1.3 实习作业教学设计及教案分析

第一章

解三角形

1.1 正弦定理和余弦定理

1.1.2 余弦定理

一、授课内容分析

余弦定理是《普通高中课程标准实验教科书•数学》(人教版)必修5第1章“解三角形”的重要内容，是反映三角形边角之间等量关系的重要定理，是三角函数和平面向量知识在三角形中的具体运用，是解决可转化为三角形计算问题的其他数学问题以及生产、生活实际中的测量、设计、计算等问题的重要工具，具有广泛的应用价值。

之前，学生已经学习了“三角函数”、“平面向量”、“三角恒等变换”,并且学习了正弦定理的发现、证明和应用,具有初步的归纳、猜想和证明意识,因此在余弦定理教学中，应以学生的已有知识为固着点，突出问题引导，诱导学生展开有质量的联想，有效地激发学生的思维，让学生全程参与到定理的探究、发现和证明之中，体验数学发现和创造的历程。

二、教学目标分析：

知识与技能：经历发现、猜想、推导余弦定理的过程。

过程与方法：（1）通过与三角、向量、平面几何等知识的联系，能多个角度证明余弦定理，体会向量方法的作用,比较不同证法的区别与联系,体验余弦定理的不同结构、表现形式和含义；（2）感悟类比、特殊到一般、化归与转化、数形结合等思想方法。

情感态度与价值观：通过对现实生活的实例运用到余弦定理，享受数学带来的快乐,激发学生的学习兴趣。

三、重难点分析：

重点：余弦定理的探究、发现与证明，掌握余弦定理的实际应用，能灵活应用余弦定理解决一些简单的解三角形问题。

难点：正确理解余弦定理，比较不同证法的区别与联系,体验余弦定理的不同结构。

四、教法分析：

在已有勾股定理和正弦定理学习的基础上，让学生独立地“

再发现”余弦定理是有困难的，学生难以想到“由两边夹角求第三边”时还要先建立平方关系；让学生比较”自然地”想到向量方法来证明也是困难的，定理证明所包含的数学思想学生也不容易体会到.因此需要教师真正洞察余弦定理的知识结构，把握余弦定理的认知基础，在生成和证明余弦定理时，教师启发的着力点要放在如何发现余弦定理。

定理的教学绝对不是定理的直接灌输、简单记忆、表面应用，重要的是发现问题、提出问题、探索结论、猜想归纳、模拟实验、演绎证明。本节课采用向量的转化，开展一些富有探索性和创造性的数学活动，可以培养学生的探索精神和创新精神，激发学生学习数学的兴趣．这样的教学过程也体现了“以学生为主体”的新课程教学理念。

五、教学过程

1. 引入问题，复习回顾

问：星期六，同学们回到家里，爸妈要带你去万隆城玩，我们从坚基的前面经过，这条路其中的一段有个隧道，假设这个隧道没有建之前是一座山，我们21班这个公司，要计算隧道的宽度，如何计算？利用正弦定理？

【设计意图】创设问题情境，以问题链引导学生学习已成为数学教学的一条基本原则.余弦定理的发现探究是本节课的重点也是难点.;重要的是,通过向学生提供丰富的、典型的背景材料,以矛盾诱发认知冲突,创设激活知识间联系的情境,激发学生探究新知的欲望。

复习正弦定理：前面的学习我们知道解三角形就是求出三角形的三个角、三条边，abc2RsinAsinBsinC那么任意的三角形中，什么是正弦定理？正弦定理：，已知一组对边对角用其中的一边或一角，就可以利用正弦定理解三角形。

【设计意图】数学教学的目的,不仅在于让学生习得某个知识点,掌握一定的技能,更应是一个创造思维的起点,一次创新意识的启动.在任何知识的背后,往往有着学生已经掌握的旧知或者生活经验作为基础,数学知识也不例外.表面上,教师设

