小结教学设计和教学实录

第三章

不等式

3.1

不等关系与不等式

一、教学目标

核心素养

通过学习不等式与不等关系,提升学生的数学抽象、数学建模、数学运算和逻辑推理能力. 学习目标

（1）通过具体情境,感受在现实世界和日常生活中存在着大量的数量关系、了解不等式（组）的实际背景; （2）了解不等式的一些基本性质. 学习重点

（1）用不等式（组）表示实际问题中的不等关系,并用不等式（组）研究含有不等关系的问题; （2）理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值. 学习难点

用不等式（组）正确表示出不等关系. 二、教学设计

（一）课前设计

1.预习任务: 任务1 阅读教材P72－P75,思考:不等式的性质有哪些?你有什么方法可以证明不等式的性质?不等式的性质有哪些应用? 任务2 默写不等式性质的具体内容. 2.预习自测

1.已知a＞b>0,ac＜bc,则有（

）

A.c＞0 B.c＜0 C.c＝0 D.以上均有可能

答案:B 解析:【知识点:不等式的性质】

2.已知a＜b,那么下列式子中,错误的是（

）

A.4a＜4b

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B.－4a＜－4b

C.a＋4＜b＋4 D.a－4＜b－4 答案:B 解析:【知识点:不等式的性质】

（二）课堂设计

1.知识回顾

（1）不等号,,,,. （2）利用不等关系列不等式. 2.问题探究

问题探究一

不等关系及其表述

●活动一

回顾旧知,回忆生活中有哪些不等关系? （1）两点之间线段最短,（2）三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边,等等. ●活动二

利用不等关系列不等式.

阅读与举例: 现实生活和日常生活中,既有相等关系,又存在着大量的不等关系.在数学中,我们常用不等式来表示这些不等关系: （1）交通部门规定,机动车辆在有些道路上行驶时,时速不能超过40千米,写成不等式为__________; （2）设点A与平面a的距离为d,B为平面内任意一点,则写成不等式为__________________; （3）要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种,且规定600mm的数量不能超过500mm的3倍,写成不等式为______________________; 500x600y4000答案:（1）v40;（2）dAB;（3）3xy

x0,y0,且x,yN请大家阅读教材72页中所列举的5个生活中不等关系的例子,并试着用不等式或不等式组来表示这些不等关系. 探究:你能举出现实生活中类似的不等关系吗?并用不等式或不等式组来表示这些不等关系. 问题探究二

不等式性质

1.不等式原理

关于实数a,b大小的比较,有以下事实: 如果ab是正数,那么ab;如果ab等于零,那么ab;如果ab是负数,那么ab.反过来也对.用符号表示为:①ab0_________;②ab0__________;③ab0__________. 2.不等式性质:

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为了利用不等式研究不等关系,需要对不等式的性质进行了解: 性质1:对称性:ab________;

（ba）

性质2:传递性:ab,bc_______;

（ac）

性质3:可加性:ab_________;

（acbc）

性质4:可积性:ab,c0________;

（acbc）

ab,c0_________;

（acbc）

性质5:加法法则:ab,cd_______;

（acbd）

性质6:乘法法则:ab0,cd0______;

（acbd）

性质7:乘方法则:ab0_______（nN,n1）;

（anbn）

性质8:开方法则:ab0_______（nN,n1）;

（nanb）

问题探究三

不等式性质的应用

●活动一

比较大小,不等式性质初步应用

例1.(1)比较x23与3x的大小,其中xR. (2)已知x>3,比较x33x与3x2x的大小. 【知识点:不等式比较大小】

333Qx233xx23x3x0【解析】(1)

244x233xx33x3x2xx2x3x3x3x1x12(2)Qx3x3x1x10x33x3x2x

点拨:作差法比较a与b的大小,归结为判断它们的差a－b的符号,确定差的符号往往有两种方法(类型): ①将差式化成几个非负数或非正数的和的形式. ②将差式化成几个因式乘积的形式.作差比较大小的程序:作差→变形→定号→下结论. 例2.已知a>0,试比较a与1的大小. a【知识点:不等式比较大小,分类思想】

1a21a1a1【解析】a. aaa∵a>0,令a1a10,得a>1. ∴当a>1时,a1a10,此时a1; aa

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当a＝1时,a1a1＝0,此时a1; aa当0

a1a1<0,此时a1. aa1综上,当01时,a>a. 点拨:由于a的值不确定,a1a1是正还是负由a的取值范围确定,因此需要对a进行讨论.令aa1a1>0是确认分类标准的关键,是寻找分类标准的常用方法. a●活动二

