回顾与思考优秀公开课教案

《证明线段比例式或等积式的方法》教学设计

南郑区濂水镇初级中学

李群波

一、教学目标：

掌握证明线段比例式或等积式的方法

二、教学重难点：

1.重点：几种证明方法的掌握

2.难点：等积代换法的思考方向

三、教学时数：2课时

四、教学过程：

（一）复习引入：

1.成比例线段

2.相似三角形的性质

3.相似三角形的判定

（二）新授：

1.“三点定形法”

即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。具体做法是：先看比例式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能，则只要证明这两个三角形相似就可以了，这叫做“横定”；若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，则只要证明这两个三角形相似就行了，这叫做“竖定”。

例1、已知:如图,ΔABC中,CE⊥AB,BF⊥AC. 求证: AEAFAC BA（判断“横定”还是“竖定”？

）

例2、如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，∠BAC的

平分线分别交BC、CD于点E、F，AC·AE=AF·AB吗？

说明理由。

2.过渡法（或叫代换法）

有些习题无论如何也构造不出相似三角形，这就要考虑灵活地运用“过渡”，其主要类型有三种，下面分情况说明．

（1）等量过渡法（等量代换法）

遇到三点定形法无法解决欲证的问题时，即如果线段比例式中的四条线段都在图形中的同一条直线上，不能组成三角形，或四条线段虽然组成两个三角形，但这两个三角形并不相似，那就需要根据已知条件找到与比例式中某条线段相等的一条线段来代替这条线段，如果没有，可考虑添加简单的辅助线。然后再应用三点定形法确定相似三角形。只要代换得当，问题往往可以得到解决。当然，还要注意最后将代换的线段再代换回来。

例1：如图3，△ABC中，AD平分∠BAC， AD的垂直平分线FE交BC的延长线于E．求证：DE2＝BE·CE．

（2）等比过渡法（等比代换法）

当用三点定形法不能确定三角形，同时也无等线段代换时，可以考虑用等比代换法，即考虑利用第三组线段的比为比例式搭桥，也就是通过对已知

条件或图形的深入分析，找到与求证的结论中某个比相等的比，并进行代换，然后再用三点定形法来确定三角形。

例2：如图4，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，E是AC的中点，ED交AB的延长线于点F．

求证：

（3）等积过渡法（等积代换法）

思考问题的基本途径是：用三点定形法确定两个三角形，然后通过三角形相似推出线段成比例；若三点定形法不能确定两个相似三角形，则考虑用等量（线段）代换，或用等比代换，然后再用三点定形法确定相似三角形，若以上三种方法行不通时，则考虑用等积代换法。

例3：如图5，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高，G是DC延长线上一点，过B作BE⊥AG，垂足为E，交CD于点F．

求证：CD2＝DF·DG．

（三）随堂练习：

1．如图，点D、E分别在边AB、AC上，且∠ADE=∠C 求证：（1）△ADE∽△ACB; (2)AD·AB=AE·AC. ABDF．

ACAF

2.如图，△ABC中，点DE在边BC上，且△ADE是等边三角形，∠BAC=120°

求证： （1）△ADB∽△CEA; （2）DE²=BD·CE; (3)AB·AC=AD·BC.

3．如图，E是平行四边形的边DA延长线上一点，EC交AB于点G,交BD于点F, 求证：FC²=FG·EF.

4、如图，△ABC中，AB=AC,点D为BC边中点，CE∥AB,BE分别交AD、AC于点F、G，连接FC. 求证：（1）BF=CF. (2)BF²=FG·FE.

5．如图，ABCD为直角梯形，AB∥CD,AB⊥BC,AC⊥BD。AD= BD，过E作EF∥AB交AD于F.

是说明：（1）AF=BE;(2)AF²=AE·EC.

（四）课堂小结

综上可知，利用相似三角形证明线段的比例式或等积式时，思考问题的基本途径是：用三点定形法确定两个三角形，然后通过三角形相似推出线段成比例；若三点定形法不能确定两个相似三角形，则考虑用等量（线段）代换，或用等比代换，然后再用三点定形法确定相似三角形，若以上三种方法行不通时，则考虑用等积代换法。总之，最终是通过相似三角形来证明线段比例式或等积式的。

（五）作业