3.1.2 复数的几何意义优秀说课稿

3.1.2 复数的几何意义

授课人：冯庆探

一．教学目标：

1.

了解复平面、实轴、虚轴等基本概念；

2.

理解并掌握复数的几何意义，并能简单应用；

3.

理解复数的模的概念并会求复数的模，了解复数的模与实数绝对值之间的区别与联系。

二．教学重点：复数的几何意义、复数的模。

三．教学难点：复数的模、复数的模与绝对值之间的区别与联系.

四．教学方法：讲练结合法、提问法

五．教学过程：

（一）类比引入：

类比实数的几何意义，设置问题：复数的几何意义是什么？

思考：实数与数轴上的点一一对应，因此，实数可用数轴上的点来表示.类比实数的几何意义，复数的几何意义是什么？

（二）新课讲解：

1．复平面

建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面。x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。

y

b

注：根据复数相等的定义，任何一个复数z=a+bi,都可以

由一个有序实数对(a,b)唯一对应. 故复数z=a+bi,可用点Z(a,b)表示

为此，建立一个直角坐标系来表示复数，该平面即为复平面。

2．复数的几何意义

①与点对应

由复平面可知，实轴上的点表示实数；除原点外，虚轴上的点表

示纯虚数

例如:原点(0,0)表示实数0，实轴上的点(2,0)表示实数2，虚轴上的点

(0,-1)表示纯虚数-i，点(2,3)表示复数-2+3i等。（如图）

按照这种表示方法，每一个复数，在复平面内有唯一的一个点和它

对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应。

因此，复数z=a+bi与复平面内的点Z(a,b)一一对应。

[例1]..(1)实部为-2，虚部为1的复数所对应的点位于复平面的(

) A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

(2)在复平面内，若复数z=(m2-m-2)+(m2-3m+2)i(m∈R)的对应点分别满足如下条件，分别求复数z. (0,0)

O

(2,0)

(0,-1)

x

y

(2,3)

O

实轴

a

x

Z:a+bi

虚轴

1

①在虚轴上；

②在实轴负半轴上. 解析：(1)复数所对应的点为(-2,1)，故在第二象限，选B；

(2)

①由题意可知，复数z对应的点的坐标为(m2-m-2，m2-3m+2), 因为复数z在虚轴上，故m2-m-2=0，解得：m=-1或2；

当m=-1时，z=6i ，

当m=2时，z=0 ②因为复数z在负半轴上，故m2m2023m20，解得：m=1，所以z=-2 m小结：利用复数对应点的坐标与复平面的关系，解决问题. ②与向量对应

在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个点来表示，

y

而点与复数一一对应，因此平面向量可以表示复数。

b

Z

注：点Z表示复数z=a+bi 向量OZ由点Z唯一确定（点O必须是原点，否则难以说明一一对应，

因为复平面上与OZ相等的向量有无数个）；而点Z也可由向量

O

a

x

OZ唯一确定。所以，复数z=a+bi与平面向量OZ一一对应。

因此，我们常把复数z=a+bi说成点Z或说出向量OZ，并且规定，相等的向量表示相等复数. 即：

复数z=a+bi

一一对应

一一对应

点z(a,b)

向量OZ

一一对应

[例2]设O是原点，向量OA，OB对应的复数分别为2-3i，-3+2i，那么向量BA对应的复数是(

A.-5+5i

B.-5-5i

C.5+5i

D.5-5i 解析：因为OA对应的点的坐标为(2,-3)，OB对应的点的坐标为(-3,2)，

所以BA(5,5)，所以向量BA对应的复数为5-5i，故选D. 小结：复数，向量，点三者一一对应，相互等价，可以都转化成点的坐标，方便计算. 变式训练：在复平面内，O是原点，向量OA对应的复数分别为2+i. (1)如果点A关于实轴的对称点为点B，求向量OB对应的复数；

(2)如果(1)中的点B关于虚轴的对称点为点C，求点C对应的复数.

2 )

3.复数的模

类比思考，从而引出复数的模：我们知道平面向量既有方向又有大小，其大小称为向量的模；而复数与平面向量一一对应，那复数有大小吗？

得出复数的模的定义：复数z=a+bi对应的向量OZ的模叫做复数z的模，记为|z|或|a+bi| 由模的定义可知：|z||abi|a2b2

13i，求它们的模；

22[例3](1)已知复数z13i，z22)已知复数za3i(aR)在复平面上对应的点位于第二象限，且|z|=2，则复数z等于（

）

A.13i

B.13i

C.13i或13i

D.23i

解析：(1)|z1|13(3)2122，|z2|()2()21. 22a0（2）因为复数z对应的点的坐标是(a,3)，所以由题意可知，解得：a= -1. 2|z|a32小结：利用复数求模的公式，解决问题.

（三）课堂练习

1.在复平面内，复数6+5i,-2+3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是

; 2.已知复数z对应的向量OZ(O为坐标原点)，OZ与实轴正向的夹角为120°，且|z|=2，则复数z=

;

3.复数z=a2-1+(a+1)i(a∈R)是纯虚数，则|z|=

.

（四）．课堂小结

1．复数的两种几何意义：

(1)复数与复平面上的点：复数z=a+bi(a,b∈R)的对应点的坐标为(a,b)，而不是(a,bi).

(2)复数与向量的对应：复数z=a+bi(a,b∈R)的对应向量OZ是以原点O为起点的. 2.复数的模：复数z=a+bi的模|abi|a2b2

（五）．课堂作业

1．已知z-|z|=-1+i，则复数z= . 2.已知m,n∈R，若log2(m2-3m-3)+log2(m-2)i为纯虚数，复数z=m+ni的对应点在直线x+y-2=0上，求|z|.

（六）板书设计（略）

（七）课后反思

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