1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用教学设计(第一课时)

芜湖市第十二中学

人教A版高中数学

《独立性检验的基本思想及其初步应用》教学设计

2018年芜湖市数学“图形计算器”辅助教学观摩与研讨活动教学设计

独立性检验的基本思想及其初步应用

人教A版高中数学

芜湖市第十二中学

授课人：王春健

授课班级：高二（2）班

时间：2018年4月19日

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人教A版高中数学

《独立性检验的基本思想及其初步应用》教学设计

《独立性检验的基本思想及其初步应用》教学设计

芜湖市第十二中学

王春健

一、教学内容解析

教材地位与作用

本节内容是人教A版数学选修2-3第三章统计案例的第二节，是在学习了回归分析的基本思想及其初步应用的知识后，对统计案例的再学习，它可以看作是与前面学习过的相关关系的并列知识，是统计案例的另一类体现，也是高中数学知识中体现统计思想的重要课节.在统计学中，独立性检验就是检验两个分类变量是否有关系的一种统计方法.在讨论两个分类变量关系时，要把重点放在独立性检验的统计学原理上，使学生初步掌握独立性检验的基本步骤，体会独立性检验的基本思想.独立性检验的步骤是相对固定的，仿照教科书的例题，学生不难完成书后的习题，但独立性检验的统计思想对学生来说是比较难理解的，所以在教学中结合实例介绍独立性检验的思想是十分重要的，也是对逻辑思维能力、数学建模能力等中学数学核心素养培养的有效章节. 二、学生学情分析

学生在高中阶段已经接触过统计原理、回归分析，会对两个分类变量进行线性拟合，高中教材在本节课教学之前安排了回归分析的基本思想及其初步应用的学习，学生对统计思想已有初步了解，以此为新知识的生长点，建立起关于“统计、检验”二者之间的逻辑联系.学生学习积累中具备一定的观察、辨析、反思推理和归纳类比等学习能力.本节课会注重运用实例和相关知识完成教学，注重对逻辑思维能力、数学建模能力等中学数学核心素养的培养，提高学生对数学学习的兴趣，并引导学生发现问题、探索方法、解决问题. 三、教学环境分析

统计的问题，需要数据的计算与分析，往往会涉及到大量的数分析据和繁复的计算，具体来说两个分类变量函数关系的拟合、独立性检验的计算，学生自己处理起来都会有很大的困难，借助“数学图形计算器”就为学生自行探究统计学实例、学习统计学知识提供了很大的帮助.同时，独立性检验中的构造的随机变量K2公式的推导限于课堂的时间，并未进行推导，借助互联网+，留作选做的作业，给学有余力的同学自学.

学生座位安排图，或分组题

四、教学策略分析

教法学法设计

坚持“学生是教学的主体”的教学理念，通过情境教学、问题引领、启发引导、合作探究，先引出问题：到底多大的把握说他们是相关的呢？再引出相应的知识点，分析得出公式，讨论公式的使用方法，从而介绍独立性检验的基本思想、方法和初步应用.然后剖析需要解决的问题，在例题及探究实验中巩固相应方法，再从讨论、反馈中深化对问题和方法的理解，从而较好地完成知识的建构，最后让学生自己设计方法解决课堂伊始的疑问，更好地锻炼学生探索和解决问题的能力.过程中注重对学生的思维训练，逐步培养学生数学思维能力，提升学生自主学习、自主探究的能力，调动学生的积极性. 核心素养培养

（涉及哪些核心素养，打算如何培养？）

教学工具：TI图形计算器

五、教学目标设置

（四维目标）

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1.知识技能

2.数学思考

3.问题解决

4.情感态度

（1）通过典型案例的探究，了解独立性检验的基本思想，会对两个分类变量进行独立性检验，明确独立性检验的基本步骤，并能利用独立性检验的基本思想来解决实际问题. （2）经历由实际问题建立数学模型的过程，体会其基本方法. （3）通过本节课的学习，加强数学与现实生活的联系.以科学的态度评价两个分类变量有关系的可能性.培养学生运用所学知识，解决实际问题的能力.通过对问题的自主探究和设计实验，提高学生思考问题的能力，让学生对统计方法有更深刻的认识，体会统计方法应用的广泛性，进一步体会科学的严谨性. （4）教学中适当地利用学生合作与交流，使学生在学习的同时，体会与他人合作的重要性. 六、教学重、难点：

教学重点：通过实例让学生体会独立性检验的基本思想，掌握独立性检验的一般步骤. 教学难点：独立性检验的基本思想的理解，严谨的思维能力的培养.

七、教学流程分析

八、教学过程分析

教

学

步

骤

一、情境引入

给出芜湖市镜湖区2016年某校的体检数据，在视力这一项中，你觉得左右眼视力会相关吗？相关性强吗？我们经常看到一些戴眼镜的小胖子，那么肥胖和视力相关吗？相关性强吗？

那么相关性到底怎么确定强与弱呢？到底有多大的把握说明他们有关呢？

教学活动

教师引导学生探索、回答.

设计意图

从实例出发，增强学生的兴趣和课堂参与度.

