特殊角的三角函数值及用计算器求角的三角函数值ppt配套的教案及板书设计

《锐角三角函数》教案

塔湾初级中学

孙维平

教学目标

1．理解正弦、余弦、正切的概念并根据其概念进行正确的计算．

2．感知当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边的比值也都固定这一事实．

3．能推导并熟记30°、45°、60°角的三角函数值，并能根据这些值说出对应锐角度数．

4．能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式．

学习重点

1．理解正弦、余弦、正切的概念并根据其概念进行正确的计算．

2．熟记30°、45°、60°角的三角函数值，能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式．

教学难点

1．当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边的比值是固定值的事实．

2．30°、45°、60°角的三角函数值的推导过程．

教学过程

一、寻疑之自主学习

1．活动

问题：为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出水口的高度为35 m，那么需要准备多长的水管？

思考1：如果使出水口的高度为50 m，那么需要准备多长的水管？

；

如果使出水口的高度为a m，那么需要准备多长的水管？

；

结论：直角三角形中，30°角的对边与斜边的比值

．

思考2：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，∠A对边与斜边的比值是一个定值吗？如果是，是多少？

BAC

结论：直角三角形中，45°角的对边与斜边的比值

．

【答案】

思考1：100米

2a m

1

2思考2：是定值

22

223．通过自主练习寻找疑问

（1）在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，无论三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比都是一个

固定值

．

（2）在直角三角形ABC中，B的对边2若直角三角形DEF中∠D=∠B，则斜边3D的对边2（）．

3斜边（3）在Rt△ABC中，∠C=90°，sin A=5，则sin B等于（

D ）．

13A．58212

B．

C．

D．

1213313（4）（2014·天津）cos 60°的值等于（

A ）．

A．1233

B．

C．

D．

2232（5）（2014·厦门）sin 30°的值是（

C ）．

A．123

B．

C．

D．1 222（6）（2014·包头）计算sin2 45°+cos 30°·tan 60°，其结果是（

A ）．

A．2

B．1

C．55

D．

24

（7）已知α是锐角，且sin（α+15°）=（二、解惑之例题解析

3）．

2例1

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，求sin A和sin B的值．

B B 3

A

4 C

5

C 13 A

解：（1）在Rt△ABC中，根据勾股定理得：

AB2=BC2+AC2，AB=5，

BC3∴sin A==，

AB5sin B=AC4=．

AB5（2）在Rt△ABC中，根据勾股定理得

AC2=AB2-BC2，AC=12 ∴sin A=BC5=

AB13sin B=AC12=

AB13【归纳总结】sin A就是要确定∠A的对边与斜边的比；求sin B就是要确定∠B的对边与斜边的比．

例2

在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6，求sin A、cos A、tan A的值．

解：在Rt△ABC中，根据勾股定理得

AC2=AB2-BC2，AC=8

∴sin A=BC3=，

AB5cos B=AC4=

AB5BC3=

AC4tan A=例3

如图，益阳市梓山湖中有一孤立小岛，湖边有一条笔直的观光小道AB，现决定从小岛架一座与观光小道垂直的小桥PD，小张在小道上测得如下数据：AB=80.0米，∠PAB=38.5°，∠PBA=26.5．请帮助小张求出小桥PD的长并确定小桥在小道上的位置．（以A，B为参照点，结果精确到0.1米）

解：设PD=x米，在Rt△PAD中表示出AD，在Rt△PDB中表示出BD，再由AB=80.0米，可得出方程，解出即可得出PD的长度，继而也可确定小桥在小道上的位置．

设PD=x米，

∵PD⊥AB，∴∠ADP=∠BDP=90°．

在Rt△PAD中，tanPBDxxx5x．

，∴ADADtan38.50.804xxx2x．

，∴DBDBtan26.50.50在Rt△PBD中，tanPBD又∵AB=80.0米，∴∴DB=2x=49.2米．

5x2x80.0，解得：x≈24.6，即PD≈24.6米．

4答：小桥PD的长度约为24.6米，位于AB之间距B点约49.2米．

例4

（1）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=6，BC=3，求∠A的度数．

B 63C

A 解：（1）在图中，

∵sinA=BC2=

AB2∴∠A=45°

（2）如图，已知圆锥的高AO等于圆锥的底面半径OB的3倍，求α．

A O B

解：（2）在图中，圆锥的母线，底面半径，高线正好构成直角三角形，根据三角函数就可以求解设圆锥的底面半径OB为x，则圆锥的高AO等于3x．

∴tan α=AO=3，

OB又∵tan 60°=3，

∴α=60°．

三、尝试之知识巩固

1．如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，BC=5，AB=13．则sin A=（5），sin B=13（12）．

