阅读与思考 海伦和秦九韶教案3

一元二次方程根的判别式及根与系数的关系

要点一、一元二次方程根的判别式

1.一元二次方程根的判别式

一元二次方程中，的根的判别式，通常用“叫做一元二次方程”来表示，即

（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；

（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；

（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根. 2. 一元二次方程根的判别式的逆用

在方程中，

﹥0；

=0；

﹤0.

（1）方程有两个不相等的实数根

（2）方程有两个相等的实数根

（3）方程没有实数根

那么，.

注意它的使用条件为a≠0，

Δ≥0.

也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商. 2.一元二次方程的根与系数的关系的应用

(1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根；

(2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数；

(3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x1、x2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如：

①；

②

③；

；

④

⑤

⑥

⑦；

；

；

；

⑧

⑨

⑩．

；

；

(4)已知方程的两根，求作一个一元二次方程；

以两个数为根的一元二次方程是.

(5)已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围；

(6)利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号.

设一元二次方程

①当△≥0且

当△≥0且

当△≥0且

②当△＞0且

当△＞0且

当△＞0且时，两根同号．

，，时，两根同为正数；

时，两根同为负数．

的两根为、，则

时，两根异号．

，，时，两根异号且正根的绝对值较大；

时，两根异号且负根的绝对值较大．

类型一、一元二次方程根的判别式的应用

1．不解方程，判断下列方程的根的情况：

(1) 2x+3x-4=0

(2)ax+bx=0(a≠0) 22

【变式】不解方程，判别方程根的情况： .

2．若关于x的一元二次方程（

）．

A．

B．且有两个不相等的实数根，则k的取值范围是

C．

D．且

【变式】m为任意实数，试说明关于x的方程x-（m-1）x-3（m+3）= 0恒有两个不相等的实数根.

3.下列四个结论中，正确的是（

）

2

A．方程有两个不相等的实数根 B．方程有两个不相等的实数根

C．方程有两个不相等的实数根

D．方程（其中a为常数，且）有两个不相等的实数根

【变式】不解方程，判别方程根的情况：

4.已知关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是________ 【变式】已知：关于x的方程范围.

有两个不相等的实数根,求k的取值

5.设x1、x2是方程的两根，不解方程，求下列各式的值：

(1)

；

(2)；

(3)．

【变式】不解方程，求方程的两个根的（1）平方和；（2）倒数和．

6.求作一个一元二次方程，使它的两根分别是方程各根的负倒数．

类型二、一元二次方程的根与系数的关系的应用

7．已知方程的一个根是2，求另一个根及k的值．

【变式】已知方程的一个根是3，求它的另一根及的值．

8．求作一个一元二次方程，使它的两根分别是，．

99、α、β是关于x的方程4x2－4mx+m2+4m=0的两个实根，并且满足(1)(1)1，100求m的值。

10、已知一元二次方程8x2－(2m+1)x+m－7=0，根据下列条件，分别求出m的值：

(1)两根互为倒数；

(2)两根互为相反数；

(3)有一根为零；

(4)有一根为1；

11、已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为α、β，且两个关于x的方程x2+(α+1)x+β2=0与x2+(β+1)x+α2=0有唯一的公共根，求a、b、c的关系式。

212．（12分）（2012•内江）如果方程x+px+q=0的两个根是x1，x2，那么x1+x2=﹣p，x1．x2=q，请根据以上结论，解决下列问题：

2（1）已知关于x的方程x+mx+n=0，（n≠0），求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数；

（2）已知a、b满足a﹣15a﹣5=0，b﹣15b﹣5=0，求22的值；

（3）已知a、b、c满足a+b+c=0，abc=16，求正数c的最小值．

巩固练习

一、选择题

1. 关于x的方程无实数根，则m的取值范围为( )．

A．m≠0

B．m＞1

C．m＜1且m≠0

D．m＞-1 2．已知a、b、c是△ABC的三条边，且方程的实数根，那么这个三角形是（

）

有两个相等

A．等腰三角形

B．等边三角形

C．直角三角形

D．等腰直角三角形

3．若、是一元二次方程的两根，则的值为（

）．

A．-1

B．0

C．1

D．2 4．设a，b是方程的两个实数根，则的值为（

）．

A．2010

B．2011

C．2012

D．2013 5．若ab≠1，且有，及，则的值是（

）．

A．

B．

C．

D．

6．超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元，

如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为( )

A.200(1+x)=1000

B.200+200×2x=1000

C.200+200×3x=1000

D.200[1+(1+x)+(1+x)]=1000

二、填空题

22

7．已知关于x的方程整数值是________．

有两个不相等的实数根，那么m的最大8．关于x的一元二次方程____________．

无实数根，则m的取值范围是

9．求以和为根的一元二次方程是_______．

10．在Rt△ABC中，∠C=90，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，a、b是关于x的方程的两根，那么AB边上的中线长是_______. 011．已知方程2(k+1)x+4kx+3k-2=0 ，（1）当k为_______时，两根互为相反数；（2）当k为_______时，有一根为零，另一根不为零.

212．已知：关于x的方程①的两个实数根的倒数和等于3，关于x的方程

三、解答题

②有实数根且k为正整数，则代数式的值为_______.

13. 已知关于x的方程

的两根的平方和等于，求m的值．

14．已知关于x的方程

kx-2 (k+1) x+k-1=0 有两个不相等的实数根，

(1) 求k的取值范围；

(2) 是否存在实数k，使此方程的两个实数根的倒数和等于0 ？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.

2

15．已知方程组

且x1、x2是两个不相等的实数，若

(1)求a的值；

的两个解为

和，

(2)不解方程组判断方程组的两个解能否都为正数，为什么?