2.2.2 反证法教学设计及课堂实录

第二课时

一、知识与技能

1．了解命题、逆命题、否命题与逆否命题的概念；

2．能正确判断命题的真假，掌握四种命题的关系，能求一般命题的逆命题、否命题、逆否命题．合理进行思维的方法。

3．会用反证法证明简单的数学问题二、过程与方法

[来源:学科网ZXXK]

1．从实例出发，抽象出命题、逆命题、否命题与逆否命题的概念；

2．由具体事例入手，让学生发现命题、逆命题、否命题与逆否命题的关系；

3．由互为逆否命题的真假一致引导学生学会准确地判断命题的真假。三、情感态度与价值观

初步形成运用逻辑知识准确地表述问题的数学意识。

四种命题之间的关系和命题真假的判断.

反证法的逻辑依据

启发引导，分析讲解，练习领会。

[来源:学科网]

复习引入

【师】昨天，我们学习了四种命题和四种命题间的关系。那么，四种命题是哪四种？它们间的关系如何呢？

【生】略

【师】知道了四种命题间的关系有什么用途呢？

【生】略

【师】下面我们来学习四种命题之间关系的应用。1．反证法的逻辑依据

【师生互动】

【例7】证明：若x,yR，且x2y20，则xy0。

[来源:Zxxk.Com]

新课学习

分析：对于该命题的证明，从正面着手：

∵x,yR

∴x20,y20

又∵x2y20，

∴x0且y0，即xy0

直接证明也可以。但总给人一种说理不是那么很得劲，美中不足的感觉。如果采用了证明方法：

假设x,y不全为0，不妨设x0，则

∵x20

∴x2y20

这与已知的x2y20矛盾，故xy0。

就会给人一种无可辩驳，不得不服的感觉。

【师】对于后一种证明方法，大家能把它以“若p则q”的形式表述出来再看看合原来要证明的命题是什么关系吗？

【生】后面要证明的命题写成“若p则q”的形式是：“若x,y不全为0，则x2y20”原命题写成“若p则q”的形式是：“若x2y20，则xy0”。

它们两者之间互为逆否命题，真假一致。

【师】像这样的证明方法我们把它叫做反证法。

2．反证法的概念

通过否定命题的结论而导出矛盾（可以是与原命题条件矛盾，也可以是与定义、定理、性质矛盾）来达到肯定命题的结论的一种数学证明方法. 关于反证法，实际上我们在初中学***行线时，就早已遇到过了. 我们知道，在同一个平面内，两条直线的位置关系只有相交、平行两种.我们学过了平行公理：“经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行”.下面我们用反证法来证明它的一个推论：“如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”. 已知：如图，AB∥EF，CD∥EF，求证：AB∥CD. 证明：假设AB不平行于CD，即ABCDP，则

∵AB∥EF，CD∥EF，

于是经过点P就将有两条直线AB和CD都与EF平行，根据平行公理，这是不可能的.

∴AB与CD不能相交，只能平行. 3．反证法的主要步骤

仔细分析上述问题不难看出，运用反证法时，其主要步骤可以概括为：否定——推理——否定——肯定，四个步骤，即

⑴否定结论——假设命题的结论不对，即肯定结论的反面成立；

⑵推出矛盾——由结论的反面（称为“暂时假设”）出发，通过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾；

⑶否定假设——由正确推理导出了矛盾，说明“暂时假设”不对；

⑷肯定结论——由于否定结论是不对的，于是肯定结论成立. 在上述四步中，关键是第二步，即“由‘暂时假设’推出矛盾”，怎样导出矛盾？通常有以下几种情况：

①推出与定义、公理、定理相矛盾的结论；②推出与已知条件相矛盾的结论；

①

推出与“暂时假设”相矛盾的结论；

④在证明过程中，推出自相矛盾的结论. [来源:学科网]

三．练习领会[来源:学科网]

学生作下列各题

【例8】用反证法证明：如果ab0，那么ab. 证明：假设a不大于b，则或者ab，或者ab. ∵a0,b0，

∴当abaa

∴ab. 【例9】若a2能被2整除，a是整数，求证：a也能被2整除. 证明：假设a不能被2整除，则a必为奇数，故可令a=2k1 (k为整数),由此得

a22k124k24k14kk11,

此结果表明a2是奇数，这与题中的已知条件（a2能被2整除）相矛盾, ∴a能被2整除. 练习反馈

学生做课本第8页练习

本节主要学习了反证法的基本原理及其四个步骤.它的四个步骤实则是两大阶段，前三步是第一阶段，它是以矛盾律为依据，采用了一种特殊方法课堂—先假设论题A的反面为真，然后进行推理，推出一个与已知的事实相矛盾小结

的结果，从而说明A的反面是谬误的；于是进入第二阶段，它是根据排中律说明，既然A的反面是谬误的，那么论题A就一定是正确的，至此，论题得证.

作业布置

练习调配

课本第8页习题1.1A组第4题，B组第1题

习题1.1A组4. B组第一题，练习册“精讲精练”3-4页例1，例2，例3及变式训练1,2,3，随堂演练1-5.，巩固训练52页