1.1 回归分析的基本思想及其初步应用特级教师教学实录

1．平面向量基本定理

如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 其中，不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．

2．平面向量的坐标运算

(1)向量加法、减法、数乘及向量的模

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则

a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，

2λa＝(λx1，λy1)，|a|＝x1＋y21. (2)向量坐标的求法

①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．

→→②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝(x2－x1，y2－y1)，|AB|＝x2－x12＋y2－y12. 3．平面向量共线的坐标表示

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a、b共线⇔x1y2－x2y1＝0.

【知识拓展】

1．若a与b不共线，λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0. x1y12．设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，如果x2≠0，y2≠0，则a∥b⇔＝. x2y2

【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．(

×

) (2)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.(

√

) (3)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示．(

√

) (4)若a＝(x＝(xx1，y1)，b2，y2)，则a∥b的充要条件可表示成1y1x＝2y2.(

×

) (5)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．(

√

)

1．设e1，e2是平面内一组基底，那么(

) A．若实数λ1，λ2使λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＝λ2＝0 B．空间内任一向量a可以表示为a＝λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2为实数) C．对实数λ1，λ2，λ1e1＋λ2e2不一定在该平面内

D．对平面内任一向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的实数λ1，λ2有无数对

答案

A 2．(教材改编)已知a1＋a2＋…＋an＝0，且an＝(3,4)，则a1＋a2＋…＋an－1的坐标为(A．(4,3)

B．(－4，－3) C．(－3，－4)

D．(－3,4) 答案

C 解析

a1＋a2＋…＋an－1＝－an＝(－3，－4)．

3．(2015·课标全国Ⅰ)已知点A(0,1)，B(3,2)，向量AC→＝(－4，－3)，则向量BC→等于(

A．(－7，－4)

B．(7,4) C．(－1,4)

D．(1,4) 答案

A 解析

AB→＝(3,1)，AC→＝(－4，－3)，BC→＝AC→－AB→＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．4．已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋nb与a－2b共线，则mn＝________. 答案

－12

) )

解析

由已知条件可得ma＋nb＝(2m,3m)＋(－n,2n)＝(2m－n,3m＋2n)，a－2b＝(2,3)－(－2,4)2m－n3m＋2nm1＝(4，－1)．∵ma＋nb与a－2b共线，∴＝，即n－2m＝12m＋8n，∴＝－. 4n2－15．(教材改编)已知▱ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5,6)，则顶点D的坐标为________．

答案

(1,5) →→解析

设D(x，y)，则由AB＝DC，得(4,1)＝(5－x,6－y)，

4＝5－x，x＝1，即解得

1＝6－y，y＝5.

题型一

平面向量基本定理的应用

例1

在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与→→→CD交于点F.若AC＝a，BD＝b，则AF等于(

) 11A.a＋b

4221C.a＋b

33答案

C →→解析

∵AC＝a，BD＝b，

11B.a＋b

2412D.a＋b

33

→→→∴AD＝AO＋OD

1→1→11＝AC＋BD＝a＋b. 2222DE1∵E是OD的中点，∴＝，

EB31∴DF＝AB. 3→1→1→→∴DF＝AB＝(OB－OA) 3311→1→＝×[－BD－(－AC)] 322

1→1→11＝AC－BD＝a－b，

6666→→→1111∴AF＝AD＋DF＝a＋b＋a－b

226621＝a＋b，

33故选C. 思维升华

平面向量基本定理应用的实质和一般思路

(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．

(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．

→1→→→2→

如图，在△ABC中，AN＝NC，P是BN上的一点，若AP＝mAB＋AC，则实311数m的值为________．

答案

3

11→→解析

设BP＝kBN，k∈R. →→→→→因为AP＝AB＋BP＝AB＋kBN

1→→→→→→＝AB＋k(AN－AB)＝AB＋k(AC－AB) 4→k→＝(1－k)AB＋AC，

4→→2→且AP＝mAB＋AC，

11k2所以1－k＝m，＝，

41183解得k＝，m＝. 1111题型二

平面向量的坐标运算

例2

(1)已知a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，若a－2b＋3c＝0，则c等于(

) 81，

A.3138－，

B.33

134C.3，3

134－，－

D.33(2)已知向量a＝(1，－2)，b＝(m,4)，且a∥b，则2a－b等于(

) A．(4,0)

