1.3 二项式定理（通用）优质教案设计

1．二项式定理

二项式定理

二项展开式的通项公式

二项式系数

2.二项式系数的性质

0(1)Cn＝1，Cnn＝1. m1mCm＋Cn. n＋1＝Cn－n1n11nkknn(a＋b)n＝C0b＋…＋Ckb＋…＋Cnb(n∈N*) na＋Cnana－－nkkTk＋1＝Ckb，它表示第k＋1项

na－二项展开式中各项的系数Ckn(k∈{0,1,2，…，n}) mnm(2)Cn＝Cn. －(3)n是偶数时，Tn21项的二项式系数最大；n是奇数时，Tn1与Tn1项的二项式系数相等且221最大．

012n(4)Cn＋Cn＋Cn＋…＋Cn＝2n. 【知识拓展】

二项展开式形式上的特点

(1)项数为n＋1. (2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n. (3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n. 1n1n(4)二项式的系数从C0n，Cn，一直到Cn，Cn. －

【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) nkk(1)Ckb是二项展开式的第k项．(

×

) na－(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．(

×

) (3)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关．(

√

) (4)在(1－x)9的展开式中系数最大的项是第五、第六两项．(

×

) (5)若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，则a7＋a6＋…＋a1的值为128.(

×

)

1．(教材改编)(x－y)n的二项展开式中，第m项的系数是(

) A．Cmn

1C．Cm

n－1B．Cm

n＋1D．(－1)m1Cm

n－－答案

D 1解析

(x－y)n展开式中第m项的系数为Cm(－1)m1. n－－2．(2016·四川)设i为虚数单位，则(x＋i)6的展开式中含x4的项为(

) A．－15x4

C．－20ix4

答案

A 424解析

由题意可知，含x4的项为C26xi＝－15x.故选A. B．15x4

D．20ix4

3．(2016·云南部分名校1月统一考试)已知n数为(

) A．130

B．135

C．121

D．139 答案

B 解析

根据题意，nk6＝Ck6(－3)x－2ke6113x－n展开式中含x2项的系dx，那么xxe6113e6x－6中，由二项式定理得通项公式为Tk＋1dxlnx|16,则xx，令6－2k＝2，得k＝2，所以系数为C26×9＝135. x14．在(－)n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是________．

23x答案

7

n解析

由题意知＋1＝5，解得n＝8，

2x1x8－k1(－)8的展开式的通项Tk＋1＝Ck(－)k

8()2323xx＝(1)2kk8Cxk848k3，

4k令8－＝0，得k＝6，

3则展开式中的常数项为(－1)6268C68＝7. －

题型一

二项展开式

命题点1

求二项展开式中的特定项或指定项的系数

例1

(1)(2016·全国乙卷)(2x＋x)5的展开式中，x3的系数是______________．(用数字填写答案) (2)(2015·课标全国Ⅰ)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为(

) A．10

C．30

答案

(1)10

(2)C 解析

(1)(2x＋x)5B．20 D．60 展开式的通项公式T45k1C(2x).(x)C2k55kkk55kx5k2,

kk∈{0,1,2,3,4,5}，令5－＝3，解得k＝4，得2T5C254x54210x3,∴x3的系数是10. (2)方法一

利用二项展开式的通项公式求解．

(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，

232含y2的项为T3＝C2y. 5(x＋x)·45其中(x2＋x)3中含x5的项为C1x＝C13x·3x. 1所以x5y2的系数为C25C3＝30.故选C. 方法二

利用组合知识求解．

(x2＋x＋y)5为5个x2＋x＋y之积，其中有两个取y，两个取x2，一个取x即可，所以x5y2的2系数为C25C3＝30.故选C. 命题点2

已知二项展开式某项的系数求参数

例2

(1)(2015·课标全国Ⅱ)(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝____________. 152ax＋(2)(2016·山东)若的展开式中x5的系数为－80，则实数a＝________. x答案

(1)3

(2)－2 解析

(1)设(a＋x)(1＋x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，

令x＝1，得16(a＋1)＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5，①

令x＝－1，得0＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5.②

①－②，得16(a＋1)＝2(a1＋a3＋a5)，

即展开式中x的奇数次幂的系数之和为a1＋a3＋a5＝8(a＋1)，所以8(a＋1)＝32，解得a＝3. (2)Tk1C(ax)k525k510k,1k5kk()aC5x2

x5∴10－k＝5，解得k＝2，∴a3C25＝－80，解得a＝－2. 2思维升华

求二项展开式中的特定项，一般是利用通项公式进行，化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k＋1，代回通项公式即可．

