1.3 实习作业教学设计一等奖

I．理论基础·解题原理

考点一

三角形中的不等关系

1.任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；

2.任一角都大于0而小于180,任意两角之和也是大于0而小于180; 3.设角A是一三角形的内角,则0sinA1; 4.在锐角三角形中, 任意两角之和也是大于90而小于180; 5.在同一三角形中大边对大角,大角对大边

考点二

与三角形有关的综合问题类型

常以三角形中的不等和最值问题为载体，考查运用三角变换、正余弦定理、基本不等式、平面向量等知识和方法求取值范围或值域或求值，要求学生有较强的逻辑思维能力、三角恒等变形能力以及准确的计算能力。对这类问题要认证读题，利用相关知识将条件转化为三角形的边角条件，利用正余弦定理，将问题转化为三角形的纯边或纯角的函数问题，再利用基本不等式或函数求值域的方法处理之. IV．题型攻略·深度挖掘

【考试方向】

这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题或解答题的形式出现，一般中档题，考查综合运用正余弦定理及相关知识与方法解综合问题的能力. 【技能方法】

1.与平面向量结合的三角形问题，常利用平面向量的知识将向量条件或问题化为三角形的边角条件或问题，再利用正余弦定理化为纯边或纯角条件或问题求解，如在ABC中，由

000000uuruuruuruura2b2c2a2b2c2CACBCACBcosCabcosCab. 2ab22.与数列结合的三角形问题，常利用数列的相关知识将条件或问题转化为三角形的边角条件或问题，再利用正余弦定理化为纯边或纯角条件或问题求解. 3.三角形中的取值范围问题或最值问题，常常利用正余弦定理化成纯边问题，利用基本不等式或重要求最值，或者化成纯角问题，利用三角公式化成一个角的三角函数，利用三角函数的图像与性质求最值，要注意角的范围. 【易错指导】

在求与三角性有关的最值（范围）问题时，常先利用正余弦定理将其化为角的三角函数，再利用三角形内角和定理消去角的个数，结合题中的条件和消去角的范围确定留下角的范围，利用三角函数图像与性质求解，最容易出现的错误①没有进一步确定留下角的范围；②在求最值时没有结合三角函数图像求最值而是直接代角范围的端点值，应尽量避免之．

类型一 求三角形面积的最值问题

【例1】如图所示，在平面四边形ABCD中，AB4，AD2，DAB60，BCD120，则四边形ABCD的面积的最大值是 .

【答案】33.

【方法总结】对三角形中面积的最值问题，若一角为定值，常用余弦定理及基本不等式求出这个角两边积的最值，即可利用面积公式求出面积的最值，也可以利用正弦定理化为对角的三角函数式的最值问题，常用题中条件和三角形内角和定理化为一个角的三角式函数最值问题，再利用三角公式化为一个角的三角函数在某个范围上的最值问题，再利用三角函数图像图像与性质求最值，注意要根据消去角的范围确定留下角的范围；若邻边的积为定值，先求出夹角的正弦的取值范围，即可求出三角形面积的最值.

【例2】

求满足AB2,AC2BC的ABC的面积的最大值. 【答案】22. 【点评】本题结合函数的知识，以学生熟悉的三角形为载体，考察了面积公式、余弦定理等

知识，是一道考察解三角形的好题.

【变式演练1】

已知ABC的三个内角A，B，C的对边依次为a，b，c，外接圆半径为1，且满足tanA2cb，则ABC面积的最大值为___________.

tanBb【答案】33

4【解析】

试题分析:由tanA2cbsiAcnoBs2siCnsiBn可得,即tanBbsiBcnoAssiBnsinAcosB2sinCsinBcoBs2siCncoAssiBncoAs,故,也即siAncosA1s1,则A600,由正弦定理可得sin(AB)2sinCcosA,也即2coAa2sinA3,再由余弦定理可得3(cb)23cb,即33cb(cb)24cb,所以cb3,故SABC133333,应填. bcsinAbc2444考点：三角变换基本不等式正弦定理余弦定理等有关知识的综合运用．

【点评】正弦定理和余弦定理是高中数学中较为重要的知识点和考点.本题以三角形的外接圆的半径及tanA2cb条件为背景精心设置了一道求三角形面积最大值的综合问题.求tanBb0解时充分借助题设条件中的有效信息,综合运用正弦定理求出A60,再借助余弦定理和基本不等式求得cb3.从而求得SABC【变式演练2】已知1333,进而使得问题获解. bcsinAbc244ABCABC外接圆的半径为6，若面积SABCa2(bc)2且4，则sinA

，S38256【答案】sinA，.

