线确定平面α，再由其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合；(3)反证法．通常情况下采用第一种方法．

题点二：点共线问题

2.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，设线段A1C与平面ABC1D1交于点Q，求证：B，Q，D1三点共线．

证明：如图，连接A1B，CD1，显然B∈平面A1BCD1，D1∈平面A1BCD1. ∴BD1⊂平面A1BCD1. 同理BD1⊂平面ABC1D1. ∴平面ABC1D1∩平面A1BCD1＝BD1. ∵A1C∩平面ABC1D1＝Q，

∴Q∈平面ABC1D1. 又∵A1C⊂平面A1BCD1，

∴Q∈平面A1BCD1. ∴Q在平面A1BCD1与ABC1D1的交线上，即Q∈BD1，

∴B，Q，D1三点共线．

点共线问题是证明三个或三个以上的点在同一条直线上，主要依据是公理3.解决此类问题常用以下两种方法：(1)首先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3知，这些点都在这两个平面的交线上；(2)选择其中两点，确定一条直线，然后证明其他点也在这条直线上．

题点三：三线共点问题

3．已知：平面α，β，γ两两相交于三条直线l1，l2，l3，且l1，l2不平行．求证：l1，l2，l3相交于一点．

证明：如图，α∩β＝l1，β∩γ＝l2，α∩γ＝l3. ∵l1⊂β，l2⊂β，且l1，l2不平行，

∴l1与l2必相交．设l1∩l2＝P，

则P∈l1⊂α，P∈l2⊂γ，

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∴P∈α∩γ＝l3，

∴l1，l2，l3相交于一点P.

证明三线共点问题的基本方法是，先确定待证的三线中的两条相交于一点，再证明第三条直线也过该点．常结合公理3，证出该点在不重合的两个平面内，故该点在它们的交线(第三条直线)上，从而证明三线共点．

层级一

学业水平达标

1．下列说法中正确的是(

) A．三点确定一个平面

B．四边形一定是平面图形

C．梯形一定是平面图形

D．两个不同平面α和β有不在同一条直线上的三个公共点

解析：选C

不共线的三点确定一个平面，故A不正确；四边形有时指空间四边形，故B不正确；梯形的上底和下底平行，可以确定一个平面，故C正确；两个平面如果相交，一定有一条交线，所有这两个平面的公共点都在这条交线上，故D不正确．故选C. 2．给出以下四个命题：

①不共面的四点中，其中任意三点不共线；

②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则点A，B，C，D，E共面；

③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；

④依次首尾相接的四条线段必共面．

其中正确命题的个数是(

) A．0

C．2

B．1 D．3 解析：选B

①假设其中有三点共线，则该直线和直线外的另一点确定一个平面，这与四点不共面矛盾，故其中任意三点不共线，所以①正确；②如图，两个相交平面有三个公共点A，B，C，但A，B，C，D，E不共面；③显然不正确；④不正确，因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上，如空间四边形．

3．在空间四边形ABCD中，在AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果GH，EF交于一点P，则(

) A．P一定在直线BD上

B．P一定在直线AC上

C．P在直线AC或BD上

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D．P既不在直线BD上，也不在AC上

解析：选B

由题意知GH⊂平面ADC.因为GH，EF交于一点P，所以P∈平面ADC.同理，P∈平面ABC.因为平面ABC∩平面ADC＝AC，由公理3可知点P一定在直线AC上．

4．用一个平面截正方体所得的截面图形不可能是(

) A．六边形

C．菱形

B．五边形

D．直角三角形

解析：选D

可用排除法，正方体的截面图形可能是六边形、五边形、菱形，故选D. 5．下列各图均是正六棱柱，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的图形是(

)

解析：选D

在选项A、B、C中，由棱柱、正六边形、中位线的性质，知均有PS∥QR，即在此三个图形中P，Q，R，S共面，故选D. 6．用符号表示“点A在直线l上，l在平面α外”为________．

答案：A∈l，l⊄α

7．如图，看图填空：

(1)平面AB1∩平面A1C1＝________；

(2)平面A1C1CA∩平面AC＝________.