命题真假判断,不等式性质综合应用

例3.分别判断下列各命题是否成立,并简述理由. 1ab2xa2xb;2ab,cdacbd;ab

;cd4|a|b0anbnnN,n1;3ab,cd,cd05ab0,cd0ab.dc【知识点:不等式的性质】

【解析】

(1)成立,因为2－x>0, 由性质4知2－x·a>2－x·b; (2)不成立,令a＝5,b＝4,c＝3,d＝1,有a－cb>0,c<0,d>0时显然有cb>0⇒|a|n>bn,但|a|n与an可能相等,也可能互为相反数; (5)成立. 点拨:不等式都不能直接运用不等式的性质,要断定命题是真命题,要经过严格的推理论证;要断定命题是假命题,只要举出恰当的反例即可,但举反例不是轻而易举的一件事. ●活动三

综合推广,不等式性质深度应用

例4.在不等式以及后续的学习中,经常会遇到有关不等式的一个重要问题:若abab0是否有

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11? ab【知识点:不等式的性质】

【解析】

11ba方法一:,而b－a＜0, abab故当ab＜0,即a＞0＞b时,ba110,∴

ababb－a11当ab＞0,即a＞b＞0或ba; 11③若a＞0,b＜0,则a＞b. 11,ab0ab综上得:ab

11,ab0ab11点拨:本题目的是要学生明确不能冒然由a＞b⇒＜,这是学生容易出错的地方.本题是不等式性质4的ab一个典型应用.本例可作为今后有关不等式问题的一个非常重要的定理. 例5.设2a5,3b10,求a＋b,a－b,ab及【知识点:不等式的性质】

【解析】∵2a5,3b10, ∴2＋3－10,即－10<－b≤－3. ∴2－10

111∴6

ee. acbda的取值范围. b【知识点:不等式的性质,不等式的证明】

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【证明】∵c－d>0. 11∵a>b>0,∴a－c>b－d>0,∴0<<. a－cb－d又∵e<0,∴ee>. a－cb－d点拨:解题时要注意挖掘隐含条件,此类问题不能错误地使用同向不等式相减(除)等,需将“减”化“加”“除”化“乘”. 3.课堂总结

【知识梳理】

(1)在应用传递性时,如果两个不等式中有一个带等号而另一个不带等号,那么等号是传递不过去的.如ab,bcac. (2)在乘法法则中,要特别注意“乘数c的符号”.例如当c0,abac2bc2;若无c0这个条件,则a＞bac2＞bc2就是错误结论(因为当c＝0时,取“＝”). an＞bn＞0(n∈N,n＞1)”成立的条件是“n为大于0的自然数,且a＞b＞0”.假如去掉“n为(3)“a＞b＞011大于1的自然数”这个条件,取n＝－1,a＝3,b＝2,那么就会出现3－1＞2－1,即3＞2的错误结论;假如去掉“b＞0”这个条件,取a＝3,b＝－4,n＝2,那么就会出现32＞(－4)2的错误结论. (4)以后经常用到“不等式取倒数”的性质:a＞b,ab＞0【重难点突破】

比较两个数的大小,常用以下方法: (1)作差法:一般步骤是:①作差;②变形;③定号;④结论.其中关键是变形,常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式.当两个式子都为正数时,有时也可以先平方再作差. (2)作商法:一般步骤是:①作商;②变形;③判断商与1的大小;④结论. (3)特值法:若是选择题、填空题可以用特值法比较大小;若是解答题,可先用特值探究思路,再用作差或作商法判断. 注意:用作商法时要注意商式中分母的正负,否则极易得出相反的结论. 4.随堂检测

1.若ac>bd且a>b>0,则c与d的大小关系是（

）

A.0

B.c>d>0 C.d

答案:D 11a＜b,应在会证明的基础上理解记忆.

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解析:【知识点:不等式的性质】

π2.若0

）

A.a≥b

B.a＝b C.a

D.a>b 答案:D 解析:【知识点:不等式的性质,三角函数的最值,不等式的证明】

3.一个棱长为2的正方体的上底面有一点A,下底面有一点B,则A、B两点间的距离d满足的不等式为________. 答案:2≤d≤23 解析:【知识点:两点间的距离】

4.若x>y,a>b,则

①a－x>b－y;②a＋x>b＋y;③ax>by;④x－b>y－a. 这四个式子中,恒成立的不等式的序号是________. 答案:②④

解析:【知识点:不等式的性质】

5.判断下列命题是否正确,并说明理由. (1)若ac2>bc2,则a>b; ab(2)若c2>c2,则a>b; 11(3)若a>b,ab≠0,则aab>b2. 答案:(1)√(2)√(3)×(4)√

