复习参考题教案和学案内容

课题: §3.3.1二元一次不等式（组）与平面区域

第2课时

授课类型：新授课

【教学目标】

1．知识与技能：巩固二元一次不等式和二元一次不等式组所表示的平面区域；能根据实际问题中的已知条件，找出约束条件；

2．过程与方法：经历把实际问题抽象为数学问题的过程，体会集合、化归、数形结合的数学思想；

3．情态与价值：结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生创新。

【教学重点】

理解二元一次不等式表示平面区域并能把不等式（组）所表示的平面区域画出来；

【教学难点】

把实际问题抽象化，用二元一次不等式（组）表示平面区域。

【教学过程】

1.课题导入

[复习引入] 二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）

判断方法：由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y)，把它的坐标（x,y)代入Ax+By+C，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x0,y0)，从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C≠0时，常把原点作为此特殊点）。

随堂练习1

1、画出不等式2x+y-6＜0表示的平面区域. xy502、画出不等式组xy0表示的平面区域。

x32.讲授新课

【应用举例】

yx+y=055B(-,)22x-y+5=06x=303C(3,-3)xA(3,8)例3 某人准备投资 1 200万兴办一所完全中学，对教育市场进行调查后，他得到了下面的数据表格（以班级为单位）：

学段

初中

高中

班级学生人数

45 40 配备教师数

2 3 硬件建设/万元

26/班

54/班

教师年薪/万元

2/人

2/人

分别用数学关系式和图形表示上述的限制条件。

解：设开设初中班x个，开设高中班y个，根据题意，总共招生班数应限制在20-30之间，所以有20xy30

考虑到所投资金的限制，得到26x54y22x23y1200

共10页

第1页

即 x2y40

另外，开设的班数不能为负，则x0,y0

把上面的四个不等式合在一起，得到：

20xy30x2y40

x0y0用图形表示这个限制条件，得到如图的平面区域（阴影部分）

例4 一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐18t；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t,硝酸盐15t,现库存磷酸盐10t、硝酸盐66t，在此基础上生产两种混合肥料。列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域。

解：设x,y分别为计划生产甲乙两种混合肥料的车皮数，于是满足以下条件：

4xy1018x15y66

x0y0在直角坐标系中可表示成如图的平面区域（阴影部分）。

[补充例题] 例1、画出下列不等式表示的区域

(1) (xy)(xy1)0； (2) xy2x

分析：(1)转化为等价的不等式组； (2)注意到不等式的传递性，由x2x，得x0，又用y代y，不等式仍成立，区域关于x轴对称。

xy0xy0解：(1)矛盾无解，故点(x,y)在一带形区域内0xy1或xy10xy1（含边界）。

(2) 由x2x，得x0；当y0时，有当y0，由对称性得出。

指出：把非规范形式等价转化为规范不等式组形式便于求解

xy0点(x,y)在一条形区域内(边界)；2xy0共10页

第2页

2xy30例2、利用区域求不等式组2x3y60的整数解

3x5y150分析：不等式组的实数解集为三条直线l1:2xy30，l2:2x3y60，l3:3x5y150所围成的三角形区域内部(不含边界)。设l1l2A，l1l3B，取出x的所有整数值，再代回原不等式组转化为yl2l3C，求得区域内点横坐标范围，的一元不等式组得出相应的y的整数值。

解：设l1:2xy30，l2:2x3y60，l3:3x5y150，l1l2A，l1l3B，l2l3C，∴A(1537512,)，B(0,3)，C(,)。于是看出区域内点的841919y1754横坐标在(0,)内，取x＝1，2，3，当x＝1时，代入原不等式组有y⇒19312y512y1，得y＝－2，∴区域内有整点(1,-2)。同理可求得另外三个整点(2,0)，5(2,-1)，(3,-1)。

指出：求不等式的整数解即求区域内的整点是教学中的难点，它为线性规划中求最优整数解作铺垫。常有两种处理方法，一种是通过打出网络求整点；另一种是本题解答中所采用的，先确定区域内点的横坐标的范围，确定x的所有整数值，再代回原不等式组，得出y的一元一次不等式组，再确定y的所有整数值，即先固定x，再用x制约y。

3.随堂练习2 1．（1）yx1； （2）．xy；

（3）．xy

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xy60xy02．画出不等式组表示的平面区域

y3x53．课本第97页的练习4 4.课时小结

进一步熟悉用不等式（组）的解集表示的平面区域。

5.评价设计

1、课本第105页习题3.3[B]组的第1、2题

课题: §3.3.2简单的线性规划

第3课时

授课类型：新授课

【教学目标】

1．知识与技能：使学生了解二元一次不等式表示平面区域；了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念；了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题；