1717sinBsinC的最大值为

考点：1．正弦定理；2．解斜三角形．

类型二 求三角形中边或角的取值范围

【例3】已知ABC是锐角三角形，若A2B，则a的取值范围是（ ）

bA. (2,3) B. (2,2) C. (1,3) D. (1,2)

【答案】A

【解析】

试题分析：由题意得，在ABC中，由正弦定理可得asinA，又因为A2B，所以

bsinBasinAsin2B2cosB，又因为锐角三角形，所以A2B(0,)且

bsinBsinB2a(A2B)3B(0,)，所以B，所以2cosB(2,3)，所以的取264b值范围是(2,3)，故选A．

考点：正弦定理及三角形的性质．

【点评】①本题易错在求B的范围上，容易忽视“ABC是锐角三角形”这个条件；②本题涉及三角形边角之间的关系，考察边角互化，化多元为一元，体现了解题的通性通法.解三角形问题的本质就是实现边角的转化，本题给的是角条件，求的是边之比的范围，思路很清晰，借助正弦定理把边转到角上，问题就转化为三角函数的最值问题，而定义域即角的范

围就成了关键，锐角三角形就是保证三个角均为锐角，利用好内角和定理及A2B，建立B的不等关系即可．

ABC各角的对应边分别为a,b,c，【例4】满足【答案】(0,【解析】

bc1，则角A的范围是______.

acab3]

考点：余弦定理. 【变式演练3】在ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知bcosC3bsinCac. 0（1）求B；

（2）若b3,求2ac的取值范围.

【方法总结】对于三角形中边的代数式的最值问题，若是三角形中最大（小）边长问题，先根据角判定三边的大小关系，再用正弦定理或余弦定理求解；若是关于两边以上的齐次代数式，若能求得两边的和或积为常数，可以利用基本不等式求最值，也可以利用正弦定理化为对应角的三角函数式的最值，常用题中条件和三角形内角和定理化为一个角的三角式函数最值问题，再利用三角公式化为一个角的三角函数在某个范围上的最值问题，再利用三角函数图像图像与性质求最值，注意要根据消去角的范围确定留下角的范围.

【变式演练4】在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则AB的取值范围是

.

【答案】（62，6+2）

【解析】如图所示，延长BA，CD交于E，平移AD，当A与D重合与E点时，AB最长，在△BCE中，∠B=∠C=75°，∠E=30°，BC=2，由正弦定理可得BCBE，即sinEsinC2BEsin30osin75o，解得BE=6+2，

【考点定位】正余弦定理；数形结合思想

【名师点睛】本题考查正弦定理及三角公式，作出四边形，发现四个为定值，四边形的形状固定，边BC长定，平移AD，当AD重合时，AB最长，当CD重合时AB最短，再利用正弦定理求出两种极限位置是AB的长，即可求出AB的范围，作出图形，分析图形的特点是找到解题思路的关键.

【变式演练5】在△ 中，内角A、B、C的对边长分别为

，

，

，若

求角A的大小；

若

，求BC边上的中线AM的最大值．

【方法总结】对于三角形中角的三角函数式的最值问题，若是三角形某个角余弦的最值问题，常用余弦定理化为边，利用基本不等式求最值；若是含有多个角三角函数式的最值问题，常用题中条件和三角形内角和定理化为一个角的三角式函数最值问题，再利用三角公式化为一个角的三角函数在某个范围上的最值问题，再利用三角函数图像图像与性质求最值，注意要根据消去角的范围确定留下角的范围