(1)(x－y)(x＋y)8的展开式中x2y7的系数为________．(用数字填写答案) (2)(x＋a)10的展开式中，x7的系数为15，则a＝________.(用数字填写答案) 1答案

(1)－20

(2)

2解析

(1)x2y7＝x·(xy7)，其系数为C78，

x2y7＝y·(x2y6)，其系数为－C68，

6∴x2y7的系数为C78－C8＝8－28＝－20. 10kk(2)设通项为Tk＋1＝Cka，令10－k＝7，

10x－33∴k＝3，∴x7的系数为C10a＝15，

11∴a3＝，∴a＝. 82题型二

二项式系数的和或各项系数的和的问题

例3

在(2x－3y)10的展开式中，求：

(1)二项式系数的和；

(2)各项系数的和；

(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；

(4)奇数项系数和与偶数项系数和；

(5)x的奇次项系数和与x的偶次项系数和．

解

设(2x－3y)10＝a0x10＋a1x9y＋a2x8y2＋…＋a10y10，(*) 各项系数的和为a0＋a1＋…＋a10，奇数项系数和为a0＋a2＋…＋a10，偶数项系数和为a1＋a3＋a5＋…＋a9，x的奇次项系数和为a1＋a3＋a5＋…＋a9，x的偶次项系数和为a0＋a2＋a4＋…＋a10. 由于(*)是恒等式，故可用“赋值法”求出相关的系数和．

11010(1)二项式系数的和为C010＋C10＋…＋C10＝2. (2)令x＝y＝1，各项系数和为(2－3)10＝(－1)10＝1. 2109(3)奇数项的二项式系数和为C010＋C10＋…＋C10＝2，

399偶数项的二项式系数和为C110＋C10＋…＋C10＝2. (4)令x＝y＝1，得到a0＋a1＋a2＋…＋a10＝1，①

令x＝1，y＝－1(或x＝－1，y＝1)，

得a0－a1＋a2－a3＋…＋a10＝510，②

①＋②得2(a0＋a2＋…＋a10)＝1＋510，

1＋510∴奇数项系数和为；

2①－②得2(a1＋a3＋…＋a9)＝1－510，

1－510∴偶数项系数和为. 21－510(5)x的奇次项系数和为a1＋a3＋a5＋…＋a9＝；

21＋510x的偶次项系数和为a0＋a2＋a4＋…＋a10＝. 2思维升华

(1)“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m (a，b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对形如(ax＋by)n (a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．

(2)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为f1＋f－1f1－f－1a0＋a2＋a4＋…＝，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝. 22

(1)(2016·北京海淀区模拟)设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a＝7b，则m等于(

)

A．5

B．6

C．7

D．8 答案

B m1解析

由题意得a＝Cm2m，b＝C2m＋1，

＋m1∴13Cm2m＝7C2m＋1，

＋∴∴13·2m！7·2m＋1！＝，

m！·m！m！·m＋1！72m＋1＝13，解得m＝6，

m＋1经检验符合题意，故选B. a1a2a2 016(2)若(1－2x)2 016＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 016x2 016，则＋2＋…＋2 016的结果是多少？

222解

当x＝0时，左边＝1，右边＝a0，∴a0＝1. 1a1a2a2 016当x＝时，左边＝0，右边＝a0＋＋2＋…＋2 016，

2222a1a2a2 016∴0＝1＋＋2＋…＋2 016. 222a1a2a2 016即＋2＋…＋2 016＝－1. 222题型三

二项式定理的应用

例4

(1)设a∈Z且0≤a＜13，若512 012＋a能被13整除，则a等于(

) A．0

B．1

C．11

D．12 (2)1.028的近似值是________．(精确到小数点后三位) 答案

(1)D

(2)1.172 01解析

(1)512 012＋a＝(52－1)2 012＋a＝C2 012·522 012－C2 012·522 011＋…＋C2 011(－1)2 011＋2 012×52·2 012C2 012·(－1)2 012＋a，

∵C0522 012－C1522 011＋…＋C2 011(－1)2 011能被13整除且512 012＋a能被13整除，

2 012·2 012·2 012×52·∴C2 012(－1)2 012＋a＝1＋a也能被13整除，因此a的值为12. 2 012·0(2)1.028＝(1＋0.02)8≈C8＋C10.02＋C20.022＋C30.023≈1.172. 8·8·8·思维升华

(1)整除问题和求近似值是二项式定理中两类常见的应用问题，整除问题中要关注展开式的最后几项，而求近似值则应关注展开式的前几项．

(2)二项式定理的应用基本思路是正用或逆用二项式定理，注意选择合适的形式．

2233kkk1010

(1)1－90C110＋90C10－90C10＋…＋(－1)90C10＋…＋90C10除以88的余数是(

)

