正弦、余弦、正切函数的简单应用教学设计模板

第四单元 三角形

第二十一课时

锐角三角函数及其应用

1. (2017天津)cos60°的值等于(

) 21A. 3

B. 1

C. 2

D. 2

2. (2017怀化)如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(3，4)，那么sinα的值是(

) 3344A. 5

B. 4

C. 5

D. 3

第2题图

第3题图

3. (2017长沙中考模拟卷六)如图，在Rt△ABC中，斜边AB的长为m，∠B＝40°，则直角边BC的长是(

) mA. mcos40°

B. msin40°

C. mtan40°

D. tan40°

4. (2017天水)在正方形网格中△ABC的位置如图所示，则cos∠B的值为(

) 1233A. 2

B. 2

C. 2

D. 3

1

第4题图

第5题图

5. (2017温州)如图，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13米，已知cosα12＝13，则小车上升的高度是(

) A. 5米

B. 6米

C. 6.5米

D. 12米

6. (2017宜昌)△ABC在网格中的位置如图所示(每个小正方形边长为1)，AD⊥BC于D，下列四个选项中，错误的是(

) A.

sinα＝cosα

B.

tanC＝2 C.

sin β＝cos β

D.

tanα＝1

第6题图

第7题图

7. (2017河北)如图，码头A在码头B的正西方向，甲、乙两船分别从A、B同时出发，并以等速驶向某海域．甲的航向是北偏东35°，为避免行进中甲、乙相撞，则乙的航向不能是(

) A. 北偏东55°

B. 北偏西55°

C. 北偏东35°

D. 北偏西35°

8. (2017重庆A卷)如图，小王在长江边某瞭望台D处，测得江面上的渔船A的俯角为40°，若DE＝3米，CE＝2米，CE平行于江面AB，迎水坡BC的坡度2

i＝1∶0.75，坡长BC＝10米，则此时AB的长约为(参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84)(

) A. 5.1米

B. 6.3米

C. 7.1米

D. 9.2米

第8题图

第10题图

A9. (2017烟台)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，BC＝3，则sin2＝________．

10. (2017德阳)如图所示，某拦水大坝的横断面为梯形ABCD，AE、DF为梯形的高，其中迎水坡AB的坡角α＝45°，坡长AB＝62米，背水坡CD的坡度i＝1∶3(i为DF与FC的比值)，则背水坡CD的坡长为________米．

11. (8分)(2017恩施州)如图，小明家在学校O的北偏东60°方向，距离学校80米的A处，小华家在学校O的南偏东45°方向的B处，小华家在小明家正南方向，求小华家到学校的距离．(结果精确到1米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45)

第11题图

12. (8分)(2017安徽)如图，游客在点A处坐缆车出发，沿A—B—D的路线可至山顶D处．假设AB和BD都是直线段，且AB＝BD＝600 m，α＝75°，β＝45°，求DE的长．(参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，2≈1.41)

3

第12题图

13. (8分)(2017芙蓉区二十九中模拟)如图，河的两岸l1与l2相互平行，A、B是l1上的两点，C、D是l2上的两点，某人在点A处测得∠CAB＝90°，∠DAB＝30°，再沿AB方向前进20米到达点E(点E在线段AB上)，测得∠DEB＝60°，求C、D两点间的距离．

第13题图

14. (8分)(2017麓山国际实验学校二模)如图①是一个新款水杯，水杯不盛水时按如图②所示的位置放置，这样可以快速晾干杯底，干净透气；将图②的主体部分抽象成图③，此时杯口与水平直线的夹角为35°，四边形ABCD可以看作矩形，测得AB＝10 cm，BC＝8 cm，过点A作AF⊥CE，交CE于点F. (1)求∠BAF的度数；

(2)求点A到水平直线CE的距离AF的长(精确到0.1 cm)．

(参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70)

4

第14题图

15. (9分)(2017长沙中考模拟卷四)如图，为了测量某建筑物BC的高度，小明先在地面上用测角仪自A处测得建筑物顶部的仰角是30°，然后在水平地面上向建筑物前进了20 m到达D处，此时遇到一斜坡，坡度i＝1∶3，沿着斜坡前进40 m到达F处测得建筑物顶部的仰角是45°，(坡度i＝1∶3是指坡面的铅直高度FE与水平宽度DE的比)．

(1)求斜坡DF的端点F到水平地面AB的距离和斜坡的水平宽度DE分别为多少米？

(2)求建筑物BC的高度为多少米？

(3)现小亮在建筑物一楼(水面地面上点B处)乘电梯至楼顶(点C)，电梯速度为2(3＋3)m/s，同时小明从测角仪处(点A)出发，骑摩托车至斜坡的端点F处，已知，小明在平地上的车速是上坡车速的两倍，小亮所用时间是小明所用时间的一半，求小明上坡时的车速为多少？

第15题图

答案

1. D

2. C

3. A

4. B

5. A

6. C

【解析】∵网格中每一个小正方形的边长均为1，则AD＝2，BD＝2，CDBD2＝1，AB＝AD2＋BD2＝22，AC＝AD2＋CD2＝5，∴sinα＝AB＝2，cos5

AD2ADα＝AB＝2，∴sinα＝cosα，故A正确；tanC＝CD＝2，故B正确；sinβ＝CD5AD25BD＝，cosβ＝＝，∴sinβ≠cosβ，故C错误；tanα＝AC5AC5AD＝1，故D正确．

第7题解图

7. D

【解析】如解图，∵两船等速且不能相撞，∴甲与乙所行路程不能相等，∴△ABC不能是等腰三角形，∴∠CBD≠35°，∴乙的航向不能是北偏西35°.