C．(4，－8)

答案

(1)D

(2)C 解析

(1)由已知3c＝－a＋2b

＝(－5,2)＋(－8，－6)＝(－13，－4)．

134－，－. 所以c＝33(2)因为向量a＝(1，－2)，b＝(m,4)，且a∥b，

所以1×4＋2m＝0，即m＝－2，

所以2a－b＝2×(1，－2)－(－2,4)＝(4，－8)．

思维升华

向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行计算．若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则．

(1)(2016·北京东城区模拟)向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若cλ＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝________. μB．(0,4) D．(－4,8)

→→(2)已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2)，B(－1，－2)，C(3，1)，且BC＝2AD，则顶点D的坐标为(

) 7A．(2，)

2C．(3,2)

答案

(1)4

(2)A 解析

(1)以向量a和b的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，

1B．(2，－) 2D．(1,3)

则A(1，－1)，B(6,2)，C(5，－1)，

→→→∴a＝AO＝(－1,1)，b＝OB＝(6,2)，c＝BC＝(－1，－3)．

∵c＝λa＋μb，

∴(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)，

－λ＋6μ＝－1，即

λ＋2μ＝－3，

1λ解得λ＝－2，μ＝－，∴＝4. 2μ→→(2)设D(x，y)，AD＝(x，y－2)，BC＝(4,3)，

4＝2x，→→又BC＝2AD，∴∴73＝2y－2，y＝，

x＝2，2

故选A. 题型三

向量共线的坐标表示

命题点1

利用向量共线求向量或点的坐标

例3

已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，则AC与OB的交点P的坐标为________．

答案

(3,3) →→→→→解析

方法一

由O，P，B三点共线，可设OP＝λOB＝(4λ，4λ)，则AP＝OP－OA＝(4λ－4,4λ)．

→→→又AC＝OC－OA＝(－2,6)，

→→由AP与AC共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，

3解得λ＝，

4→3→所以OP＝OB＝(3,3)，

4所以点P的坐标为(3,3)．

xy→→→→方法二

设点P(x，y)，则OP＝(x，y)，因为OB＝(4,4)，且OP与OB共线，所以＝，即x＝44y.

→→→→又AP＝(x－4，y)，AC＝(－2,6)，且AP与AC共线，

所以(x－4)×6－y×(－2)＝0，解得x＝y＝3，

所以点P的坐标为(3,3)．

命题点2

利用向量共线求参数

1例4

(2017·郑州月考)已知向量a＝(1－sin θ，1)，b＝(，1＋sin θ)，若a∥b，则锐角θ＝2________. 答案

45°

1解析

由a∥b，得(1－sin θ)(1＋sin θ)＝，

2122所以cos2θ＝，∴cos θ＝或cos θ＝－，

222又θ为锐角，∴θ＝45°. 思维升华

平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略

(1)利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1”解题比较方便．

(2)利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地，在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量．

(1)已知梯形ABCD，其中AB∥CD，且DC＝2AB，三个顶点A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，则点D的坐标为________．

→→→(2)设OA＝(－2,4)，OB＝(－a,2)，OC＝(b,0)，a>0，b>0，O为坐标原点，若A，B，C三点共11线，则＋的最小值为________．

ab3＋22答案

(1)(2,4)

(2)

2解析

(1)∵在梯形ABCD中，AB∥CD，DC＝2AB，

→→∴DC＝2AB. 设点D的坐标为(x，y)，

→则DC＝(4,2)－(x，y)＝(4－x,2－y)，

→AB＝(2,1)－(1,2)＝(1，－1)，

∴(4－x,2－y)＝2(1，－1)，即(4－x,2－y)＝(2，－2)，

4－x＝2，x＝2，∴解得故点D的坐标为(2,4)．

2－y＝－2，y＝4，

→→(2)由已知得AB＝(－a＋2，－2)，AC＝(b＋2，－4)，

→→又AB∥AC，所以(－a＋2，－2)＝λ(b＋2，－4)，

－a＋2＝λb＋2，即整理得2a＋b＝2，

－2＝－4λ，

1111112ab1所以＋＝(2a＋b)(＋)＝(3＋＋)≥(3＋2ab2ab2ba2等号成立)．

11．解析法(坐标法)在向量中的应用

2ab3＋

22·)＝(当且仅当b＝2a时，ba22π→→典例

(12分)给定两个长度为1的平面向量OA和OB，它们的夹角为.如图所示，点C在以3→→→O为圆心的AB上运动．若OC＝xOA＋yOB，其中x，y∈R，求x＋y的最大值．