A．－1

B．1

C．－87

D．87 答案

B 2233kkk10101010解析

1－90C110＋90C10－90C10＋…＋(－1)90C10＋…＋90C10＝(1－90)＝89＝(88＋11)10＝8810＋C10889＋…＋C91088＋1，∵前10项均能被88整除，∴余数是1. (2)已知2n2·3n＋5n－a能被25整除，求正整数a的最小值．

＋解

原式＝4·6n＋5n－a＝4(5＋1)n＋5n－a

n1n122n1n＝4(C0＋…＋Cnn5＋Cn5n5＋Cn5＋Cn)＋5n－a

－－－n1n122＝4(C0＋…＋Cnn5＋Cn5n5)＋25n＋4－a，

－－显然正整数a的最小值为4.

15．二项展开式的系数与二项式系数

3典例

(1)(2016·河北武邑中学期末)若(x－)n展开式的各项系数绝对值之和为1 024，则展开x式中含x项的系数为________．

(2)(2016·河北邯郸一中调研)已知(x－m)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7的展开式中x4的系数是－35，则a1＋a2＋…＋a7＝________. 错解展示

3解析

(1)(x＋)n展开式中，令x＝1可得4n＝1 024，∴n＝5，

x53k3nkk∴(x－)展开式的通项Tk＋1＝(－3)·C5·x2，

x令5－3k＝1，得k＝1. 2故展开式中含x项的系数为C15＝5. 277(2)a1＋a2＋…＋a7＝C17＋C7＋…＋C7＝2－1. 答案

(1)5

(2)27－1 现场纠错

3解析

(1)在(x＋)n的展开式中，令x＝1，

x3可得(x－)n展开式的各项系数绝对值之和为4n＝22n＝1 024＝210，∴n＝5. x

53k32，

故(x－)5展开式的通项为Tk＋1＝(－3)k·Ck·x5x令5－3k＝1，得k＝1，

2故展开式中含x项的系数为－15. (2)∵(x－m)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，

令x＝0，∴a0＝(－m)7. 又∵展开式中x4的系数是－35，∴C3(－m)3＝－35，

7·∴m＝1.∴a0＝(－m)7＝－1. 在(x－m)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7中，

令x＝1，得0＝－1＋a1＋a2＋…＋a7，

即a1＋a2＋a3＋…＋a7＝1. 答案

(1)－15

(2)1 纠错心得

和二项展开式有关的问题，要分清所求的是展开式中项的系数还是二项式系数，

是系数和还是二项式系数的和.

1．在x2(1＋x)6的展开式中，含x4项的系数为(

) A．30

B．20

C．15

D．10 答案

C k24解析

因为(1＋x)6的展开式的第k＋1项为Tk＋1＝Ckx2(1＋x)6的展开式中含x4的项为C6x6x，＝15x4，所以系数为15. a2．(2015·湖南)已知x－5的展开式中含x2的项的系数为30，则a等于(

) x3A.3

B．－3

C．6

D．－6 答案

D ak解析

x－5的展开式通项Tk1C5xx则k＝1，

1＝30，∴a＝－6，故选D. T2aCx,∴－aC55k2(1)axkkk2(1)aCx,令2－k＝2，kkk55k25315323．(4x－2x)6(x∈R)展开式中的常数项是(

) －

A．－20

C．15

答案

C B．－15 D．20 解析

设展开式中的常数项是第k＋1项，则Tk＋1＝Ck(4x)6k·(－2x)k＝Ck(－1)k·212x6·6·－－－2kx·2－kx＝Ck(－1)k·212x6·－3kx，

∵12x－3kx＝0恒成立，∴k＝4，

∴T5＝C4(－1)4＝15. 6·4．(2015·湖北)已知(1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为(

) A．29

B．210

C．211

D．212

答案

A 7n1解析

由题意，C3＝29.故选A. n＝Cn，解得n＝10，则奇数项的二项式系数和为2－5．若在(x＋1)4(ax－1)的展开式中，x4的系数为15，则a的值为(

) 57A．－4

B.

C．4

D.

