3.2.2 复数代数形式的乘除运算教案和学案内容

3.2.2

复数代数形式的乘除运算

明目标、知重点

1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算.2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律.3.理解共轭复数的概念．

1．复数的乘法法则

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，

则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i. 2．复数乘法的运算律

对任意复数z1、z2、z3∈C，有

交换律

结合律

乘法对加法的分配律

3.共轭复数

如果两个复数满足实部相等，虚部互为相反数时，称这两个复数为共轭复数，z的共轭复数用z表示．即z＝a＋bi，则z＝a－bi. 4．复数的除法法则

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(c＋di≠0)，

z1a＋biac＋bdbc－ad则＝＝＋i. z2c＋dic2＋d2c2＋d2z1·z2＝z2·z1

(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3) z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3

[情境导学]

我们学习过实数的乘法运算及运算律，那么复数的乘法如何进行运算，复数的乘法满足运算律么？

探究点一

复数乘除法的运算

思考1

怎样进行复数的乘法？

答

两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要把已得结果中的i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并即可．

思考2

复数的乘法与多项式的乘法有何不同？

答

复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i2换成－1. 例1

计算：(1)(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)；

(2)(3＋4i)(3－4i)；

(3)(1＋i)2. 解

(1)(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)＝(11－2i)(－2＋i) ＝－20＋15i；

(2)(3＋4i)(3－4i)＝32－(4i)2＝9－(－16)＝25；

(3)(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝2i. 反思与感悟

复数的乘法可以按多项式的乘法法则进行，注意选用恰当的乘法公式进行简便运算，例如平方差公式、完全平方公式等．

跟踪训练1

计算：(1)(2＋i)(2－i)；(2)(1＋2i)2. 解

(1)(2＋i)(2－i)＝4－i2＝4－(－1)＝5；

(2)(1＋2i)2＝1＋4i＋(2i)2＝1＋4i＋4i2＝－3＋4i. 思考3

如何理解复数的除法运算法则？

答

复数的除法先写成分式的形式，再把分母实数化(方法是分母与分子同时乘以分母的共轭复数，若分母是纯虚数，则只需同时乘以i)．

4－3i4＋3i例2

计算：(1)＋；

4＋3i4－3i1＋i62＋3i(2)()＋. 1－i3－2i4－3i24＋3i216－9－24i16－9＋24i7－24i7＋24i解

(1)原式＝＋＝＋＝＋＝25254＋3i4－3i4－3i4＋3i42＋3242＋3214；

251＋i262＋3i3＋2i(2)方法一

原式＝[]＋

232＋22＝i6＋6＋2i＋3i－6＝－1＋i. 5方法二

(技巧解法) 1＋i262＋3ii原式＝[]＋

23－2ii2＋3ii＝i6＋＝－1＋i. 2＋3i

反思与感悟

复数的除法是分子、分母同乘以分母的共轭复数．

7＋i－1＋i2＋i跟踪训练2

计算：(1)；(2). 3＋4i－i7＋i7＋i3－4i25－25i解

(1)＝＝＝1－i. 253＋4i3＋4i3－4i－1＋i2＋i－3＋i－3＋i·i(2)＝＝＝－1－3i. －i－i－i·i探究点二

共轭复数及其应用

思考1

像3＋4i和3－4i这样的两个复数我们称为互为共轭复数，那么如何定义共轭复数呢？

答

一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．通常记复数z的共轭复数为z.虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．

思考2

复数a＋bi的共轭复数如何表示？这两个复数之积是实数还是虚数？

答

复数a＋bi的共轭复数可表示为a－bi，由于

(a＋bi)·(a－bi)＝a2＋b2

，所以两个共轭复数之积为实数．

思考3

共轭复数有哪些性质，这些性质有什么作用？

答

(1)在复平面上，两个共轭复数对应的点关于实轴对称．

(2)实数的共轭复数是它本身，即z＝z⇔z∈R，利用这个性质可证明一个复数为实数．

(3)若z≠0且z＋z＝0，则z为纯虚数，利用这个性质，可证明一个复数为纯虚数．

思考4

z·z与|z|2和|z|2有什么关系？

答

z·z＝|z|2＝|z|2. 例3

已知复数z满足|z|＝1，且(3＋4i)z是纯虚数，求z的共轭复数z. 解

设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＝a－bi且|z|＝a2＋b2＝1，即a2＋b2＝1.①

因为(3＋4i)z＝(3＋4i)(a＋bi)＝(3a－4b)＋(3b＋4a)i，而(3＋4i)z是纯虚数，

所以3a－4b＝0，且3b＋4a≠0.②

a＝5，由①②联立，解得3b＝5，4

a＝－5，或3b＝－5.4

4343所以z＝－i，或z＝－＋i. 5555反思与感悟

本题使用了复数问题实数化思想，运用待定系数法，化解了问题的难点．

跟踪训练3

已知复数z满足：z·z＋2iz＝8＋6i，求复数z的实部与虚部的和．

解

设z＝a＋bi(a，b∈R)，

则z·z＝a2＋b2，

∴a2＋b2＋2i(a＋bi)＝8＋6i，

即a2＋b2－2b＋2ai＝8＋6i，

∴a2＋b2－2b＝8a＝3

，解得，∴a＋b＝2a＝64，

b＝1

∴复数z的实部与虚部的和是4.