思想方法指导

建立平面直角坐标系，将向量坐标化，将向量问题转化为函数问题更加凸显向量的代数特征．

规范解答

→解

以O为坐标原点，OA所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，

13则A(1,0)，B(－，)．[4分]

22

2π设∠AOC＝α(α∈[0，])，则C(cos α，sin α)，

3cos α＝x－y，2→→→由OC＝xOA＋yOB，得3sin α＝y，2所以x＝cos α＋1

323sin α，y＝sin α，[8分]

33π所以x＋y＝cos α＋3sin α＝2sin(α＋)，[10分]

62π又α∈[0，]，

3π所以当α＝时，x＋y取得最大值2.[12分]

3

→→→→1．(2016·安徽六校教育研究会二模)在平行四边形ABCD中，AB＝a，AC＝b，DE＝2EC，则→BE等于(

) 1A．b－a

34C．b－a

3答案

C →→→→→解析

因为BC＝AC－AB，DE＝2EC，

→→→→1→→1→所以BE＝BC＋CE＝BC＋CD＝BC－AB

334→→1→→4→＝AC－AB－AB＝AC－AB＝b－a，

333故选C. →2．已知点A(－1,5)和向量a＝(2,3)，若AB＝3a，则点B的坐标为(

) A．(7,4)

C．(5,4)

答案

D →解析

设点B的坐标为(x，y)，则AB＝(x＋1，y－5)．

B．(7,14) D．(5,14) 2B．b－a

31D．b＋a

3

x＋1＝6，x＝5，→由AB＝3a，得解得

y－5＝9，y＝14.

3．已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若λ为实数，(a＋λb)∥c，则λ等于(

) 11A.

B.

C．1

D．2 42答案

B 解析

∵a＋λb＝(1＋λ，2)，c＝(3,4)，

1＋λ21且(a＋λb)∥c，∴＝，∴λ＝，故选B. 3424．已知a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，则c等于(

) 13A．－a＋b

2231C．－a－b

22答案

B 解析

设c＝λa＋μb，∴(－1,2)＝λ(1,1)＋μ(1，－1)，

－1＝λ＋μ，∴∴2＝λ－μ，13B.a－b

2231D．－a＋b

22

3μ＝－2，1λ＝，2

13∴c＝a－b. 22→→5．(2017·淮南质检)已知平行四边形ABCD中，AD＝(3,7)，AB＝(－2,3)，对角线AC与BD→交于点O，则CO的坐标为(

) 1A．(－，5)

21C．(，－5)

2答案

D →→→解析

∵AC＝AB＋AD＝(－2,3)＋(3,7)＝(1,10)，

→1→1∴OC＝AC＝(，5)，

221→∴CO＝(－，－5)．

2→→→→→→→6．已知|OA|＝1，|OB|＝3，OA·OB＝0，点C在∠AOB内，且OC与OA的夹角为30°，设OCm→→＝mOA＋nOB(m，n∈R)，则的值为(

) n1B．(，5) 21D．(－，－5) 2

A．2

C．3

答案

C →→→→解析

∵OA·OB＝0，∴OA⊥OB，

5B.