22答案

C 解析

∵(x＋1)4(ax－1)＝(x4＋4x3＋6x2＋4x＋1)(ax－1)，∴x4的系数为4a－1＝15，∴a＝4. 6．若(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋an(1－x)n，则a0－a1＋a2－a3＋…＋(－1)nan等于(

) 3A.(3n－1)

43C.(3n－2)

2答案

D 解析

在展开式中，令x＝2，得3＋32＋33＋…＋3n＝a0－a1＋a2－a3＋…＋(－1)nan，

31－3n即a0－a1＋a2－a3＋…＋(－1)an＝

1－3n3B.(3n－2) 43D.(3n－1) 23＝(3n－1)．

217．若(x＋a)2(－1)5的展开式中常数项为－1，则a的值为(

) xA．1

C．－1或－9

答案

D B．9 D．1或9

1－解析

由于(x＋a)2＝x2＋2ax＋a2，而(－1)5的展开式通项为Tk＋1＝(－1)kCkxk5，其中k＝5·x1－－10,1,2，…，5.于是(－1)5的展开式中x2的系数为(－1)3C3项的系数为(－1)4C45＝－10，x5＝x15，常数项为－1，因此(x＋a)2(－1)5的展开式中常数项为1×(－10)＋2a×5＋a2×(－1)＝－xa2＋10a－10，依题意－a2＋10a－10＝－1，解得a2－10a＋9＝0，即a＝1或a＝9. 8．(2016·北京)在(1－2x)6的展开式中，x2的系数为________．(用数字作答) 答案

60 kk2解析

展开式的通项Tk＋1＝Ck16k·(－2x)k＝Ckx.令k＝2，得T3＝C6·4x2＝60x2，即x26·6(－2)·－的系数为60. 1x2－8的展开式中x7的系数为________．(用数字作答) 9．(2016·天津)x答案

－56 1128－k16－3k7x2－8的通项Tk＋1＝Ck－k＝(－1)kCk解析

(x)，当16－3k＝7时，k＝3，则x88xxx的系数为(－1)3C38＝－56. 10．若将函数f(x)＝x5表示为f(x)＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a5(1＋x)5，其中a0，a1，a2，…，a5为实数，则a3＝________. 答案

10 解析

f(x)＝x5＝(1＋x－1)5，

5k它的通项为Tk＋1＝Ck·(－1)k，

5(1＋x)－323T3＝C25(1＋x)(－1)＝10(1＋x)，∴a3＝10. 11．(1＋x)8(1＋y)4的展开式中x2y2的系数是________．

答案

168 k4tt84ktkt解析

∵(1＋x)8的通项为Ck8x，(1＋y)的通项为C4y，∴(1＋x)(1＋y)的通项为C8C4xy，2令k＝2，t＝2，得x2y2的系数为C28C4＝168. 12．已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7. 求：(1)a1＋a2＋…＋a7；

(2)a1＋a3＋a5＋a7；

(3)a0＋a2＋a4＋a6；

(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|. 解

令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7

＝－1.①

令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37.②

(1)∵a0＝C07＝1，∴a1＋a2＋a3＋…＋a7＝－2. (2)(①－②)÷2，

－1－37得a1＋a3＋a5＋a7＝＝－1 094. 2(3)(①＋②)÷2，

－1＋37得a0＋a2＋a4＋a6＝＝1 093. 2(4)方法一

∵(1－2x)7展开式中，a0、a2、a4、a6大于零，而a1、a3、a5、a7小于零，

∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝(a0＋a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5＋a7)＝1 093－(－1 094)＝2 187. 方法二

|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|，

即(1＋2x)7展开式中各项的系数和，令x＝1，

∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝37＝2 187. 13．求证：1＋2＋22＋…＋25n1(n∈N*)能被31整除．

－证明

∵1＋2＋2＋…＋225n－125n－1＝

2－1＝25n－1＝32n－1＝(31＋1)n－1 n1n11n＝C0＋…＋Cnn×31＋Cn×31n×31＋Cn－1 －－n1n21＝31(C0＋C1＋…＋Cnn×31n×31n)，

－－－n111显然C0＋Cn×31n2＋…＋Cnn×31n为整数，

－－－∴原式能被31整除．

*14.若(x＋1)n展开式中前三项的系数成等差数列，求：

42x(1)展开式中所有x的有理项；

(2)展开式中系数最大的项．

112解

(1)易求得展开式前三项的系数为1，C1n，Cn. 24112据题意得2×C1n＝1＋Cn⇒n＝8. 24设展开式中的有理项为Tk＋1，

由Tk1C(x)k88k3k1kk16(4)()C8x4,

22x1k

∴k为4的倍数，又0≤k≤8，∴k＝0,4,8. 10016430x4,

故有理项为T1()C8x21441643435T5(2)C8x8x,

188164381()Cx.

T928256x2(2)设展开式中Tk＋1项的系数最大，

2C≥2则11C≥22kk8kk811k＋11Ck8，＋k－1k－1C8

⇒k＝2或k＝3. 故展开式中系数最大的项为

512216432T3(2)C8x7x2,

713316433T4(2)C8x7x4.