答案：A1B1

AC

8．已知空间四点中无任何三点共线，那么这四点可以确定平面的个数是________．

解析：其中三个点可确定唯一的平面，当第四个点在此平面内时，可确定1个平面，当第四个点不在此平面内时，则可确定4个平面．

答案：1或4 9.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，判断下列命题是否正确，并说明理由．

(1)由点A，O，C可以确定一个平面；

(2)由点A，C1，B1确定的平面为平面ADC1B1. 解：(1)不正确．因为点A，O，C在同一条直线上，故不能确定一个平面．

(2)正确．因为点A，B1，C1不共线，所以可确定一个平面．又因为AD∥B1C1，所以点D“备课大师”全科【9门】：免注册，不收费！http://www.eywedu.cn/

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∈平面AB1C1.所以由点A，C1，B1确定的平面为平面ADC1B1. 10．按照给出的要求，完成图中两个相交平面的作图，图中所给线段AB分别是两个平面的交线．

解：以AB为其中一边，分别画出表示平面的平行四边形．如图．

层级二

应试能力达标

1．如果直线a⊂平面α，直线b⊂平面α，M∈a，N∈b，M∈l，N∈l，则(

) A．l⊂α

C．l∩α＝M

B．l⊄α

D．l∩α＝N

解析：选A

∵M∈a，a⊂α，∴M∈α，同理，N∈α，又M∈l，N∈l，故l⊂α. 2．下列命题正确的是(

) A．一条直线和一点确定一个平面

B．两条相交直线确定一个平面

C．四点确定一个平面

D．三条平行直线确定一个平面

解析：选B

根据一条直线和直线外的一点确定一个平面，知A不正确；B显然正确；C中四点不一定共面，故C不正确；三条平行直线可以确定一个平面或三个平面，故D不正确．故选B. 3．下列命题中，正确的是(

) A．经过正方体任意两条面对角线，有且只有一个平面

B．经过正方体任意两条体对角线，有且只有一个平面

C．经过正方体任意两条棱，有且只有一个平面

D．经过正方体任意一条体对角线与任意一条面对角线，有且只有一个平面

解析：选B

因为正方体的四条体对角线相交于同一点(正方体的中心)，因此经过正方体“备课大师”全科【9门】：免注册，不收费！http://www.eywedu.cn/

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任意两条体对角线，有且只有一个平面，故选B. 14．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱DD1和BB1上的点，MD＝DD1，NB31＝BB1，那么正方体的过点M，N，C1的截面图形是(

) 3A．三角形

C．五边形

B．四边形

D．六边形

解析：选C

在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱DD111和BB1上的点，MD＝DD1，NB＝BB1.如图，延长C1M交CD于点P，33延长C1N交CB于点Q，连接PQ交AD于点E，AB于点F，连接NF，ME，则正方体的过点M，N，C1的截面图形是五边形．故选C. 5．已知α，β是不同的平面，l，m，n是不同的直线，P为空间中一点．若α∩β＝l，m⊂α，n⊂β，m∩n＝P，则点P与直线l的位置关系用符号表示为________．

解析：因为m⊂α，n⊂β，m∩n＝P，所以P∈α且P∈β.又α∩β＝l，所以点P在直线l上，所以P∈l. 答案：P∈l

6．在长方体ABCD-A1B1C1D1的所有棱中，既与AB共面，又与CC1共面的棱有________条．

解析：作图并观察可知既与AB共面，又与CC1共面的棱有CD，BC，BB1，AA1，C1D1，共5条．

答案：5 7.如图所示，AB∩α＝P，CD∩α＝P，A，D与B，C分别在平面α的两侧，AC∩α＝Q，BD∩α＝R. 求证：P，Q，R三点共线．

证明：∵AB∩α＝P，CD∩α＝P，

∴AB∩CD＝P. ∴AB，CD可确定一个平面，设为β. ∵A∈AB，C∈CD，B∈AB，D∈CD，

∴A∈β，C∈β，B∈β，D∈β. ∴AC⊂β，BD⊂β，平面α，β相交．

∵AB∩α＝P，AC∩α＝Q，BD∩α＝R，

∴P，Q，R三点是平面α与平面β的公共点．

∴P，Q，R都在α与β的交线上，故P，Q，R三点共线．

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8.如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AD>BC，P，Q，M，N分别为AA1，BB1，CC1，DD1上的点，设PQ与NM的交点为S，AB与DC的交点为R，A1B1与D1C1的交点为G.求证：R，S，G三点共线．

证明：因为P，Q，M，N分别为AA1，BB1，CC1，DD1上的点，PQ∩NM＝S，

所以S∈MN，MN⊂平面CC1D1D，S∈PQ，PQ⊂平面AA1B1B，

所以S∈平面CC1D1D，且S∈平面AA1B1B，

所以S在平面AA1B1B与平面CC1D1D的交线上．

同理可证：R，G也在平面AA1B1B与平面CC1D1D的交线上，

所以R，S，G三点共线．

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