计问题情境的目的,在于唤醒学生对学过的有关三角形的一些知识的记忆,为学习者提供基于最近发展区的学习支持。

2.理性思考，演绎证明 问：数学实验是直观感知，请严格证明你的猜想？

方法一：(向量法）边长a2BCBC(ACAB)(ACAB)AC2ACABcosAABb22bccosAc2222abc2bccosA

即22模数量积

方法二：（坐标法，不作详细讲解）边建立如图所示的平面直角坐标系，

即距离坐标

方法三：（直角三角形的边角关系，不作详细讲解）边如图，过A做AH⊥BC于H，则所以，在【设计意图】在突破定理证明难点时，通过新旧知识的连接点设问，搭建知识的脚手架，让学生展开联想，力求寻找合理的知识方法，进行自主性的活动与尝试，进一步拓展学生的知识链.比如解三角形处理的是三角形的边长、角度等度量问题，是化归与转化思想的体现，方法简洁自然. 3. 定理剖析，深化理解

问：在三角形中，如何用符号语言与文字语言表示上述结论？

语言表述：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍. 符号语言：在中，；

则： ；

【设计意图】用数学文字语言描述出符号形式给出的公式，有利于学生将抽象的数学符号与公式所代表的实际意义建立实质性的联系.这对于帮助学生理解、记忆与应用定理。

例1：如图，B、C两地之间隔着一座小山,现要测量B、C之间即将修建的一条隧道的长度.另选一个点A,可以测得的数据有:AB=3km,AC=2km,∠A=120°,如何求B，C两地之间隧道的长度. 在中，若,求. 222解:由余弦定理,得cab2abcos120,所以1c5242254()612

c33,B30;

变式一：已知下列条件，解三角形： b3,【设计意图】数学的思维不是靠大量题目形成，而是通过一定的思辨、顿悟形成的.例1的变式一都有较高的思维量.通过问题的变式训练，让学生懂得学习新知识的意义，学会运用新知识解决问题. 问：如果只知道三边长，是否能求出三角形的内角？ 例2：已知，在△ABC三边长为：a=5，b=4，c= 37

，求三角形的最大内角。

变式2：在中，在△ABC三边长为：a=2，b=22，c= 62

，求三角形。

【设计意图】这样的设计能使学生感觉到余弦定理的推论是解题的需要，即变形之后解决有关已知三边长，解三角形的问题。

例3.已知在△ABC中，sinA2sinBcosC

试判断该三角形的形状

变式3.已知在△ABC中，bcosAacosB

则三角形为（ ）

A 直角三角形 B 锐角三角形 C 等腰三角形 D等边三角形

【设计意图】让学生知道余弦定理不仅可以解三角形，这也是认识的需要，借助推论的表达式可以清楚地看到边角的互化关系.

4.归纳总结

本节主要内容

（1）余弦定理及其推论；（2）余弦定理的作用及结构特点

5. 布置作业：

（1）课本1页：习题1.1A组：第3题（2）练习册：金版案

6.课后反思：

节课的传统教法是通过证明得到余弦定理，注重定理的发现过程。接着想用三个例题，让学生真正掌握余弦定理的实际应用，在用边长与向量推导出余弦定理的前提下，真正地理解和应用余弦定理，例题中，通过一例一练的方法，让学生学以致用，举一反三，方便学生理解能力的提升。这种做法的好处是熟练掌握并运用这个公式，不足之处是仅把知识当作工具使用。知识的发生、发展过程及教育价值淡化了。通过课堂实际处理,让我深刻的意识到: (1)课前的准备工作尤为重要。俗话说：“台上一分钟，台上十年功”。教师课前的充分准备能让整节课显得从容，可以随时应对课堂上的任何问题，从而达到最佳的上课效果。

（2）利用各种手段激励，启发，引导学生去探索总结。把课堂还给学生，充分体现了在教师的指导下，学生的主导作用。，抽象的过程变得顺理成章！在整个教学中利用余弦定理，解决三种类型的题目，提升学生的逻辑思维能力。

（3）不足之处：个别学生对余弦定理的认识还不成熟，因为时间的关系，课堂上不够时间讲解例3，在有些细节问题上，由于个人的水平问题，处理得也比较粗糙，希望在以后的教学中，多与有经验的老师交流学习，不断的完善自我，探索更适合学生学习的教学方法。