2．过程与方法：经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程，提高数学建模能力；

3．情态与价值：培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力。

【教学重点】

用图解法解决简单的线性规划问题

【教学难点】

准确求得线性规划问题的最优解

【教学过程】

1.课题导入

[复习提问] 1、二元一次不等式AxByC0在平面直角坐标系中表示什么图形？

2、怎样画二元一次不等式（组）所表示的平面区域？应注意哪些事项？

3、熟记“直线定界、特殊点定域”方法的内涵。

2.讲授新课

在现实生产、生活中，经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排等问题。

1、下面我们就来看有关与生产安排的一个问题：

引例：某工厂有A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h,每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天8h计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？

（1）用不等式组表示问题中的限制条件：

设甲、乙两种产品分别生产x、y件，又已知条件可得二元一次不等式组：

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x2y84x164y12 ……………………………………………………………….（1）

x0y0（2）画出不等式组所表示的平面区域：

如图，图中的阴影部分的整点（坐标为整数的点）就代表所有可能的日生产安排。

（3）提出新问题：

进一步，若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？

（4）尝试解答：

设生产甲产品x件，乙产品y件时，工厂获得的利润为z,则z=2x+3y.这样，上述问题就转化为：

当x,y满足不等式（1）并且为非负整数时，z的最大值是多少？

把z=2x+3y变形为y2z2zx，这是斜率为，在y轴上的截距为的直线。当z3333变化时，可以得到一族互相平行的直线，如图，由于这些直线的斜率是确定的，因此只要给28zx），这说明，截距可3332z以由平面内的一个点的坐标唯一确定。可以看到，直线yx与不等式组（1）的区33z域的交点满足不等式组（1），而且当截距最大时，z取得最大值。因此，问题可以转32z化为当直线yx与不等式组（1）确定的平面区域有公共点时，在区域内找一个33z点P，使直线经过点P时截距最大。

3定一个点，（例如（1，2）），就能确定一条直线（y（5）获得结果：

由上图可以看出，当实现y时，截距2zx金国直线x=4与直线x+2y-8=0的交点M（4，2）33z14的值最大，最大值为，这时2x+3y=14.所以，每天生产甲产品4件，乙产品332件时，工厂可获得最大利润14万元。

2、线性规划的有关概念：

①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，故又称线性约束条件．

②线性目标函数：

关于x、y的一次式z=2x+y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫线性目标函数．

③线性规划问题：

一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．

④可行解、可行域和最优解：

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第5页

满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解．

由所有可行解组成的集合叫做可行域．

使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解．

3、

变换条件，加深理解

探究：课本第100页的探究活动

（1）

在上述问题中，如果生产一件甲产品获利3万元，每生产一件乙产品获利2万元，有应当如何安排生产才能获得最大利润？在换几组数据试试。

（2）

有上述过程，你能得出最优解与可行域之间的关系吗？

3.随堂练习

1．请同学们结合课本P103练习1来掌握图解法解决简单的线性规划问题. yyx,（1）求z=2x+y的最大值，使式中的x、y

满足约束条件xy1,

y1.解：不等式组表示的平面区域如图所示：

当x=0,y=0时，z=2x+y=0 点（0，0）在直线l0:2x+y=0上. 作一组与直线l0平行的直线

321Ox-y=011B(,)22x12-2-1A(2,-1)C(-1,-1)-1x+y-1=02x+y=0l:2x+y=t,t∈R. 可知，在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于l的直线中，以经过点A（2，-1）的直线所对应的t最大. 所以zmax=2×2-1=3. （2）求z=3x+5y的最大值和最小值，使式中的x、y满足约束条件y5x3y15,

yx1,x5y3.解：不等式组所表示的平面区域如图所示：

从图示可知，直线3x+5y=t在经过不等式组所表示的公共区域内的点时，以经过点（-2，-1）的直线所对应的t最小，以经过点（最大. 所以zmin=3×(-2)+５×(-1)=-11. x-y+1=09173x+5y=0(,)A88x-5y-3=01C-1Ox3-1B5x+3y-15=05917,）的直线所对应的t88zmax=3×917+5×=14 884.课时小结