1．设复数z满足iz＝1，其中i为虚数单位，则z等于(

) A．－i

B．i

C．－1

D．1 答案

A 解析

z＝1i＝－i. 2．已知集合M＝{1,2，zi}，i为虚数单位，N＝{3,4}，M∩N＝{4}，则复数z等于(A．－2i

B．2i C．－4i

D．4i 答案

C 解析

由M∩N＝{4}得zi＝4，z＝4i＝－4i. 3．复数i－21＋2i等于(

) A．i

B．－i C．－45－35i

D．－45＋35i 答案

A 4．复数z＝2－i2＋i(i为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为(

) A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

答案

D 2－i2－i2解析

因为z＝2＋i＝5＝3－4i5，

故复数z对应的点在第四象限，选D. )

[呈重点、现规律]

1．复数代数形式的乘除运算

(1)复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式，复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律．

(2)在进行复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化．

2．共轭复数的性质可以用来解决一些复数问题．

3．复数问题实数化思想．

复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，其桥梁是设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，利用复数相等的充要条件转化．

一、基础过关

11．复数－i＋等于(

) iA．－2i

C．0

答案

A 1i2解析

－i＋＝－i－＝－2i，选A. ii11112．i为虚数单位，＋3＋5＋7等于(

) iiiiA．0

C．－2i

答案

A 1111解析

＝－i，3＝i，5＝－i，7＝i，

iiii1111∴＋3＋5＋7＝0. iiii3．若a，b∈R，i为虚数单位，且(a＋i)i＝b＋i，则(

) A．a＝1，b＝1

C．a＝－1，b＝－1

答案

D 解析

∵(a＋i)i＝－1＋ai＝b＋i，

B．a＝－1，b＝1 D．a＝1，b＝－1 B．2i D．4i 1B.i 2D．2i

b＝－1∴. a＝1

i4．在复平面内，复数＋(1＋3i)2对应的点位于(

) 1＋iA．第一象限

C．第三象限

答案

B 解析

i11＋(1＋3i)2＝＋i＋(－2＋23i) 221＋iB．第二象限

D．第四象限

31＝－＋(23＋)i，

2231对应点(－，23＋)在第二象限．

225．设复数z的共轭复数是z，若复数z1＝3＋4i，z2＝t＋i，且z1·z2是实数，则实数t等于(

) 3A.

44C．－

3答案

A 解析

∵z2＝t＋i，∴z2＝t－i. z1·z2＝(3＋4i)(t－i)＝3t＋4＋(4t－3)i，

又∵z1·z2∈R，∴4t－3＝0，

3∴t＝. 41＋2i6．若z＝，则复数z等于(

) iA．－2－i

C．2－i

答案

D 1＋2i解析

z＝＝2－i，∴z＝2＋i. i2＋2i22 0107．计算：(1))；

2＋(1－i1＋i(2)(4－i5)(6＋2i7)＋(7＋i11)(4－3i)．

2＋2i22 0102＋2i2 1 005解

(1))＝＋()

2＋(2i1－i1＋i－2iB．－2＋i D．2＋i 4B.

33D．－

4

1＝i(1＋i)＋()1 005＝－1＋i＋(－i)1 005

i＝－1＋i－i＝－1. (2)原式＝(4－i)(6－2i)＋(7－i)(4－3i) ＝22－14i＋25－25i＝47－39i. 二、能力提升

8．设复数z满足(1－i)z＝2i，则z等于(

) A．－1＋i

B．－1－i C．1＋i

D．1－i 答案

A 2i1＋i2i解析

由已知得z＝＝＝－1＋i. 1－i1－i1＋i9.复数z满足(z－3)(2－i)＝5(i为虚数单位)，则z的共轭复数z为(

) A．2＋i

B．2－i C．5＋i

D．5－i 答案

D 5解析

由(z－3)(2－i)＝5得，z－3＝＝2＋i，

2－i∴z＝5＋i，∴z＝5－i. 10．设复数i满足i(z＋1)＝－3＋2i(i为虚数单位)，则z的实部是________．

答案

1 －3＋2i解析

由i(z＋1)＝－3＋2i得到z＝－1＝2＋3i－1＝1＋3i. i11．已知复数z满足(1＋2i)z＝4＋3i，求z及解

因为(1＋2i)z＝4＋3i，

4＋3i4＋3i1－2i所以z＝＝＝2－i，故z＝2＋i. 51＋2i2－i2－i23－4i34所以＝＝＝＝－i. 55552＋izz

1012.已知复数z的共轭复数为z，且z·z－3iz＝，求z. 1－3i解

z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＝a－bi. 10又z·z－3iz＝，

1－3izz.

101＋3i∴a2＋b2－3i(a＋bi)＝，

10∴a2＋b2＋3b－3ai＝1＋3i，

22a＋b＋3b＝1，∴

－3a＝3.

a＝－1，a＝－1，∴或. b＝0，b＝－3

∴z＝－1，或z＝－1－3i. 三、探究与拓展

13.已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的一个根(b、c为实数)．

(1)求b，c的值；

(2)试说明1－i也是方程的根吗？

解

(1)因为1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的根，

∴(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0，

即(b＋c)＋(2＋b)i＝0. b＋c＝0b＝－2∴，得. 2＋b＝0c＝2

∴b、c的值为b＝－2，c＝2. (2)方程为x2－2x＋2＝0. 把1－i代入方程左边得(1－i)2－2(1－i)＋2＝0，显然方程成立，

∴1－i也是方程的一个根．