解析:【知识点:不等式的性质】

（三）课后作业

基础型自主突破

1.某校对高一美术生划定录取分数线,专业成绩x不低于95分,文化课总分y高于380分,体育成绩z超过45分,用不等式(组)表示就是（

）

x≥95A.y≥380z>45

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x≥95B.y>380z≥45x>95C.y>380z>45x≥95D.y>380z>45答案:D

解析:【知识点:不等式的应用】

2.下列不等式中,恒成立的是（

）

A.a2>0 B.lg(a2＋1)>0 aC.|a|>0 D.3a>0 答案:D 解析:【知识点:不等式的性质】

3.下列命题正确的是（

）

A.若ac＞bc⇒a＞b B.若a2＞b2⇒a＞b

11C.若a＞b⇒a＜b D.若a＜b⇒a＜b 答案:D 解析:【知识点:不等式的性质】

4.若a＞b与A.a＞b＞0 B.a＞0＞b

C.110

ab11同时成立,则有（

）

ab11D.＜0 ba答案:B

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解析:【知识点:不等式的性质】

5.若1≤a≤5,－1≤b≤2,则a－b的取值范围为________. 答案:[－1,6] 解析:【知识点:不等式的性质】

6.对于实数a、b、c,有以下命题: (1)若a>b,则acbc2,则a>b;(3)若aab>b2; (4)若a|b|;(5)若c>a>b>0,则这些命题一定成立的有. 答案:见解析

解析:【知识点:不等式的性质】

(1)由于c的符号未知,因而不能判断ac与bc的大小.故该命题是假命题. (2)∵ac2>bc2,∴c≠0,∴c2>0,∴a>b.故该命题为真命题. aab.又∴ab>b2,∴a2>ab>b2.故该命题为真命题. a<0，b<0，(4)两个负数,离原点远的数小,绝对值反而大.故该命题为真命题. (5)∵c>a>b>0,∴0,∴>.故该命题为真命题. c－ac－bc－ac－bab11>;(6)若a>b,a>b,则a>0,b<0. c－ac－b

b－a11(6)由已知条件,得b－a<0,a－b>0,∴ab>0,∴ab<0,又a>b,∴a>0,b<0. 故该命题为真命题. ★★能力型师生共研

7.若1xe1,1,alnx,b2lnx,cln3x,则（

）

A.a

B.c

1∵e0,∴a>b. cat3ttt21tt1t1, 又∵－1

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∴c－a>0,∴c>a.∴c>a>b. 8.若0a1a2,0b1b2,且a1a2b1b21,则下列代数式中值最大的是（

）

A.

a1b1a2b2

B.a1a2bb12

C.a1b2a2b1

1D.2

答案:A 解析:【知识点:不等式的性质,不等式的证明】

作差法

∵a1a2b1b21且0a1a2,0b1b2,∴a21a1a1,b21b1b1, 11∴0a1,0b1. 22又a1b1a2b2a1b11a11b12a1b11a1b1, 22a1a2bb12a11a1b11b1a1a2a1b1, a1b2a2b1a11b11a1b1a1b12a1b1, ∴a1b2a2b1a1a2b1b2a21b212a1b1a1b1, ∴a1b2a2b1a1a2bb12. 9.若fx3x2x1,gx2x2x1,则fx与gx的大小关系是________. 答案:fxgx

解析:【知识点:不等式的性质,不等式的证明】

∵fxgxx22x2x110,∴fxgx. 10.已知4ab1,14ab5,求9ab的取值范围. 答案:见解析

解析:【知识点:不等式的性质,不等式的证明】

5mm4n93设9a−b=m(a−b)+n(4a−b)=(m+4n)a−(m+n)b,∴,解得

8mn1n322∵−4⩽a−b⩽−1,−1⩽4a−b⩽5,∴(ab)∴9a−b的取值范围是[−1,20]. ★★★探究型多维突破

5353208840,(4ab),∴−1⩽9a−b⩽20. 3333

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11.设f(x)＝1＋logx3,g(x)＝2logx2,其中x＞0且x≠1,试比较f(x)与g(x)的大小. 【知识点:不等式的性质,不等式的证明,分类讨论】

3x解:解

f(x)－g(x)＝1＋logx3－2logx2＝logx4, 0＜x＜1，①当3x＞1，4

x＞1，或3x0＜4＜1，

43x即1＜x＜3时,logx4＜0,∴f(x)＜g(x); 3x43x②当4＝1,即x＝3时,logx4＝0,即f(x)＝g(x); 0＜x＜1，③当3x0＜4＜1，

x＞1，或3x＞1，4

43x即0＜x＜1,或x＞3时,logx4＞0,即f(x)＞g(x). 4综上所述,当1＜x＜3时,f(x)＜g(x); 4当x＝3时,f(x)＝g(x); 4当0＜x＜1,或x＞3时,f(x)＞g(x). 12.设x,y,z∈R,试比较5x2＋y2＋z2与2xy＋4x＋2z－2的大小. 【知识点:不等式的性质,不等式的证明】