第8题解图

8. A

【解析】如解图，延长DE交江面AB延长线于点F，可得DF⊥AB，过点C作CG⊥AB于点G，∵迎水坡BC的坡度＝1∶0.75＝4∶3，设BG＝3x，CG＝4x，在Rt△BCG中，∴BC＝5x，∵BC＝10米，即5x＝10，x＝2，∴BG＝3x＝6米，CG＝4x＝8米，∵DF⊥AB，CG⊥AB，∴四边形CEFG是矩形，∴GF＝CE＝2米，EF＝CG＝8米，∴DF＝3＋8＝11米，在Rt△ADF中，∠A＝40°，DF＝11米，∴AF＝DF11≈0.84≈13.10米，∴AB＝AF－BG－GF＝tan40°6

13.10－6－2＝5.10≈5.1米．

1A19. 2

【解析】由题意可知∠A＝60，∴sin2＝sin30°＝2. 10. 12

【解析】在Rt△ABE中，∠α＝45°，AB＝62，则AE＝6，DF＝AE＝6，在Rt△DFC中，DF＝6，DF∶FC＝1∶3，∴∠C＝30°，∴DC＝2DF＝12.

第11题解图

11. 解：如解图，AB⊥OC于点C，在Rt△AOC中，OA＝80，且∠AOC＝90°－60°＝30°，

13∴AC＝2OA＝40，OC＝2OA＝403，

在Rt△OCB中，OC＝CB＝403，

∴OB＝2OC＝406≈98. 答：小华家到学校的距离约为98米．

DF12. 解：在Rt△BDF中，由sinβ＝BD可得，

2DF＝BD·sinβ＝600×sin45°＝600×2＝3002≈423(m)，

BC在Rt△ABC中，由cosα＝AB可得，

BC＝AB·cosα＝600×cos75°≈600×0.26＝156(m)，

7

∴DE＝DF＋EF＝DF＋BC≈423＋156＝579(m)，

答：DE的长为579 m. 13. 解：过点D作l1的垂线，垂足为F，

∵∠DEB＝60°，∠DAB＝30°，

第13题解图

∴∠ADE＝∠DEB－∠DAB＝30°，

∴△ADE为等腰三角形，

∴DE＝AE＝20，

1在Rt△DEF中，EF＝DE·cos60°＝20×＝10，

2∵DF⊥AF，即∠DFB＝90°，

∴AC∥DF，

由已知l1∥l2，

∴CD∥AF，

∴四边形ACDF为矩形，CD＝AF＝AE＋EF＝30，

答：C、D两点间的距离为30米．

14. 解：(1)∵四边形ABCD是矩形，

∴∠D＝∠BCD＝90°，

∴∠DAF＝∠DCE＝90°－35°＝55°，

∴∠BAF＝90°－55°＝35°；

(2)如解图，作BM⊥AF于M，BN⊥EF于N，

8

第14题解图

则MF＝BN＝BC·sin35°＝0.57×8≈4.56(cm)，

∴AM＝AB·cos35°＝10×0.8192≈8.20(cm)，

∴AF＝AM＋MF＝8.20＋4.56≈12.8(cm)．

答：点A到水平直线CE的距离AF的长为12.8 cm. 15.

解：(1)在Rt△DEF中，i＝EF∶DE＝1∶3，DF＝40 m，

设EF＝x

m，则DE＝(3x)m，

由勾股定理可得：DF＝EF2＋DE2，即40＝x2＋（3x）2，

解得x＝20，3x＝203，即EF＝20 m，DE＝203 m，

答：斜坡DF的端点F到水平地面AB的距离和斜坡的水平宽度DE分别为20米、203米；

(2)由题意可得，△CGF为等腰直角三角形，设CG＝y m，则FG＝y m，

BC＝(20＋y) m，AB＝(20＋203＋y)m，

在Rt△ABC中，BC＝AB·tanA，

3∴20＋y＝3(20＋203＋y)，

解得y＝103＋10，

∴BC＝103＋10＋20＝(103＋30)m，

答：建筑物BC的高度为(103＋30)米；

(3)设小明上坡时的车速为a m/s，则小明在平路的车速为2a m/s，

9

103＋3012040根据题意得，2×(2a＋a)＝，解得a＝5，

2（3＋3）经检验，a＝5是方程的根且符合题意，

答：小明上坡时的车速为5 m/s.

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