1.3 二项式定理（通用）课堂实录

课

题：

10．4教学目的：

二项式定理(一) 1掌握二项式定理及二项式展开式的通项公式. 2.会利用二项展开式及通项公式解决有关问题.

教学重点：二项式定理及通项公式的掌握及运用

教学难点：二项式定理及通项公式的掌握及运用

授课类型：新授课

课时安排：1课时

教

具：多媒体

内容分析：

二项式定理是初中乘法公式的推广，是排列组合知识的具体运用，是学习概率的重要基础．这部分知识具有较高应用价值和思维训练价值．中学教材中的二项式定理主要包括：定理本身，通项公式，杨辉三角，二项式系数的性质等．

通过二项式定理的学习应该让学生掌握有关知识，同时在求展开式、其通项、证恒等式、近似计算等方面形成技能或技巧；进一步体会过程分析与特殊化方法等等的运用；重视学生正确情感、态度和世界观的培养和形成．

二项式定理本身是教学重点，因为它是后面一切结果的基础．通项公式，杨辉三角，特殊化方法等意义重大而深远，所以也应该是重点．

二项式定理的证明是一个教学难点．这是因为，证明中符号比较抽象、需要恰当地运用组合数的性质2、需要用到不太熟悉的数学归纳法．

在教学中，努力把表现的机会让给学生，以发挥他们的自主精神；尽量创造让学生活动的机会，以让学生在直接体验中建构自己的知识体系；尽量引导学生的发展和创造意识，以使他们能在再创造的氛围中学习

教学过程：

一、复习引入：

02122 ⑴(ab)2a22abb2C2aC2abC2b；

0312233⑵(ab)3a33a2b3ab2b3C3aC3abC3ab2C3b

⑶(ab)4(ab)(ab)(ab)(ab)的各项都是4次式，

即展开式应有下面形式的各项：a，ab，ab，ab，b，

432234a的系数是C4；展开式各项的系数：上面4个括号中，每个都不取b的情况有1种，即C4种，112恰有1个取b的情况有C4种，ab的系数是C4，恰有2个取b的情况有C4种，ab的系322040数是C4，恰有3个取b的情况有C4种，ab的系数是C4，有4都取b的情况有C4种，b的系数是C4，

∴(ab)C4aC4abC4abC4abC4b．

4041322233444233344

二、讲解新课：

0n1n二项式定理：(ab)nCnaCnabrnrrCnabnnCnb(nN)

⑴(ab)n的展开式的各项都是n次式，即展开式应有下面形式的各项：

an，anb，…，anrbr，…，bn，

⑵展开式各项的系数： 00每个都不取b的情况有1种，即Cn种，a的系数是Cn；

11恰有1个取b的情况有Cn种，ab的系数是Cn，……，

r恰有r个取b的情况有Cn种，annrnnrbr的系数是Cn，……，

nn有n都取b的情况有Cn种，b的系数是Cn，

0n1n∴(ab)nCnaCnabrnrrCnabnnCnb(nN)，

这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫(ab)n的二项展开式，⑶它有n1r项，各项的系数Cn(r0,1,n)叫二项式系数，

rnrrrnrr⑷Cnab．

ab叫二项展开式的通项，用Tr1表示，即通项Tr1Cn1⑸二项式定理中，设a1,bx，则(1x)n1CnxrrCnxxn

三、讲解范例：

例1．展开(1)．

1x4464111111234．

xxxxxxxxx1414144413123xCxCxCx1解二：(1)()(x1)()444

xxx46411234．

xxxx4112334解一：

(1)1C4()C4()C4()()1例2．展开(2x16)．

x解：(2x161)3(2x1)6

xx16152433221[(2x)C(2x)C(2x)C(2x)C(2x)C66666(2x)1]

3x

64x3192x2240x16060121．

xx2x3例3．求(xa)12的展开式中的倒数第4项

解：(xa)12的展开式中共13项，它的倒数第4项是第10项，

91299339T91C12xaC12xa220x3a9．

例4．（1）求(x339)的展开式常数项；

x39)的展开式的中间两项

x（2）求(x339rx3r解：∵Tr1C9()9r()rC9r32r9x2，

3x∴（1）当9（2）(36r0,r6时展开式是常数项，即常数项为T7C9332268；

2x339)的展开式共10项，它的中间两项分别是第5项、第6项，

x4989T5C3x9129423510942x，T6C93x2378x3

3x15例5．（1）求(12x)的展开式的第四项的系数；

3（2）求(x)的展开式中x的系数及二项式系数

71x93解：(12x)的展开式的第四项是T31C7(2x)3280x3，

7∴(12x)的展开式的第四项的系数是280．

（2）∵(x)的展开式的通项是Tr1C9x719x∴92r3，r3，

3r9r1()r(1)rC9rx92r，

x3∴x的系数(1)C984，x的二项式系数C984．

四、课堂练习：

P.110-1，2，3，4，5，6 五、小结

：二项式定理的探索思路:观察——归纳——猜想——证明；二项式定理及通项公式的特点 333六、课后作业：

P.113-习题10.4-3，4,5；优化设计：123--124

七、板书设计（略）

八、课后记：