信息技术应用 用Excel解线性规划问题举例教案2

可行域是三角形及其内部平面点集的线性规划问题

可行域是三角形及其内部的平面点集的线性规划问题，有其特殊的规律，下面我们通过具体的例子来探索其中的规律并加以利用．

例题：设zxky (k为常数)，其中x、y满足

xy1,2x3y2,

4xy7.（1）当k= -2时，求z的最大值和最小值. (2) 若zmax233k,zmin2k,求k的取值范围. 147解:

可行域是下图中⊿ABC及其内部的平面点集.

y

x+y=1

4x+y=7

2x-3y=2

B(233,)147

O

A(1,0)

x

C (2,-1)

（１）当k= -2时，zx2y，当直线zx2y经过可行域内点C(2,-1)时,z取最大值,当直线经过可行域内点B(23,3)时, z取最小值. 147∴zmax2-2×(-1)=4, zmin=233112=. 14714规律总结：当直线z(x,y)axby经过的可行域为⊿ABC及其内部时，z(x,y)在⊿ABC的顶点A、B、C取最值.特别地,若z(x,y)在两个顶点的值相等,那么在这两个顶点确定的边上的每一个点的值都相等,并且是z(x,y)的最大值或最小值.我们用zA，zB,zC分别表示直线z(x,y)axby过A、B、C时z(x,y)的值.因此解答这类

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题型时可以不作直线z(x,y)axby,而直接计算zA,zB,zC的值,取这三个值中的最大值作为z(x,y)的最大值,取这三个值中的最小值作为z(x,y)的最小值. 根据上面的规律,我们可以这样解答第(1)题: zA=z(1,0)=1-2×0=1, zB=z(zC=z(2,1)=2-2×(-1)=4. 23323311,)=2=, 71414714∴z的最大值是4,最小值是11. 14147(2)由已知可得：当直线zxky经过点B(23,3)时，z取最大值；当直线经过点C (2,-1)时，z取最小值. 记zB=233k,zC=2k. 147①

当k=0时, z=x, 而1x2,显然与已知矛盾. ②

当k0时, zxky即y1xz.

kk由直线zxky在y轴上的截距可知: (ⅰ) 当1>0即k<0时,由kzBzC. kkzBzC得: zBzC. kk1k(ⅱ) 当<0即k>0时,由1k进一步结合图象可知: -1<0,即k1. 综上所述, 所求k的取值范围是[1,+)．

规律总结：根据第（１）题总结的规律，我们有下面更具体的结论：

㈠

zA为最大值，zB为最小值zAzCzB，

㈡

zB为最大值，zA为最小值zBzCzA，

㈢

zA为最大值，zC为最小值zAzBzC，

㈣

zC为最大值，zA为最小值zCzBzA，

㈤

zB为最大值，zC为最小值zBzAzC，

㈥

zC为最大值，zB为最小值zCzAzB．

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如果我们利用上面的结论，就可以不必利用直线zxky与已知中三条直线的位置关系，也不必分类讨论，作出可行域后，立即有下面简捷明快的解法：

解：由已知

zB=233k,zC=2k，zA＝１, 147又zB为最大值，zC为最小值，

233147k1,∴zBzAzC，即：



12k.解这个不等式组得：k1. ∴

所求k的取值范围是[1,+)．

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