13

2．正方形网格中，∠AOB按如图放置，则cos∠AOB的值为（

A ）．

1255A．

B．

C．

D．2 2553．a，b，c是△ABC的∠A，∠B，∠C的对边，且a∶b∶c=1∶2∶3，则cos B的值为（

B ）．

A．6322

B．

C．

D．

33244．如图，△ABC的三个顶点分别在正方形网格的格点上，则tan A的值是（

A ）．

A．65310210

B．

C．

D．

56103

5．在△ABC中，∠C=90°，AB=3AC，则tan A=（

C ）．

A．12

B．3

C．22

D．

326．如图，⊙O与正方形ABCD的各边分别相切于E，F，G，H，点P是HG上的一点，则tan∠EPF的值是_ 1

_．

四、培优之达标测试

1．在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，sin A=A．8

B．9

C．10

D．12 3，则AB等于（

C ）．

52．在△ABC中，AB=AC=5，sin∠ABC=0.8，则BC=

6

．

13．如图，在△ABC中，∠C=90°，sin A=，BC=2，求AC，AB的长．

4

解：∵sin A=

1BC1，∴=，∴AB=4BC=4×2=8，∴AC=8222=60=215．

4AB43，则∠A=_ 30°

_．

34．若∠A是锐角，tan A=5．已知α为锐角，且cos（90°-α）=1，则α=_ 30°

_．

212|+（1-tan B）=0，则∠C的度数是（

C ）．

26．（2014·凉山州）在△ABC中，若|cos A-A．45°

B．60°

C．75°

D．105°

7．如果在△ABC中，sin A=cos B=A．△ABC是直角三角形

B．△ABC是等腰三角形

C．△ABC是等腰直角三角形

D．△ABC是锐角三角形

8．计算．

（1）（3.14-π）0+（-2，那么下列最确切的结论是（

C ）．

21-2）+|1-8|-4cos 45°；

22=4．

2解：原式=1+4+22-1-4×（2）cos451+2sin 60°·tan 60°-+tan 45°．

sin45tan30解：原式=1+3-3+1=5-3．

9．如图，在⊙O中，过直线AB延长线上的点C作⊙O的一条切线，切点为D，若AC=7，AB=4，则sin C的值为（2）．

5

10．已知直线l1∥l2∥l3∥l4，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，那么sin α=（5）．

5

11．菱形ABCD的边长为10 cm，DE⊥AB，sin A=3，求DE的长和菱形ABCD的面积．

5

解：∵DE⊥AB，∴∠AED=90°．在Rt△AED中，sin A=DE3DE，即=，

AD510解得DE=6，∴菱形ABCD的面积为：10×6=60（cm2）．

12．如图，在半径为5的⊙O中，弦AB=6，点C是优弧AB上一点（不与A，B重合），则cos C的值为（4）．

5

13．在Rt△ABC中，∠C=90°，sin B=4，则sin A的值是（

C ）．

747733A．

B．

C．

D．

7433714．如图，PA，PB切⊙O于A，B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D．若⊙O的半径为r，△PCD的周长等于3r，则tan∠APB的值是（

B ）．

513π

B．12

C．313

D．213

A．122553

点拨：连接OA，OB，OP，延长OB交PA的延长线于点F，由切线长定理可得AC=CE，ED=DB，PA=PB，可知△PCD的周长为2PA，∴PA=PB=2r，由Rt△BFP∽Rt△OAF，得322r232222BFBFAF=，在Rt△PBF中，PF=PB+BF，∴（+）-（r）2=BF2，解得BF=323318r18r312，∴tan∠APB=/r=．

552515．如图，在两面墙之间有一个底端在A点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在D点，已知∠BAC=60°，∠DAE=45°，点D到地面的垂直距离DE=32 m，求点B到地面的垂直距离BC．

解：在Rt△DAE中，∠DAE=45°，DE=32

m，∴sin45°=DE，∴AD=6 m，在Rt△ADACB中，∠BAC=60°，AB=AD=6 m，∵sin60°=

五、课堂小结：

BC，∴BC=33

m．

AB1．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与_

斜边

_边的比叫做∠

A的正弦，记作_ 正弦

_，即sin A=a/c

．

2．我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作_cos A

_，即cos A=_b/c

_．

3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作_ tan A

_，即tan A=a．

b

4．填写下表：

sin α

30°

45°

60°

1

23

23

32

22

21

3

2cos α

1

23

tan α

六、作业设置：

如图，在△ABC中，∠C=90°，点D，E分别在AC，AB上，BD平分∠ABC，DE⊥AB，3AE=6，cos A=．

5求：（1）DE，CD的长；

（2）tan∠DBC的值．

七、自我反思：

本节课我的收获：

．

附作业答案

解：（1）∵∠C=90°，DE⊥AB，BD平分∠ABC，∴ED=DC，在Rt△ADE中，AE=cos A=AD3，∴AD=10．由勾股定理可知ED=8，∴DE=CD=8．

5（2）由（1）知AC=AD+DC=18，cos A=AC3183=，∴=，AB=30，BE=30-6=24，BA5AB5∴BC=BE=24，∴tan∠DBC=81=．

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