2.2.3 两条直线的位置关系教案设计

2.2.3

两条直线的位置关系

学习目标

1．会通过解方程组发现直线相交、平行、重合的条件．

2．会判断两条直线相交、平行和重合，并会求两条直线的交点坐标．

3．理解用勾股定理推导两条直线垂直的条件，并能熟练运用这一条件判断两条直线是否垂直．

基础知识

1．两条直线相交、平行与重合的条件

(1)两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0的位置关系，可以用方程组A1x＋B1y＋C1＝0，的解的个数进行判断，也可用直线方程的系数进行判断，方法如下：

A2x＋B2y＋C2＝0

方程组的解

无解

有唯一解

有无数个解

位置关系

____

相交

重合

交点个数

无交点

______

无数个交点

代数条件

A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(A2C1－A1C2≠0)或__________ A1B2－A2B1≠0或__________(A2B2≠0)

A1＝λA2，B1＝λB2，

C1＝λC2(λ≠0)或____________(A2B2C2≠0)

(2)两条直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2的位置关系，也可用两直线的斜率和在y轴上的截距来进行判断，具体判断方法如表所示. 位置关系

平行

重合

相交

图示

k，b满足

条件

________ __________

________ ________ ______

做一做1

直线l1与l2为两条不重合的直线，则下列命题：

①若l1∥l2，则斜率k1＝k2；

②若斜率k1＝k2，则l1∥l2；

③若倾斜角α1＝α2，则l1∥l2；

④若l1∥l2，则倾斜角α1＝α2. 其中正确命题的个数是(

) A．1

B．2

C．3

D．4 2．两条直线垂直的条件

(1)设直线l1，l2的方程分别为A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0(A1，A2，B1，B2均不为0)，则l1⊥l2⇔________. (2)设直线l1，l2的方程分别为y＝k1x＋b1，y＝k2x＋b2，则l1⊥l2⇔________. 知识拓展

与直线l：Ax＋By＋C＝0平行与垂直的直线

若直线l′与l平行，则l′可设为Ax＋By＋D＝0(D≠C)；

若直线l′与l垂直，则l′可设为Bx－Ay＋D′＝0. 过点(x0，y0)且与Ax＋By＋C＝0平行的直线可表示为A(x－x0)＋B(y－y0)＝0；

过点(x0，y0)且与Ax＋By＋C＝0垂直的直线可表示为B(x－x0)－A(y－y0)＝0. 做一做2

下列直线中与直线x－3y＋3＝0垂直的是(

) A．3x＋y－1＝0

C．3x－y＋1＝0

重点难点

1．关于直线的对称问题

剖析：设直线l：Ax＋By＋C＝0，则

①l关于x轴对称的直线方程是Ax＋B(－y)＋C＝0；

②l关于y轴对称的直线方程是A(－x)＋By＋C＝0；

③l关于原点对称的直线方程是A(－x)＋B(－y)＋C＝0；

④l关于y＝x对称的直线方程是Bx＋Ay＋C＝0；

⑤l关于直线y＝－x对称的直线方程是A(－y)＋B(－x)＋C＝0；

⑥l关于点P(x0，y0)对称的直线方程是A(2x0－x)＋B(2y0－y)＋C＝0. 名师点拨

求点关于点的对称点，点关于直线的对称点，直线关于点的对称直线，直线关于直线的对称直线问题，其实质都是中点问题与垂直问题的结合．

2．教材中的“思考与讨论”

已知直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，如何用这两条直线的斜率k1，k2以及b1，b2，判B．3ax＋ay－a＝0 D．x＋3y＋3＝0

定这两条直线平行或者重合？

证明你的结论，并说明与直线y＝kx＋b平行的直线可表示为y＝kx＋b1(b1≠b)．

剖析：l1∥l2的条件是k1＝k2且b1≠b2；l1与l2重合的条件是k1＝k2且b1＝b2. A1证明：设直线l1，l2的一般式分别为A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0，则k1＝－，b1B1C1A2C2＝－，k2＝－，b2＝－，而当A1B2－A2B1＝0且B1C2－C1B2≠0时，l1∥l2，所以当k1B1B2B2＝k2且b1≠b2时，l1∥l2.又因为当A1＝λA2，B1＝λB2，C1＝λC2(λ≠0)时，l1与l2重合，所以当A1λA2C1λC2k1＝－＝－＝k2，b1＝－＝－＝b2时，l1与l2重合，所以k1＝k2且b1＝b2时，l1与B1λB2B1λB2l2重合．

典型例题

题型一

判断两直线的位置关系

例1

判断下列直线的位置关系．

(1)已知两条直线l1：3x＋5y－6＝0，l2：6x＋10y＋3＝0；

(2)已知两条直线l1：3x－6y＋14＝0，l2：2x＋y－2＝0.

