阅读与思考 海伦和秦九韶教案推荐

海伦和秦九韶

※学习目标 1. 理解海伦秦九韶公式的推导及证明； 2. 海伦秦九韶公式的灵活运用.

※学习过程

探究1：我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里有一个题目：“问有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里.里法三百步.欲知为田几何.”讲的是有一个三角形沙田，三边分别为13里，14里，15里，则该沙田的面积为多少？

探究2：海伦公式：Sp(pa)(pb)(pc)，其中pabc

2122a2c2b22秦九韶公式（三斜S[ac(：

)]求积术）42你能通过已学知识给出秦九韶(或海伦)面积公式的证明吗？

新知：海伦公式：Sp(pa)(pb)(pc)，其中p122a2c2b22秦九韶公式（三斜S[ac()]

42abc

2

※

典型例题

例1．在希腊数学家海伦的著作《测地术》中记载了著名的海伦公式，利用三角形的三边长求三角形面积。若三角形的三边长分别为a,b,c，其面积Sppapbpc，这里p1abc，已知ABC中，

BC6,AB2AC,2则当ABC的面积取到最大值时，求 sinA

1

解：设a,b,c分别为ABC的三个内角A,B,C的对边，

则a=6,设b=x,则c=2x,可得：

p13xabc3，

223x3x11∴Sppapbpc333x3x

2222x45x21393(x220)216. 16216由三角形三边关系有：x+2x>6且x+6>2x，解得：2

故当x220,x25时, S取得最大值12.此时a=6，b=25，c=45. b2c2a220803643,所以sinA. 由余弦定理得：

cosA52bc805例2．南宋时期的数学家秦九韶独立发现的计算三角形面积的“三斜求积术”，与著名的海伦公式等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减小，余四约之，为实.一为从隅，开平方得积.”122c2a2b2ca若把以上这段文字写成公式，即S422.现有周长为225且sinA:sinB:sinC21:5:21的ABC，求其面积

解∵sinA:sinB:sinC21:5:21

∴由正弦定理得a:b:c221:5:21

∵abc225∴a21，

b5，

c21

∴ac211，

cab651

122c2a2b2∴Sca422221131

2443．中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三

2

角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为，，，则三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海，，求此三角形面积的伦—秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足最大值为

解：由题意由题意p=7，

，，利用基本不等式，即可得出结论．

，

当且仅当7-b=7-c，即b=c时等号成立，

∴此三角形面积的最大值为

例4．《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作.其中在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边a、b、c，求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是“以小斜冥并大斜冥减中斜冥，余半之，自乘于上，以小斜冥乘大斜冥减上，余四约之，为实.一为从隅，开平方得积.”若把以上122c2a2b2这段文字写出公式，即若abc，则Sca422，现有周长为用以上给出的公式求得ABC的面积

1027的ABC满足sinA:sinB:sinC2:3:7，解：∵sinA:sinB:sinC2:3:7，

∴a:b:c2:3:7，

又ABC的周长为1027，

∴a4,b6,c27，

2222122cabca∴S63．即ABC的面积为63．

22

3

※变式训练：

1．我国南宁数学家秦九韶在《数书九章》中记载了利用三角形三边求三角形面积的公式：，称为“三斜求积”公式，它虽然形式上与海伦公式不一样，但两者完全等价，它填补了我国传统数学的一个空白，充分说明我国古代已有了很高的数学水平，现有三角形三边分别为4、6、8，求三角形的面积

解：∵三角形三边分别为a=4、b=6、c=8，

∴

2．在希腊数学家海伦的著作《测地术》中记载了著名的海伦公式，利用三角形的三条边长求三角形面积，若三角形的三边长为a，

b，

c，其面积Sppapbpc，这里p1abc．已知在ABC中，

BC6，

2AB2AC，当面积取最大值时sinA的值．

解：设ACb,

ABc2b,p63b3b,

Sppapbpc

19909b299b2b4b281,当416441232b220时，

S有最大值，故b2c2a243b25,c45,cosA,sinA.

2bc55

※课堂小结

海伦——秦九韶公式

海

伦：古希腊的数学家，代表作《测地术》、《测量仪器》、《度量术》等

Sp(pa)(pb)(pc)

秦九韶：南宋著名的数学家，代表作《数书九章》

4

122a2c2b22)]

三斜求积术 S[ac(42

※、思维拓展

将海伦公式推广到四边形，设a，b，c，d，是四边形ABCD的各边长，记Sp(pa)(pb)(pc)(pd)，这里pabcd2. 问：这个公式对任意的四边形是否成立？

※、当堂检测

1、定义一种四边形，四边长为整数，且它的面积也为整数的四边形，称之为海伦—秦九韶四边形．下列四边形中是海伦—秦九韶四边形的为（ ）

2、《数书九章》中对已知三角形三边长求三角形的面积的求法填补了我国传统数学的一个空白，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实.一为从隅，开平方得积.”若把以上122c2a2b2这段文字写成公式，即Sca422.现有周长为225的△ABC满足sinA:sinB:sinC21:5:21，用以上给出的公式求得△ABC的面积为 .

5