3.2.2 复数代数形式的乘除运算教学设计案例

《复数代数形式的乘除运算》教学设计

黑龙江省泰来县第三中学 谭金旭

教学目标：

知识与技能：理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则。

过程与方法：理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题。

情感、态度与价值观：复数的几何意义单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味，学生不易接受，教学时，我们采用讲解或体验已学过的数集的扩充的，让学生体会到这是生产实践的需要从而让学生积极主动地建构知识体系。

教学重点：

1.掌握复数代数形式的四则运算法则，熟练地运用复数的乘法、除法的运算法则. 2.理解复数乘法的交换律、结合律、分配律. 3.理解并掌握共轭复数的性质及应用. 教学难点：对复数乘法、除法法则的运用。

教具准备：多媒体

教学过程：

（一）学生探究过程： 1.

虚数单位i: (1)它的平方等于-1，即

i21; (2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立

2. i的周期性：

i

4n+1=i, i4n+2=-1, i4n+3=-i, i4n=1

1

（二）讲解新课：

１．乘法运算规则：

规定复数的乘法按照以下的法则进行：

设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i. 其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数. 2.乘法运算律：

(1)z1(z2z3)=(z1z2)z3 证明：设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R). ∵z1z2=(a1+b1i)(a2+b2i)=(a1a2-b1b2)+(b1a2+a1b2)i

z2z1=(a2+b2i)(a1+b1i)=(a2a1-b2b1)+(b2a1+a2b1)i. 又a1a2-b1b2=a2a1-b2b1，b1a2+a1b2=b2a1+a2b1. ∴z1z2=z2z1. (2)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 证明：设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R). ∵(z1z2)z3=［(a1+b1i)(a2+b2i)］(a3+b3i)=［(a1a2-b1b2)+(b1b2+a1b2)i］(a3+b3i) =［(a1a2-b1b2)a3-(b1a2+a1b2)b3］+［(b1a2+a1b2)a3+(a1a2-b1b2)b3］i

=(a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2b3+a1a2b3-b1b2b3)i，

同理可证：

z1(z2z3)=(a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2a3+a1a2b3-b1b2b3)i，

∴(z1z2)z3=z1(z2z3).

2

(3)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3. 证明：设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R). ∵z1(z2+z3)=(a1+b1i)［(a2+b2i)+(a3+b3i)］=(a1+b1i)［(a2+a3)+(b2+b3)i］

=［a1(a2+a3)-b1(b2+b3)］+［b1(a2+a3)+a1(b2+b3)］i

=(a1a2+a1a3-b1b2-b1b3)+(b1a2+b1a3+a1b2+a1b3)i. z1z2+z1z3=(a1+b1i)(a2+b2i)+(a1+b1i)(a3+b3i) =(a1a2-b1b2)+(b1a2+a1b2)i+(a1a3-b1b3)+(b1a3+a1b3)i

=(a1a2-b1b2+a1a3-b1b3)+(b1a2+a1b2+b1a3+a1b3)i

=(a1a2+a1a3-b1b2-b1b3)+(b1a2+b1a3+a1b2+a1b3)i

∴z1(z2+z3)=z1z2+z1z3. 2.共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数

通常记复数z的共轭复数为z。

3. 复数除法定义：满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的复数x+yi(x,y∈R)叫复数a+bi除以复数c+di的商，记为：(a+bi)(c+di)或者5.除法运算规则：

①设复数a+bi(a，b∈R)，除以c+di(c，d∈R)，其商为x+yi(x，y∈R)，

即(a+bi)÷(c+di)=x+yi

∵(x+yi)(c+di)=(cx－dy)+(dx+cy)i. ∴(cx－dy)+(dx+cy)i=a+bi. abi

cdi

3

由复数相等定义可知cxdya,

dxcyb.acbdx,22解这个方程组，得cd

ybcad.c2d2于是有:(a+bi)÷(c+di)=acbdbcad2 i. 222cdcdabi的分母有理化得：

cdi②利用(c+di)(c－di)=c2+d2.于是将原式=abi(abi)(cdi)[acbi(di)](bcad)i

22cdi(cdi)(cdi)cd(acbd)(bcad)iacbdbcad2i. c2d2cd2c2d2∴(a+bi)÷(c+di)=acbdbcadi. c2d2c2d2点评：①是常规方法，②是利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数c+di与复数c－di，相当于我们初中学习的32的对偶式32，它们之积为1是有理数，而(c+di)·(c－di)=c+d是22正实数.所以可以分母实数化. 把这种方法叫做分母实数化法

（三）例题讲解

例1

(1) i1-i

的值等于（ ）

2A.－4

B.2 C.－2i

D.4i (2)若复数z满足(1＋i)·z＝2i(i为虚数单位)，则复数z＝____. 例2若复数z满足(1－z)(1＋2i)＝i，则在复平面内表示复数z的点位于

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

4

反思与感悟

：

(1)两个复数代数形式乘法的一般运算方法：首先按多项式的乘法展开；再将i的平方换成－1；然后再进行复数的加减运算，化简为复数的代数形式. (2)常用公式

abi2a22abi-b2 abia-bia2b2 (a，b∈R). 例3

计算下列各式：

(1)i2 016250；

＋(2＋2i)－1－i8

反思与感悟

：

复数四则运算的解答策略

(1)复数的加法、减法、乘法运算法则可以类比多项式的运算法则，除法的关键是分子、分母同乘分母的共轭复数，解题时要注意把i的幂写成最简形式. 1＋i1－i(2)记住一些结论，如(1±i)＝±2i，＝i，＝－i等.1－i1＋i2

1＋2i例4

(1)若z＝，则复数z等于i

A.－2－i

B.－2＋i C.2－i

D.2＋i (2)若复数z满足(2－i)z＝5i(其中i为虚数单位)，则复数z的共轭复数的模是____. （四）课堂练习

zz1.若复数z11i，z23-i，则

21

等于（ ）

5

A.4＋2i

B.2＋i C.2＋2i

D.3＋i i2.若i是虚数单位，则等于

3＋3i1313A.－i

B.＋i 4124121313C.＋i

D.－i26261－i103.计算：＝____.

1＋i

z14.若z1＝a＋2i，z2＝3－4i，且z为纯虚数，则实数a的值为____.2

（五）课堂小结：

1.复数代数形式的乘除运算

(1)复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式，复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律. (2)在进行复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化. 2.共轭复数的性质可以用来解决一些复数问题. 3.复数问题实数化思想. 复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，其桥梁是设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，利用复数相等的充要条件转化. （六）课后作业

P61.1---5

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