解:解

∵5x2＋y2＋z2－(2xy＋4x＋2z－2) ＝4x2－4x＋1＋x2－2xy＋y2＋z2－2z＋1 ＝(2x－1)2＋(x－y)2＋(z－1)2≥0, ∴5x2＋y2＋z2≥2xy＋4x＋2z－2, 1当且仅当x＝y＝2且z＝1时取到等号. 四、自助餐

1.已知cb>0,下列不等式中必成立的一个是（

）

A.a＋c>b＋d

B.a－c>b－d

C.ad

abD.c>d

答案B 解析:【知识点:不等式的性质】

2.若a,b,c∈R,a>b,则下列不等式成立的是（

）

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11A.a

B.a2>b2

C.ab>

c2＋1c2＋1D.a|c|>b|c| 答案C 解析:【知识点:不等式的性质,不等式的证明】

1111对A,若a>0>b,则a>0,b<0,此时a>b,∴A不成立; 对B,若a＝1,b＝－2,则a2b2,∴B不成立; ab对C,∵c11,且a>b,∴2>恒成立,∴C正确; c＋1c2＋12对D,当c＝0时,a|c|＝b|c|,∴D不成立. 3.若x≠2且y≠－1,则M＝x2＋y2－4x＋2y的值与－5的大小关系是（

）

A.M>－5 B.M<－5 C.M＝－5 D.不能确定

答案A 解析:【知识点:不等式的性质,不等式的证明】

M－(－5)＝x2y24x2y5x2y1,∵x≠2且y≠－1,∴x2y10, ∴M>－5.故选A. 4.若a＜0,－1＜b＜0,则有（）

A.aabab2

B.ab2aba

C.abaab2

D.abab2a

答案:B 解析:【知识点:不等式的性质】

5.若a

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222211＋的值为（

）

c－ba－c

B.负数

C.非正数

D.非负数

答案:A 解析:【知识点:不等式的性质,不等式的证明】

11accbab＋＝.

c－ba－ccbaccbac∵a0,a－c<0,a－b<0,∴ab0. cbac116.对于0a1,给出下列四个不等式:①loga(1a)loga(1);②loga(1a)loga(1); aa③a1aa11a;④a1aa11a,其中成立的是（

）

A.①与③

B.①与④

C.②与③

D.②与④

答案:C 解析:【知识点:不等式的性质,不等式的证明,对数函数的性质,指数函数的性质】

7.若x∈R,则答案:x12与的大小关系为________. 1＋x2x1≤

1＋x22解析:【知识点:不等式的性质,不等式的证明】

x1x22x1x10, ∵－＝221＋x222x121x∴x1≤. 1＋x222a8.已知12

3解析:【知识点:不等式的性质,不等式的证明】

1a由b的范围,可求－b的范围,b的范围,再由不等式性质,可求a－b的范围,b的范围.由

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111－36<－b<－15，

a1∴a－b,b的取值范围分别为(－24,45),3，4. 9.设n>1,n∈N,A＝n－n－1,B＝n＋1－n,则A与B的大小关系为________. 答案:A>B

解析:【知识点:不等式的性质,不等式的证明】

A＝1n＋n－1,B＝1. n＋1＋n∵n＋n－1B. 11210.若1

其中,正确的结论是________(填序号). 答案:①②③

解析:【知识点:不等式的性质,不等式的证明,对数函数的性质,指数函数的性质】

11用特殊值法.由1

解析:【知识点:不等式的性质,不等式的证明】

证明:方法一（作差法）:adbcacbdab,因为ab0,cd0,acbd0,acbd0,. cddcab. dcaacacab方法二（作商法）:d,因为ab0,cd0,所以acbd0,所以1,所以. bbddcbdca2－b2a－b12.设a>b>0,试比较2与的大小. a＋b2a＋b答案:见解析

解析:【知识点:不等式的性质,不等式的证明】

方法一:作差法

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a－ba－babababab－＝a2＋b2a＋ba2b2ab222222ababa2b22abab

a2b2aba2b2ab2∵a>b>0,∴a＋b>0,a－b>0,2ab>0. a2－b2a－b0,∴2∴2. 2>2a＋ba＋babab2abab方法二:作商法

a2－b2a－b∵a>b>0,∴2>0,>0. a＋b2a＋ba2－b2a2＋b2ab2a2＋b2＋2ab2ab∴＝2＝＝1＋2222>1. 2a－ba＋ba＋baba＋ba2－b2a－b∴2>. a＋b2a＋b

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