1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用教学设计一等奖

第一章

统计案例

1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用

（第一课时）

〖课前准备〗

【课型】新授课 【课时】1教时

【课标要求】

1.知识与能力

通过生活中典型案例的探究，理解独立性检验的基本思想，明确独立性检验的基本步骤，会对两个分类变量进行独立性检验，并能利用独立性检验的基本思想来解决实际问题。

2.过程与方法

通过探究“吸烟与患肺癌是否有关系”引出独立性检验的问题，借助样本数据的列联表分析独立性检验的实施步骤。在学生亲身体验的基础上，提高学生的数据分析能力。

3.情感态度与价值观

通过本节课的学习，加强数学与现实生活的联系。以科学的态度评价两个分类变量有关系的可能性。培养学生运用所学知识，解决实际问题的能力。

【重点.难点】

重点：理解独立性检验的基本思想及实施步骤．

2难点：

理解独立性检验的基本思想；了解随机变量K的含义. 【教学用具】计算器，多媒体. 〖教学过程〗

一、情景引入

吸烟有害健康，这是每个人都知道的事情．在购买香烟的时候，每个烟盒上都有吸烟有害健康的标识，但是这也挡不住那些香烟对于某些人的吸引力，更有甚者每天都会吸一包甚至几包烟．为什么他们知道对健康有害还要吸烟呢？可能他们只是知道有害，并不知道到底有哪些危害吧! 【思考】1.吸烟与患肺癌有关系吗? 2.你有多大程度把握吸烟与患肺癌有关？

二、新课讲授

我们在研究“吸烟与患肺癌的关系”前，需要先给出一些量的定义．

【定义】

①分类变量: 变量的不同“值”表示个体所属的不同类别的变量称为分类变量. ②列联表：分类变量的汇总统计表（频数表）. 【明确】

①分类变量的取值一定是离散的，而且不同的取值仅表示个体所属的类别，如性别变量，只取男、女两个值，商品的等级变量只取一级、二级、三级，等等．有时也可以把分类变量的不同取值用数字来表示，但有时的数字除了分类以外没有其他的含义．例如用0表示＂男＂，１表示＂女＂，性别变量就变成取值为0和1的随机变量，但是这些数字没有其他的含义．在现实生活中，分类变量是大量存在的，例如是否吸烟，宗教信仰，国籍等．

②一般我们只研究每个分类变量只取两个值，这样的列联表称为2×2列联表，如吸烟与患肺癌的列联表．

【案例分析】探究:为调查吸烟是否对肺癌有影响，某肿瘤研究所随机地调查了9965人，得到如下结果（单位：人）

表1-7 吸烟与肺癌列联表

不患肺癌

患肺癌

总计

不吸烟

7775 42 7817 吸烟

2099 49 2148 总计

9874 91 9965 那么吸烟是否对患肺癌有影响？

【问题】由以上列联表，我们估计吸烟是否对患肺癌有影响？①在不吸烟者中患肺癌的比例为________；②在吸烟者中患肺癌的比例为________. 【回答】由吸烟情况和患肺癌情况的列联表可以粗略估计出：在不吸烟者中，有0.54 ％患有肺癌；在吸烟者中，有2.28％患有肺癌．因此，直观上可以得出结论：吸烟群体和不吸烟群体患肺癌的可能性存在差异．

与表格相比，图形更能直观地反映出两个分类变量间是否相互影响，常用等高条形图展示列联表数据的频率特征．图1.2-1就是一个等高条形图（有条件的教师可以演示用Excel软件制作等高条形图的步骤）,其中两个浅色条高表示不患肺癌的频率，深色条高表示患肺癌的频率．

100%

90%

80%70%

60%

患肺癌50%不患肺癌

40%30%

20%

10%

0%

不吸烟吸烟

图1.2-1 【问题】我们能够从图形中得到吸烟与患肺癌之间的关系吗？

【回答】比较图中两个深色条的高可以发现，在吸烟样本中患肺癌的频率要高一些，因此直观上可以认为吸烟更容易引发肺癌．

【问题】你能总结出一种直观判断两个分类变量有关系的思路吗？直观判断有何不足？

【回答】一般地，假设有两个分类变量X和Y，它们的可能取值分别为｛x1，x2｝和｛y1，y2｝, 其样本频数列联表（称为2×2列联表）为：

表１-10 2×2列联表

y1

y2

总计

x1

ab

b

a

x2

d

cd

c

总计

ac

bd

abcd

若要推断的论述为

Hl: X与Y有关系，

如果通过直接计算或观察等高条形图发现ac和相差很大，就判断两个分类变量之间有关abcd系．

上面这种直观判断的不足之处在于不能给出推断“两个分类变量有关系”犯错误的概率，而独立性检验可以弥补这个不足．

【问题】我们能够从多大程度上认为吸烟与患肺癌之间有关系呢?

