1.3 二项式定理（通用）名师课堂实录

1.3.1二项式定理教学设计

缙云县壶镇中学

陈伟托

一、教学目标

1.知识与技能：

(1)通过对二项式定理的学习，使学生理解二项式定理，会利用二项式定理求二项展开式。并理解和掌握二项展开式的规律，利用它能对二项式展开，进行相应的计算。还会区别“系数”、“二项式系数”等概念，灵活正用和逆用展开式。

(2)利用二项式定理还可以进一步深化对组合数的认识。 2.过程与方法： 通过学生参与和探究二项式定理的形成过程，培养学生观察、分析、概括的能力，以及化归的意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式．

3. 情感、态度与价值观：

通过“二项式定理”的学习，培养学生解决数学问题的兴趣和信心，让学生感受数学内在的和谐，对称美及数学符号应用的简洁美，培养学生勇于探索，勇于创新的精神。

二、教学重点、难点

重点：用计数原理分析(a+b)2，

(ab)3的展开式，得到二项式定理．

难点：用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律. 三、教学手段

制作多媒体课件，以增加课堂容量及知识的直观性，从而提高学生学习的兴趣，使学生进一步加深对定理，概念的理解。

四、教学过程

（一）提出问题，引入新课

引入：二项式定理研究的是(ab)n的展开式，如：(ab)2a22abb2，

(ab)3? (ab)4? 那么(ab)n的展开式是什么？

【设计意图】把问题作为教学的出发点，直接引出课题．激发学生的求知欲，明确本课要解决的问题. （二）引导探究，发现规律

1、多项式乘法的再认识

问题1.(ab)2a22abb2

展开式中的每一项是怎样来的？

问题2.(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3展开式中的每一项是怎样来的？

【设计意图】引导学生运用计数原理来解决项数问题，明确每一项的特征，为后续学习作准备.

2、(ab)3展开式的再认识

探究1：不运算(ab)3，能否回答下列问题

(1) 展开式中有哪些不同的项？

(2) 各项的系数为多少？跟组合有什么关系？

(3) 从上述三个问题，你能否得出(ab)3的展开式？

探究2：仿照上述过程，请你推导(ab)4的展开式. 【设计意图】通过几个问题的层层递进，引导学生用计数原理对(ab)3的展开式进行再思考，分析各项的形式、项的个数，这也为推导(ab)n的展开式提供了一种方法，使学生在后续的学习过程中有“法”可依．

(三) 推出定理，说明论证

探究3：仿照上述过程，请你推导(ab)n的展开式．

0n1n1knkknn(ab)nCnaCnabCnabCnb(nN*)——

二项式定理

证明：(ab)n是n个(ab)相乘，每个(ab)在相乘时，有两种选择，选a或选b，其中每一项都是ankbk(k0,1,n)的形式，对于每一项都是有k个(ab)选了b，n－k个(ab)选了a，它出现的次数相当于从n个(ab)中取k个b的组合数Cnk，将它们合并同类项，就得二项展开式，这就是二项式定理．

二项式定理的公式特征：

1. 项数：共有n１项. 2. 次数：各项的次数都等于n

3.展开式中项的排列方式如何？

字母a按降幂排列，次数由n递减到0；

字母b按升幂排列，次数由0递增到n。

012kn4.二项式系数: 依次为Cn，这里Cnk(k0,1,,n)称为,Cn,Cn,,Cn,,Cn二项式系数. 5.二项展开式的通项: 式中的Cnkankbk叫做二项展开式的通项. 用knkkTk1表示 Tk1=Cnab（表示第k１项）

【设计意图】本环节以问题为中心，由浅入深地引导学生大胆猜想。利用组合知识，充分揭示二项展开式的内涵和外延。帮助学生建构和完善自己的认知结构，既显得合情合理，又科学严谨。进一步强化学生的逻辑思维能力和归纳能力。

(四)

例题讲解，巩固提高

例1:（1）求(2+x)5的展开式；

（2）求(2-x)5的展开式。

【设计意图】熟悉二项展开式，培养学生的运算能力．

例2、（1）求(2x-1x14)的二项展开式；

x(2)求(x-)7的展开式中x3项的系数。

【设计意图】熟悉二项展开式，熟练运用通项公式．

1例3.在(3x+)5的展开式中x

（1）求展开式的第3项。

（2）请指出展开式的第3项的系数，二项式系数。

（3）求展开式中含x3的项。

【设计意图】熟悉二项展开式，学会区分系数和二项式系数的区别．

(五) 课堂小结，课后作业

0n1n1knkknn1.二项式定理：(ab)nCnaCnabCnabCnb(nN*), 2.二项式系数: Cnk(k0,1,,n)

3.通项公式：Tk1=Cnkankbk

【设计意图】小结上课学习的主要内容，加深学生对二项式定理的认识。