反思：(1)①判断两条直线平行，首先判断其斜率相等(斜率存在时)，即k1＝k2.两条直线斜率相等，则两条直线可能平行也可能重合，还需要再进一步判断截距不相等，即b1≠b2.如果两条直线斜率不存在，两条直线为x＝a1，x＝a2，只需a1≠a2即可；②判断两直线平行，也可用系数比．

(2)判断两直线垂直：①如果斜率都存在，只判断k1k2＝－1；如果一条直线的斜率不存在，则另一条直线的斜率必等于零，从斜率的角度判断，应注意上面的两种情况；②利用A1A2＋B1B2＝0判断．

题型二

利用两直线的位置关系定参数

例2

已知两条直线l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0.当m为何值时，直线l1与l2：(1)相交；(2)平行；(3)重合？

反思：利用两直线的位置关系定参数问题一定不要忽视特殊情况，即斜率为0或斜率不存在的情况，再者注意对结果进行检验．

题型三

求与已知直线平行或垂直的直线方程

例3

已知点A(2,2)和直线l：3x＋4y－20＝0.求：

(1)过点A和直线l平行的直线方程；

(2)过点A和直线l垂直的直线方程．

反思：求经过点A(x0，y0)与直线l：Ax＋By＋C＝0平行或垂直的直线方程，当l的斜率存在(求垂直直线时，要求斜率不为零)时，可利用直线方程的点斜式求直线方程，也可利用待定系数法根据直线系方程求直线方程．

题型四

对称问题

623，，例4

光线由点A(－1,4)射出，在直线l：2x＋3y－6＝0上反射，已知反射光线过点B13求反射光线所在直线的方程．

反思：点关于直线的对称一般要利用中点坐标公式及直线的垂直来综合解决，至于光的反射问题一定要看清谁做镜面，及入射光与反射光经过的点．

题型五

易错辨析

例5

求经过点A(2,1)且与直线2x＋ay－10＝0垂直的直线l的方程．

错解：∵所求直线与2x＋ay－10＝0垂直，

a∴根据l1⊥l2⇔k1k2＝－1，得所求直线的斜率为，

2a∴根据点斜式得l：y－1＝(x－2)，

2整理得ax－2y－2a＋2＝0. 错因分析：漏掉a＝0时特殊情况的讨论，其实斜率为0的直线与斜率不存在的直线也是相互垂直的，但却不能用k1k2＝－1来求．

例6

当a为何值时，直线x＋2ay－1＝0和直线(3a－1)x－ay－1＝0平行？

3a－1－a1错解：由＝≠1，得3a－1＝－. 12a21∴a＝，

61∴当a＝时，两直线平行．

6错因分析：漏掉对a＝0时的讨论，要知道利用上述分式条件容易丢解，克服的办法是先将特殊情况讨论完．

随堂练习

1.已知两条直线y＝ax－2和y＝(a＋2)x＋1互相垂直，则a等于(

) A．2

B．1

C．0

D．－1 2.过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是(

) A．x－2y－1＝0

B．x－2y＋1＝0 C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0 3.已知两直线l1：(3＋a)x＋4y－5＋3a＝0与l2：2x＋(5＋a)y－8＝0. (1)l1与l2相交时，a≠__________；

(2)l1与l2平行时，a＝__________；

(3)l1与l2重合时，a＝__________；

(4)l1与l2垂直时，a＝__________. 4.求和直线4x＋3y＋5＝0平行且在x轴上的截距为－3的直线方程．

参考答案

基础知识

1．(1)平行

A1B1C1＝≠(ABC≠0)

有一个交点

A2B2C2222A1B1A1B1C1≠

＝＝

(2)k1＝k2且b1≠b2

k1＝k2且b1＝b2

k1≠k2

A2B2A2B2C2做一做1

C

①错，②③④正确．

2．(1)A1A2＋B1B2＝0

(2)k1k2＝－1 做一做2

A 典型例题

36例1

(1)解法一：直线l1化为斜截式为y＝－x＋，

5533直线l2化为斜截式为y＝－x－，

510363由此可知l1的斜率为k1＝－，在y轴上的截距为b1＝，l2的斜率为k2＝－，在y轴上的5553截距为b2＝－. 10363因为k1＝k2＝－，b1＝≠－＝b2，

5510所以l1∥l2. 356解法二：因为＝≠－，所以l1∥l2. 61031(2)解法一：由直线l1的方程，知l1的斜率为k1＝；

2由直线l2的方程，知l2的斜率为k2＝－2. 1显然，k1k2＝×(－2)＝－1，所以l1⊥l2. 2解法二：因为3×2＋(－6)×1＝6－6＝0，

所以l1⊥l2. 例2

解：∵直线l1：x＋my＋6＝0，直线l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，

∴A1＝1，B1＝m，C1＝6，A2＝m－2，B2＝3，C2＝2m. (1)若l1与l2相交，则A1B2－A2B1≠0，即1×3－m(m－2)≠0，

即m2－2m－3≠0，∴(m－3)(m＋1)≠0，∴m≠3且m≠－1. 故当m≠3且m≠－1时，直线l1与l2相交．

A1B2－A2B1＝0，(2)若l1∥l2，则有

B1C2－B2C1≠0，3－m(m－2)＝0，m2－2m－3＝0，即2即2

2m－18≠0，m≠9，m＝3或m＝－1，∴∴m＝－1. m≠3且m≠－3.