用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：

（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；

（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；

（3）在可行域内求目标函数的最优解

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第6页

5.评价设计

课本第105页习题[A]组的第2题. 课题: §3.3.2简单的线性规划

第4课时

授课类型：新授课

【教学目标】

1．知识与技能：掌握线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题；

2．过程与方法：经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程，提高数学建模能力；

3．情态与价值：引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。

【教学重点】

利用图解法求得线性规划问题的最优解；

【教学难点】

把实际问题转化成线性规划问题，并给出解答，解决难点的关键是根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，利用图解法求得最优解。

【教学过程】

1.课题导入

[复习引入]： 1、二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域（虚线表示区域不包括边界直线）

2、目标函数, 线性目标函数，线性规划问题,可行解，可行域, 最优解: 2.讲授新课

线性规划在实际中的应用：

线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用，一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务

下面我们就来看看线性规划在实际中的一些应用：

[范例讲解] 例5 营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg的碳水化合物，0.06kg的蛋白质，0.06kg的脂肪，1kg食物A含有0.105kg碳水化合物，0.07kg蛋白质，0.14kg脂肪，花费28元；而1kg食物B含有0.105kg碳水化合物，0.14kg蛋白质，0.07kg脂肪，花费21元。为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A和食物B多少kg？

指出:要完成一项确定的任务,如何统筹安排,尽量做到用最少的资源去完成它,这是线性规划中最常见的问题之一. 例6 在上一节例3中，若根据有关部门的规定，初中每人每年可收取学费1 600元，高中每人每年可收取学费2 700元。那么开设初中班和高中班各多少个，每年收取的学费总额最高多？

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第7页

指出:资源数量一定,如何安排使用它们,使得效益最好,这是线性规划中常见的问题之一

结合上述两例子总结归纳一下解决这类问题的思路和方法：

简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：

（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；

（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；

（3）在可行域内求目标函数的最优解

3.随堂练习

课本第103页练习2

4.课时小结

线性规划的两类重要实际问题的解题思路：

首先，应准确建立数学模型，即根据题意找出约束条件，确定线性目标函数。然后，用图解法求得数学模型的解，即画出可行域，在可行域内求得使目标函数取得最值的解，最后，要根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的解，即结合实际情况求得最优解。

5.评价设计

课本第105页习题3.3[A]组的第3题

课题: §3.3.2简单的线性规划

第5课时

授课类型：新授课

【教学目标】

1．知识与技能：掌握线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题；

2．过程与方法：经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程，提高数学建模能力；

3．情态与价值：引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。

【教学重点】

利用图解法求得线性规划问题的最优解；

【教学难点】

把实际问题转化成线性规划问题，并给出解答，解决难点的关键是根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，利用图解法求得最优解。

【教学过程】

1.课题导入

[复习引入]： 1、二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域（虚线表示区域不包括边界直线）

2、目标函数, 线性目标函数，线性规划问题,可行解，可行域, 最优解: 3、用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：

2.讲授新课

1．线性规划在实际中的应用：

例7 在上一节例4中，若生产1车皮甲种肥料，产生的利润为10 000元；生产1车共10页

第8页

皮乙种肥料，产生的利润为5 000元，那么分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？

2．课本第104页的“阅读与思考”——错在哪里？

若实数x，y满足

1xy3 求4x+2y的取值范围．

1xy1错解：由①、②同向相加可求得：

0≤2x≤4 即 0≤4x≤8 ③

由②得 —1≤y—x≤1 将上式与①同向相加得0≤2y≤4 ④

③十④得 0≤4x十2y≤12 以上解法正确吗?为什么? (1)[质疑]引导学生阅读、讨论、分析．

(2)[辨析]通过讨论，上述解法中，确定的0≤4x≤8及0≤2y≤4是对的，但用x的最大(小)值及y的最大(小)值来确定4x十2y的最大(小)值却是不合理的．X取得最大（小）值时，y并不能同时取得最大（小）值。由于忽略了x和 y 的相互制约关系，故这种解法不正确．

(3)[激励]产生上述解法错误的原因是什么?此例有没有更好的解法?怎样求解? 正解：

因为 4x+2y=3(x+y)+(x-y) 且由已有条件有： 33(xy)9 （5）

1xy1 （6）

将（5）（6）两式相加得 24x2y3(xy)(xy)10

所以 24x2y10

3.随堂练习1 xy21、求zxy的最大值、最小值，使x、y满足条件x0

y0x4y32、设z2xy，式中变量x、y满足

3x5y25

x1共10页

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4.课时小结

[结论一]线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得. [结论二]线性目标函数的最大值、最小值也可能在可行域的边界上取得，即满足条件的最优解有无数多个．

5.评价设计

课本第105页习题3.3[A]组的第4题

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