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教

学

步

骤

二、发现问题

提出问题：少抽点烟，小心得肺癌这句话有道理吗？

为了调查吸烟是否对肺癌有影响，某肿瘤研究所随机地调查了9965人，得到如下结果（单位：人）根据调查结果，是否能够以99%的把握认为吸烟和患肺癌有关呢？

吸烟与患肺癌列联表：

教学活动

设计意图

通过实例，让学生能发现事物之间的关联性.顺利实现由“已有的生活实例”转入“新知构建”的过程.

用“已有的知识结构”帮助“新知构建”的过程.

显然已有的方法不足够解释相关性，引出独立性检验的具体方法，激发学生对探究学习解决未知问题的方法的兴趣.

学生能知道二者之间的关联，并引发

不患肺癌

患肺癌

总计

对到底有多大关7775 42 7817 不吸烟

联，用什么样的量2099 49 2148 吸烟

去衡量的思考. 9874 91 9965 总计

我们可以怎么判断两个分类变量的关联呢？吸烟是否对患肺癌

有影响呢？

42计算比例不难发现：在不吸烟者中，有

≈0.54％的人患肺癌；7817学生计算，发现关49在吸烟的人中，有

≈2.28％的人患肺癌.直观上可以得出结联

2148

论：吸烟者和不吸烟者患癌症的可能性存在差异.

我们也可以通过图形直观判断两个分类变量是否相关：

三种图示各有所长

三维柱状图可以清晰地看出各个教师对比例计算和频数的相对大小；

二维条形图可以看出，吸烟者中患三种图示进行讲癌症的比例高于不吸烟者中患癌解，引导学生思考如何才能以一定的症的比例；

等高条形图可以看出吸烟者中患把握认为“吸烟和癌症的百分比高于不吸烟者中患患癌症有关”呢？

癌症的百分比；

通过分析数据和图形，我们得到的直观印象是“吸烟和患癌症有

关”，那么我们是否能够以一定的把握认为“吸烟和患癌症有关”

呢？

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教

学

步

骤

三、解决问题

为了回答上述问题，我们先假设H0：吸烟与患肺癌没有关系. 吸烟与患肺癌列联表：

不患肺癌

患肺癌

总计

不吸烟

ab

b

a

吸烟

d

cd

c

总计

bd

abcd

ac

把表中的数字用字母代替，得到如下用字母表示的列联表：

如果吸烟与患肺癌没有关系,那么吸烟与否的人群中患癌症应该教学活动

引出列联表，让学生感知它的简洁.

引导学生发现规律，如果两个分类变量没有关联，那么应该满足什么条件?如果假设是错误的又会怎样.

教师介绍，根据研究的需要构造一个随机变量，并说明公式的形式.

学生借助数学图形计算器计算K2观测值k的大小，并思考概率值的问题.

教师引导学生发现规律，并总结规律..

教师引导、鼓励学生分组讨论，大胆总结规律.

设计意图

从基本事实入手，引导学生思考、探索、发现解决问题的方法和规律.

字母运算，培养学生从特殊到一般的探究能力.

介绍公式的形式，并点出公式的来源和大致的推导方法，以帮助学生全面认识和了解公式.

学生通过图形计算器计算出的结果是带有概率值的，教师引导学生思考这个概率值怎么来的？实际操作中，我们可以怎么使用，又有什么理论依据.

鼓励学生思考，总结，培养逻辑思维能力.

bd，即adbc0.adbc越abcd小，说明吸烟与患癌症之间的关系越弱；adbc越大，说明吸是近似相等的，则烟与患癌症之间的关系越强. 为了使不同样本容量的数据有统一的评判标准，基于上述分析，我们构造一个随机变量

n(adbc)2，其中nabcd为样本容量. K(ab)(cd)(ac)(bd)2若H0：吸烟与患肺癌没有关系成立，则K应该很小. 由公式计算得到K的观测值为

229965(777549422099)2k56.632

78172148987491可以根据临界值表判断

P(k≥k0) k0

P(k≥k0)

k0

0.50 0.40 0.25 0.15 2.072 0.005 7.879 0.10 2.706 0.001 10.828 0.455 0.708 1.323 0.05 0.025 0.010 3.841 5.024 6.635 2可以发现，借助于随机变量K的观测值k，在H0成立的情况下，P(K26.635)0.010，即在H0成立的情况下，K2的观测值大于6.635的概率非常小，近似于0.010，是一个小概率事件，假设下小概率事件不该发生.若发生了，就有理由判断H0不成立.在该规则下，把结论“H0成立”错判成“H0不成立”的概率不会超过P(K6.635)0.010，即有99%的把握认为H0不成立，即能够以99%的把握认为吸烟和患肺癌有关. 也就是说若k≥k0，可以得到“两个分类变量之间没有关系”的概率P(K2≥k0),也就可以得到有(1-P(K2≥k0) ) ×100%的把握认为“两个分类变量之间有关系”.（同理，把k< k0解释为不能以

(1-P(K2≥k0) ) ×100%的把握认为“两个分类变量之间有关系”）

2

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教

学

步

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四、提炼归纳

2教学活动

设计意图

定义和总结也应鼓励学生全程参与，让他们自己总结解决问题的思路和方法，突出学生的主体地位，让学生在学习中感受到探索与发现的乐趣，同时培养缜密总结的好习惯.