故当m＝－1时，直线l1与l2平行．

A1B2－A2B1＝0，(3)若l1与l2重合，则有

B1C2－B2C1＝0，3－m(m－2)＝0，m＝3或m＝－1，即∴

22m－18＝0，m＝3或m＝－3，

∴m＝3. 故当m＝3时，直线l1与l2重合．

综上所述，当m≠3且m≠－1时，两直线相交；当m＝－1时，两直线平行；当m＝3时，两直线重合．

例3

(1)解法一：利用直线方程的点斜式求解．

3由l：3x＋4y－20＝0，得kl＝－. 4设过点A且平行于l的直线为l1，

3则kl1＝kl＝－，

43所以l1的方程为y－2＝－(x－2)，

4即3x＋4y－14＝0. 解法二：利用直线系方程求解．

设过点A且平行于直线l的直线l1的方程为3x＋4y＋m＝0. 由点A(2,2)在直线l1上，得

3×2＋4×2＋m＝0，解得m＝－14. 故直线l1的方程为3x＋4y－14＝0. (2)解法一：设过点A与l垂直的直线为l2. 4因为klkl2＝－1，所以kl2＝，

34故直线l2的方程为y－2＝(x－2)，

3即4x－3y－2＝0. 解法二：设l2的方程为4x－3y＋m＝0. 因为l2经过点A(2,2)，

所以4×2－3×2＋m＝0，解得m＝－2. 故l2的方程为4x－3y－2＝0. 例4

解：如图所示，设点A关于直线l：2x＋3y－6＝0的对称点A′的坐标为(x0，y0)，

y0－43则＝，

x0＋12

即3x0－2y0＝－11.①

∵AA′的中点在直线l上，

∴2x0－1y0＋42＋32－6＝0，

即2x0＋3y0－2＝0.②

由①②解得28y＝13.0－29x0＝，13

6228－621313由两点式方程可得反射光线所在直线的方程为y－＝(x－3)，即13x－26y＋85＝0. 13293＋13例5

正解1：①当a＝0时，已知直线化为x＝5，此时直线斜率不存在，则所求直线l的斜率为0，

∵直线l过点A(2,1)，

∴直线l的方程为y－1＝0(x－2)，即y＝1. ②当a≠0时，

2已知直线2x＋ay－10＝0的斜率为－，

a∵直线l与已知直线垂直，设所求直线斜率为k，

－2＝－1，

∴k·aa∴k＝. 2∵直线l过点A(2,1)，

a∴所求直线l的方程为y－1＝(x－2)，

2即ax－2y－2a＋2＝0. 所求直线l的方程为y＝1或ax－2y－2a＋2＝0.

又y＝1是ax－2y－2a＋2＝0的一个特例，

因此上两条直线可合写成ax－2y－2a＋2＝0. 正解2：根据题意可设直线l的方程为ax－2y＋D＝0，

又点A在直线l上，

∴2a－2×1＋D＝0，∴D＝2－2a，

∴所求直线l的方程为ax－2y＋2－2a＝0. 3a－1－a例6

正解1：①当a≠0时，由＝≠1，

12a11得3a－1＝－，∴a＝. 26②当a＝0时，直线方程分别为x＝1和x＝－1，两直线平行．

1综上，当a＝0或a＝时，两直线平行．

6正解2：由两直线平行，

(－a)＝(3a－1)·2a，

①1·得

1·(－1)≠(3a－1)·(－1).

②

12由①可得a＝0或a＝，由②可得a≠. 631∴当a＝0或a＝时，两直线平行．

6随堂练习

1．【答案】D

【解析】两条直线的斜率分别为a和a＋2且相互垂直，即a(a＋2)＝－1，解得a＝－1. 2．【答案】A

【解析】与直线x－2y－2＝0平行的直线方程可设为x－2y＋c＝0，

将点(1,0)代入解得c＝－1，

故直线方程为x－2y－1＝0. 133．【答案】(1)－7或－1

(2)－7

(3)－1

(4)－

3【解析】由题意知A1＝3＋a，B1＝4，C1＝－5＋3a，A2＝2，B2＝5＋a，C2＝－8. 则D1＝(3＋a)(5＋a)－8＝a2＋8a＋7，D2＝－32－(－5＋3a)(5＋a)＝－(3a2＋10a＋7)．

当D1≠0，即a≠－7或－1时，l1与l2相交；

当D1＝0，D2≠0，即a＝－7时，l1与l2平行；

当D1＝0，D2＝0，即a＝－1时，l1与l2重合；

当A1A2＋B1B2＝0，即a＝－13时，l1与l2垂直．

3c4．解：与直线4x＋3y＋5＝0平行的直线方程可设为4x＋3y＋c＝0，令y＝0，得x＝－，4c由题意得－＝－3，故c＝12，所以所求的直线方程为4x＋3y＋12＝0. 4