为了解决上述问题，我们先假设

H0：吸烟与患肺癌没有关系。

把表1-7中的数字用字母代替，得到如下用字母表示的列联表：

表1-8 吸烟与肺癌列联表

不患肺癌

患肺癌

总计

不吸烟

a b a+b 吸烟

c d c+d 总计

a+c b+d a+b+c+d 如果“吸烟与患肺癌没有关系”，那么吸烟者中不患肺癌的的比例应该与不吸烟者中相应的比例差不多，即：

acacdcabadbc0

abcd

【思考】|adbc|的大小说明什么问题？

【讨论】略

【回答】adbc越小，说明吸烟与患肺癌之间关系越弱；adbc越大，说明吸烟与患肺癌之间关系越强．

为了使不同样本容量的数据有统一的评判标准，基于上面的分析，我们构造一个随机变量

nadbcK2 (1) abcdacbd其中nabcd为样本容量．

若

H0

成立，即“吸烟与患肺癌没有关系”，则Ｋ应该很小．根据表1-7中的数据，利用公式２（1）计算得到Ｋ的观测值为

２29965777549422099k56.632. 78172148987491

２２【思考】若H0:“吸烟与患肺癌没有关系”成立，则Ｋ应该很小,由公式计算得到Ｋ的观测值为

29965(777549422099)256.632，这个值到底能告诉我们什么呢？ k78172148987491

【解读】临界值表1-11

p(k≥k0) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10

k0

0.455 0.708 1.323 2.072 2.706

p(k≥k0) 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001

k0

3.841 5.024 6.636 7.879 10.828

【回答】统计学家经过研究后发现，在H0成立的情况下，

P(K26.635)0.010. 即在H0成立的情况下，Ｋ的观测值超过6.635的概率非常小，近似为0.010，是一个小概率事件,假设小概率事件不该发生。若发生了，就有理由判断H0不成立。

２现在Ｋ的观测值k≈56.632 ，远远大于6.635，所以有理由断定H0不成立，即认为“吸烟与患肺癌有关系”．但这种判断会犯错误，犯错误的概率不会超过0.010，即我们有99％的把握认为“吸烟与患肺癌有关系” . ２

在上述过程中，实际上是借助于随机变量Ｋ的观测值k，建立了一个判断H0是否成立的规则：

如果ｋ≥6. 635，就判断H0不成立，即认为吸烟与患肺癌有关系；否则，就判断H0成立，即认为吸烟与患肺癌没有关系．

在该规则下，把结论“H0成立”错判成“H0不成立”的概率不会超过P(K26.635)0.010, 即有99％的把握认为从不成立．

2上面这种利用随机变量K来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验．

【补遗】2×2列联表中的2、3行或第2、3列能交换吗？

【讨论】略. 2【回答】可以,交换之后不影响K的值,也就不影响下结论.

【总结】根据以上“吸烟与患肺癌的案例探究”,我们可以总结“独立性检验”的一般步骤: ⑴.根据实际问题的需要确定容许推断“两个分类变量X与Y有关系”犯错误概率的上界α，然后查表1-11确定临界值ｋ0 2⑵.利用公式(1) ，计算随机变量K的观测值ｋ; ⑶.查对临界值表得出结论，如果ｋ≥ｋ0,就推断“X与Y有关系”，这种推断错误的概率不超过α；否则，就认为在犯错的概率不超过α的前提下不能推断“X与Y有关系”，或者在样本数据中没有发现足够证据支持结论“X与Y有关系”.

【思考】独立性检验基本思想的形成过程，与我们以前学过的什么方法类似？并作出比较．

【讨论】略. 【回答】独立性检验的基本思想来自于统计学的假设检验思想,它与反证法类似．假设检验和反证法都是先假设结论不成立，然后根据是否能够推出“矛盾”来断定结论是否成立．但二者“矛盾”的含义不同，反证法中的“矛盾”是指不符合逻辑的事件的发生；二假设检验中的“矛盾”是指不符合逻辑的小概率事件的发生，即在结论不成立的假设下推出有利于结论成立的小概率事件的发生．

表1-9 反证法原理与独立性检验原理的比较

反证法

假设检验

要证明结论A 备择假设H1

在A不成立的前提下进行推理

在H1不成立的条件下，即H0成立的条件下进行推理

推出矛盾，意味着结论A成立

推出有利于H1成立的小概率事件（概率不超过的事件）发生，意味着H1成立的可能性（可能性为（1－））很大

没有找到矛盾，不能对A下任何结论，即反证法不成功

推出有利于H1成立的小概率事件不发生，接受原假设

２〖课时小结〗

【课后小结】

⑴

独立性检验的基本思想. ⑵

独立性检验的具体步骤: ①.根据实际问题需要的可信程度确定临界值; 2②.利用公式计算随机变量K的观测值k; ③.查对临界值表得出结论. 【板书设计】

略

【课后作业】

课本P16习题1.2第 1题