思想和原理上，教师高屋建瓴地给出总结，引导学生在今后的学习中使用相关方法和原理.

对学生的基本知识构建进行检测.

考查学生对基本

独立性检验定义：这种利用随机变量K来判断“两个分类教师给出定义

变量有关系”的方法，称为两个分类变量的独立性检验.

独立性检验的步骤:

一般地,假设有两个分类变量X和Y,它们的取值分别为

x1,x2和y1,y2.

第一步:列出22列联表;

y1 y2

总计

a

ab

b

x1

c

d

cd

x2

ac

bd

abcd

总计

学生分组讨论，总结一般规律. n(ad-bc)22第二步:计算K;

(ab)(cd)(ac)(bd)

第三步:查对临界值表，作出判断

具体来说的思路是：

鼓励学生思考、总(1)假设结论不成立,即“两个分类变量没有关系”. (2)利用公式，由观测数据计算得到随机变量K2的观测值k.（在结、发言，培养大此假设下随机变量K2应该很小,如果由观测数据计算得到K2的胆猜想，缜密论证的科学态度. 观测值k很大,则在一定程度上说明假设不合理.）

(3)根据实际问题需要的可信程度确定临界值k0(4)若k≥k0，可以得到“两个分类变量之间没有关系”的概率为

P(K2≥k0),也就可以得到有(1-P(K2≥k0) ) ×100%的把握认为“两个

分类变量之间有关系”.（同理，把k< k0解释为不能以

2(1-P(K≥k0) ) ×100%的把握认为“两个分类变量之间有关系”）

教师给出思想方法方法和原理方面：反证法原理与假设检验原理

和基本原理方面的反证法原理：

在一个已知假设下，如果推出一个矛盾，就证明总结. 了这个假设不成立.

假设检验原理：在一个已知假设下，如果一个与该假设矛盾的小

概率事件发生，就推断这个假设不成立.

五、学以致用

例1．下面是一个2×2列联表：

y1 x1

x2

总计

a 2 b y2

21 25 46 总计

73 27 100 则表中a、b的值分别为(

) A．94、96

B．52、50

C．52、54

D．54、52 例2．对分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k，说法正确的是(

) A．k越大，“

X与Y有关系”可信程度越小

B．k越小，“

X与Y有关系”可信程度越小

C．k越接近于0，“X与Y无关”程度越小

D．k越大，“X与Y无关”程度越大

例3.在独立性检验中，若随机变量K2的观测值k≈4.844，则最多能有多大的把握认为X与Y相关(

)

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学生快速自主完成基本题型的训练，教师及时进行反馈.

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教

学

步

骤

A.90%

B.95%

C.97.5%

D.99% 例4.通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：

男

女

总计

40

20

60

爱好

不爱好

总计

2教学活动

学生动手计算，并根据已学知识完成例题，巩固已学内容.

教师引导，学生自主探究，并借助数学图形计算器得到结论，再通过实际生活解释自己得到的结论. 设计意图

方法和规律是否掌握.

计算能力是基本的数学素养，要重视计算能力的培养，督促、鼓励学生练习.

20

60

30

50

50

110

n(adbc)2

K(ab)(cd)(ac)(bd)P(K2≥k0) k0

0.050

3.841

0.010

6.635

0.001

10.828

参照附表，得到的正确结论是(

)

A．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”

B．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”

C．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为

“爱好该项运动与性别有关”

D．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为

“爱好该项运动与性别无关”

六、动手实验

你借助数学图形计算器处理数据发现青少年近视和肥胖之间是否有关吗？能有多大的把握说明两组数据之间有关？之前我们使用的体重能合理地反映一个人的胖瘦吗？如果有关，又会是什么原因呢？验证并讨论你的想法.

七、课堂小结：

1、本节课学习的知识及其使用步骤：独立性检验

2、本节课学习的思想：反证法原理与假设检验原理

五、布置作业：

必做题：同步作业

选做题：学有余力的同学自学生物统计学的《卡方检验与列联表》中2×2列联表的部分，并尝试使用概率知识推导随机变量

n(adbc)2公式. K(ab)(cd)(ac)(bd)2培养学生发现并解决问题的数学建模能力和信心，以及学以致用、作探究的精神.

引导学生归纳总结

通过灵活的分层作业题,达到引起学生积极思维的目的，满足不同层次学生需要,符合因材施教原则.从而达到培养学生养成“题后思考”的习惯和提高数学能力的效果. 教师引导学生小结

（https://wenku.baidu.com/view/8502f97376a20029bc642d20 https://wenku.baidu.com/view/89b96a2aa9956bec0975f46527d3240c8447a1f8.html）研究性学习：

试分析视力与什么因素有关，具体的成因是什么，并撰写研究性学习报告

布置作业

九、板书媒体设计

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独立性检验的基本思想及其初步应用

分类变量

列联表

独立性检验

【媒体展示】

独立性检验的步骤与思路

十、总体设计说明

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