小结精品学案

§3.4基本不等式ab【教学目标】

ab

21．知识与技能：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；

2．过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式；

3．情态与价值：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣

【教学重点】

应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式ab【教学难点】

基本不等式ab【教学过程】

ab的证明过程；

2ab等号成立条件

21.课题导入

基本不等式abab的几何背景：

2如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？

教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。

2.讲授新课

1．探究图形中的不等关系

将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD中右个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边长为a,b那么正方形的边长为a2b2。这样，4个直角三角形的面积的和是2ab，正方形的面积为ab。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：ab2ab。

当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有2222a2b22ab。

2．得到结论：一般的，如果a,bR,那么ab2ab(当且仅当ab时取""号)

22

3．思考证明：你能给出它的证明吗？

证明：因为

a2b22ab(ab)2

当ab时,(ab)20,当ab时,(ab)20,

所以，(ab)20，即(a2b2)2ab.

1）从不等式的性质推导基本不等式ab用分析法证明：

要证 ab

2abab (1) 2只要证 a+b (2) 要证（2），只要证 a+b- 0 （3）

要证（3），只要证 （ - ） （4）

显然，（4）是成立的。当且仅当a=b时，（4）中的等号成立。

2）理解基本不等式ab评述：1.如果把2ab的几何意义

2ab看作是正数a、b的等差中项，ab看作是正数a、b的等比中项，2ab为a、b的算术平均数，称ab为a、b的几何平均数.本2那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项. 2.在数学中，我们称节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. [补充例题] 例1 已知x、y都是正数，求证：

(1)yx≥2；

xy223333(2)（x＋y）（x＋y）（x＋y）≥８xy. 分析：在运用定理：abab时，注意条件a、b均为正数，结合不等式的性质(把2握好每条性质成立的条件)，进行变形. 解：∵x，y都是正数 ∴yx2233＞0，＞0，x＞0，y＞0，x＞0，y＞0 xy

(1)xyxyxy2＝2即≥2. yxyxyx(2)x＋y≥2＞0 xy＞0 x2＋y2≥2x2y2＞0 x3＋y3≥2x3y3∴（x＋y）（x＋y）（x＋y）≥2xy·2即（x＋y）（x＋y）（x＋y）≥８xy. 2233332233x2y2·2x3y3＝８x3y3

3.随堂练习

1.已知a、b、c都是正数，求证

（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc

分析：对于此类题目，选择定理：果. 解：∵a，b，c都是正数

∴a＋b≥2ab＞0 abab（a＞0，b＞0）灵活变形，可求得结2b＋c≥2bc＞0 c＋a≥2ac＞0 ∴（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥2ab·2bc·2ac＝８abc

即（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc. 例1（1）用篱笆围成一个面积为100m的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短的篱笆是多少？

（2）段长为36 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少? 解：（1）设矩形菜园的长为x m，宽为y m，则xy=100，篱笆的长为2（x+y） m。由2xyxy，

2可得 xy2100， 2(xy)40。等号当且仅当x=y时成立，此时x=y=10. 因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m.

（2）解法一：设矩形菜园的宽为x

m，则长为（36－2x）m，其中0＜x＜1，其2112x362x2362)面积S＝x（36－2x）＝·2x（36－2x）≤(

2228当且仅当2x＝36－2x，即x＝9时菜园面积最大，即菜园长9m，宽为9 m时菜园面积最大为81 m2

解法二：设矩形菜园的长为x m.,宽为y m ,则2(x+y)=36,

x+y=18,矩形菜园的面积为xy

m。由

2xyxy189，可得

xy81

22当且仅当x=y,即x=y=9时，等号成立。

因此，这个矩形的长、宽都为9m时，菜园的面积最大，最大面积是81m

归纳：1.两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若a，b∈R，且a＋b＝M，M＋2M2为定值，则ab≤，等号当且仅当a＝b时成立. 42.两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若a，b∈R，且ab＝P，P为定值，则a＋b≥2P，等号当且仅当a＝b时成立.

例2 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3,深为3m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？

分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中用到了均值不等式定理。

解：设水池底面一边的长度为xm，水池的总造价为l元，根据题意，得

＋l240000720(x1600)

x2400007202x1600

x240000720240297600

当x1600,即x40时,l有最小值2976000.

x因此，当水池的底面是边长为40m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元

评述：此题既是不等式性质在实际中的应用，应注意数学语言的应用即函数解析式的建立，又是不等式性质在求最值中的应用，应注意不等式性质的适用条件。

归纳：用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：

(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；

(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；

(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；

(4)正确写出答案. 3.随堂练习

1.已知x≠0，当x取什么值时，x＋2．课本第100页的练习1、2、3、4

281的值最小?最小值是多少? x24.课时小结

本节课我们用两个正数的算术平均数与几何平均数的关系顺利解决了函数的一些最值问题。在用均值不等式求函数的最值，是值得重视的一种方法，但在具体求解时，应注意考查下列三个条件：(1)函数的解析式中，各项均为正数；(2)函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；(3)函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值即用均值不等式求某些函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等。

5. 作业

课本第100页习题[A]组的第2、4题