2D．4 以OA为x轴，OB为y轴建立直角坐标系(图略)，

→→→→→OA＝(1,0)，OB＝(0，3)，OC＝mOA＋nOB＝(m，3n)．

∵tan 30°＝3n3＝，

m3m∴m＝3n，即＝3，故选C. n→→→7．在▱ABCD中，AC为一条对角线，AB＝(2,4)，AC＝(1,3)，则向量BD的坐标为__________．

答案

(－3，－5) →→→→→→解析

∵AB＋BC＝AC，∴BC＝AC－AB＝(－1，－1)，

→→→→→∴BD＝AD－AB＝BC－AB＝(－3，－5)．

π8．设0＜θ＜，向量a＝(sin 2θ，cos θ)，b＝(cos θ，1)，若a∥b，则tan θ＝________. 21答案

2解析

∵a∥b，∴sin 2θ×1－cos2θ＝0，

∴2sin θcos θ－cos2θ＝0，

π∵0＜θ＜，∴cos θ＞0，∴2sin θ＝cos θ，

21∴tan θ＝. 2→→→9．在平行四边形ABCD中，E和F分别是CD和BC的中点．若AC＝λAE＋μAF，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝________. 4答案

3→→解析

选择AB，AD作为平面向量的一组基底，

→→→→1→→→→1→则AC＝AB＋AD，AE＝AB＋AD，AF＝AB＋AD，

221→→→→1→又AC＝λAE＋μAF＝(λ＋μ)AB＋(λ＋μ)AD，

22

于是得1λ＋2μ＝1，4所以λ＋μ＝. 31λ＋μ＝1，2

解得2μ＝3，2λ＝，3

*10.如图所示，A，B，C是圆O上的三点，线段CO的延长线与BA的延长线交于圆O外的→→→一点D，若OC＝mOA＋nOB，则m＋n的取值范围是________．

答案

(－1,0) →→解析

由题意得，OC＝kOD(k＜0)，

→|OC|又|k|＝＜1，∴－1＜k＜0. →|OD|又∵B，A，D三点共线，

→→→∴OD＝λOA＋(1－λ)OB，

→→→→∴mOA＋nOB＝kλOA＋k(1－λ)OB，

∴m＝kλ，n＝k(1－λ)，

∴m＋n＝k，从而m＋n∈(－1,0)．

11．已知A(1,1)，B(3，－1)，C(a，b)．

(1)若A，B，C三点共线，求a，b的关系式；

→→(2)若AC＝2AB，求点C的坐标．

→→解

(1)由已知得AB＝(2，－2)，AC＝(a－1，b－1)，

→→∵A，B，C三点共线，∴AB∥AC. ∴2(b－1)＋2(a－1)＝0，即a＋b＝2. →→(2)∵AC＝2AB，

∴(a－1，b－1)＝2(2，－2)．

a－1＝4，a＝5，∴解得

b－1＝－4，b＝－3.

∴点C的坐标为(5，－3)．

→→→→→12．已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设AB＝a，BC＝b，CA＝c，且CM＝3c，CN＝－2b. (1)求3a＋b－3c；

(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；

→(3)求M，N的坐标及向量MN的坐标．

解

(1)由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．

3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．

(2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)＝(5，－5)，

－6m＋n＝5，m＝－1，∴

解得

－3m＋8n＝－5，n＝－1.

→→→(3)设O为坐标原点，∵CM＝OM－OC＝3c，

→→∴OM＝3c＋OC＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)，

∴M(0,20)．

→→→又∵CN＝ON－OC＝－2b，

→→∴ON＝－2b＋OC＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，

→∴N(9,2)，∴MN＝(9，－18)．

*13.如图所示，G是△OAB的重心，P，Q分别是边OA、OB上的动点，且P，G，Q三点共线．

→→→→→(1)设PG＝λPQ，将OG用λ，OP，OQ表示；

11→→→→(2)设OP＝xOA，OQ＝yOB，证明：＋是定值．

xy→→→→→(1)解

OG＝OP＋PG＝OP＋λPQ

→→→→→＝OP＋λ(OQ－OP)＝(1－λ)OP＋λOQ. (2)证明

一方面，由(1)，得

→→→OG＝(1－λ)OP＋λOQ

→→＝(1－λ)xOA＋λyOB；①

另一方面，∵G是△OAB的重心，

→2→21→→1→1→∴OG＝OM＝×(OA＋OB)＝OA＋OB.②

33233由①②得1λy＝3.11－λx＝，3

11∴＋＝3(1－λ)＋3λ＝3(定值)．

xy