阅读与思考 海伦和秦九韶教学评价实录

解三角形应用举例（1）——距离的教案

【教材分析】

解三角形应用举例是在学习了正弦定理、余弦定理的基础上安排的一节应用举例课程，本节主要介绍了正弦定理和余弦定理在测量距离中的应用。教材首先通过例1提出了如何测量从一个可到达点和一个之间的距离，进一步通过例2解决了两个不可到达点之间的距离问题。本节课是解三角形应用举例第一阶段。

【教学目标】

根据本节课在教材中的地位和作用，依据新课程标准的基本理念和学生的认知水平，我拟定了以下教学目标。

1．知识与技能：能够运用正弦定理和余弦定理等三角形的知识，解决三种类型的距离测量问题。

2．过程与方法：经历将距离问题转化为解三角形问题的过程，认识实际应用问题的研究方法分析—建模—求解—检验，培养学生观察、操作、抽象概括能力和应用数学知识解决实际问题的能力。

3．情感、态度价值观：体会数学与生活的密切联系，感受数学知识对于解决实际问题的价值，激发学生学习数学的兴趣。在小组合作、探究与交流的过程中，增强学生创新意识和团结协助的精神。

【教学重点】

分析实际测量问题的实际背景，将其专户为数学问题正弦定理和余弦定理等三角形的知识解决测量问题。

【教学难点】

如何从实际测量问题中抽象出数学问题，找到测量距离问题的方法。

【教学分析】

通过正弦定理、余弦定理的学习，学生对解斜三角形已经有了直观地认识，能够从图形中找到解三角形的方法。但学生对正弦定理和余弦定理适用条件缺乏清晰的概念。因此，本节课遵循学生由具体到抽象，由感性到理性的认知规律，从学生已有的经验出发，设计一系列有意义的数学活动，让学生去探索、去实验、去发现，进一步认识正弦定理和余弦定理，体验三角形在生活中的作用。

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【教学过程】

一·知识回顾

定理

asin A内容

2R (其中R是△ABC外接圆半径)

正弦定理

＝_______＝______＝余弦定理

a2＝ ；

b2＝ ；

c2＝ ______

定理

正弦定理

(1)a＝2Rsin A，b＝

，

c＝

；

(2)sin A＝ab，sin B＝，

2R2R余弦定理

cos A＝

_______________；

cos B＝_______________；

cos C＝________________

变形

csin C＝；

形式

2R(3)a∶b∶c＝sin A∶

∶sin C；

(4)asin B＝bsin A，bsin C＝

csin B，asin C＝csin A

二·自主学习（相关术语）

1.

仰角和俯角：在视线和水平线所成的角中，视线在水平线

的角叫仰角，在水平线

的角叫俯角（如图1）。

2.方位角：从正

方向顺时针转到目标方向线的角（如图2，B点的方位为a）。

3.方向角：相对于某一正方向的角（如图3）。

(1

)北偏东α：指从正北方向顺时针旋转α到达目标方向。

(2)东北方向：指北偏东45°或东偏北45°。

三、新知初探（预习教材11-12页）

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1．距离问题

(1)测量从一个可到达的点A到一个不可到达的点B之间的距离问题．如图所示．

这实际上就是已知三角形两个角和一边解三角形的问题，用__________就可解决．

(2)测量两个不可到达的点A，B之间的距离问题．如图所示．

首先把求不可到达的两点A,B之间的距离转化为应用

求三角形的边长问题，然后把未知的BC和AC的距离问题转化为测量可到达一点与不可到达的一点之间的距离问题。

2、基线：在测量上，我们根据测量需要适当的

叫做基线。

四、典例导悟

五、类型一：测量从一个可到达的点，到一个不可到达的点之间的距离

[例1]

为了测量水田两侧A，B两点间的距离(如图所示)，某观测者在A的同侧选定一点C，测得AC＝8 m，∠BAC＝30°，∠BCA＝45°，求A，B两点间的距离．

变式训练1

在题设条件不变的情况下，求水田的宽度。

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类型二 测量两个不可到达的点之间的距离

[例2]

在一次反恐作战战前准备中，为了弄清基地组织两个训练营地A和B之间的距离，盟军在两个相距为32a的观测点C和D处，测得∠ADB＝30°，∠BDC＝30°，∠DCA＝60°，∠ACB＝45°，如图所示．求基地组织的这两个训练营地之间的距离．

[分析]

可将AB放在△ABC中来求，为此应先求出AC和BC，再用余弦定理求AB.

变式训练2

如图，隔河看两目标A，B，但不能到达，在岸边选取相距3

km的C，D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A，B，C，D在同一平面内)，求两目标A，B之间的距离．

六、课堂自测

1．如图，在河岸AC测量河的宽度BC，测量下列四组数据，较适宜的是(

)

A．a和c

B．c和b

C．c和β

D．b和α

2、

某人朝正东方走xkm后，向左转1500，然后朝新方向走3km，结果它离出发点恰好3km，那么x等于（A．3 B．23 C．3或

23 D．3

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）

3．如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B，望对岸的标记物C，测得∠CAB＝45°，∠CBA＝75°，AB＝120米，则河的宽度为________．

4.

一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向，另一灯塔在船的南偏西75°方向，则这只船的速度是每小时________．

5．如图所示，若小河两岸平行，为知道河对岸边两棵树C，D(CD与河岸平行)之间的距离，选取岸边两点A，B(AB与河岸平行)，测得数据：AB＝6 m，∠ABD＝60°，∠DBC＝90°，∠DAB＝75°.试求C，D间的距离．

八、课后作业：配套试卷1、2页。

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