1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积教学实录

柱体、锥体、台体的表面积

一、教学目标

1．知识与技能

（1）了解柱体、锥体与台体的表面积（不要求记忆公式）. （2）能运用公式求解柱体、锥体和台体的全面积. （3）培养学生空间想象能力和思维能力.

2．过程与方法

让学生经历几何体的侧面展开过程，感知几何体的形状，培养转化化归能力.

3．情感、态度与价值观

通过学习，使学生感受到几面体表面积的求解过程，激发学生探索创新的意识，增强学习的积极性.二、重点难点

教学重点：了解柱体、锥体、台体的表面积和体积计算公式及其应用. 教学难点：表面积和体积计算公式的应用. 三、课时安排

1课时

四、教学设计

（一）导入新课

思路1.在过去的学习中，我们已经接触过一些几何体的面积和体积的求法及公式，哪些几何体可以求出表面积和体积？（引导学生回忆，互相交流，教师归类）几何体的表面积等于它的展开图的面积，那么，柱体、锥体、台体的侧面展开图是怎样的？你能否计算？

思路2.被誉为世界七大奇迹之首的胡夫大金字塔，在1889年巴黎埃菲尔铁塔落成前的四千多年的漫长岁月中，胡夫大金字塔一直是世界上最高的建筑物.在四千多年前生产工具很落后的中古时代，埃及人是怎样采集、搬运数量如此之多，每块又如此之重的巨石垒成如此宏伟的大金字塔，真是一个十分难解的谜.胡夫大金字塔是一个正四棱锥外形的建筑，塔底边长230米，塔高146.5米，你能计算建此金字塔用了多少石块吗？

（二）推进新课、新知探究、提出问题

①在初中，我们已经学习了正方体和长方体的表面积，以及它们的展开图（图1），你知道上述几何体的展开图与其表面积的关系吗？

正方体及其展开图(1)

长方体及其展开图(2) 图1 ②棱柱、棱锥、棱台也是由多个平面图形围成的几何体，它们的展开图是什么？如何计算它们的表面积？

③如何根据圆柱、圆锥的几何结构特征，求它们的表面积？

④联系圆柱、圆锥的侧面展开图，你能想象圆台侧面展开图的形状，并且画出它吗？如果圆台的上、下底面半径分别是r′,r，母线长为l，你能计算出它的表面积吗？

⑤圆柱、圆锥和圆台的表面积之间有什么关系？

活动：①学生讨论和回顾长方体和正方体的表面积公式.

②学生思考几何体的表面积的含义，教师提示就是求各个面的面积的和. ③让学生思考圆柱和圆锥的侧面展开图的形状. ④学生思考圆台的侧面展开图的形状. ⑤提示学生用动态的观点看待这个问题. 讨论结果：①正方体、长方体是由多个平面图形围成的几何体，它们的表面积就是各个面的面积的和.因此，我们可以把它们展成平面图形，利用平面图形求面积的方法，求立体图形的表面积. ②棱柱的侧面展开图是平行四边形，其表面积等于围成棱柱的各个面的面积的和；棱锥的侧面展开图是由多个三角形拼接成的，其表面积等于围成棱锥的各个面的面积的和；棱台的侧面展开图是由多个梯形拼接成的，其表面积等于围成棱台的各个面的面积的和. ③它们的表面积等于侧面积与底面积的和，利用它们的侧面展开图来求得它们的侧面积，由于底面是圆面，其底面积直接应用圆的面积公式即得.其中，圆柱的侧面展开图是矩形，圆锥的侧面展开图是扇形.

我们知道，圆柱的侧面展开图是一个矩形（图2）.如果圆柱的底面半径为r,母线长为l，那么圆柱的底面面积为πr2,侧面面积为2πrl.因此，圆柱的表面积S=2πr2+2πrl=2πr(r+l).

图2

图3

圆锥的侧面展开图是一个扇形（图3）.如果圆锥的底面半径为r,母线长为l，那么它的表面积S=πr2+πrl=πr(r+l). 点评：将空间图形问题转化为平面图形问题，是解决立体几何问题基本的、常用的方法. ④圆台的侧面展开图是一个扇环（图4），它的表面积等于上、下两个底面的面积和加上侧面的面积，即S=π(r2+r′2+rl+r′l).

图4 ⑤圆柱、圆锥、圆台侧面积的关系：

圆柱和圆锥都可以看作是圆台退化而成的几何体.圆柱可以看作是上下底面全等的圆台，圆锥可看作是上底面退化成一点的圆台，观察它们的侧面积，不难发现：

1212S圆台表=π(r1l+r2l+r12+r22)S圆锥表=πr(r+l). S圆柱表=2πr(r+l)rrrr0,rr从上面可以很清楚地看出圆柱和圆锥的侧面积公式都可以看作由圆台侧面积公式演变而来.

（三）应用示例

思路1

例1

已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体S—ABC（图6），求它的表面积.

图6

活动：回顾几何体的表面积含义和求法. 分析：由于四面体S—ABC的四个面是全等的等边三角形，所以四面体的表面积等于其中任何一个面面积的4倍.

解：先求△SBC的面积，过点S作SD⊥BC，交BC于点D. 因为BC=a,SD=SBBD22a3a2()2a, 22所以S△SBC=11332BC·SD=aaa. 2224因此，四面体S—ABC的表面积S=4×32a3a2. 4点评：本题主要考查多面体的表面积的求法. 变式训练

1.已知圆柱和圆锥的高、底面半径均分别相等.若圆柱的底面半径为r，圆柱侧面积为S，求圆锥的侧面积.

解：设圆锥的母线长为l，因为圆柱的侧面积为S，圆柱的底面半径为r，即S圆柱侧=S，根据圆柱的侧面积公式可得：圆柱的母线（高）长为SS，由题意得圆锥的高为，又圆锥2r2r2的底面半径为r，根据勾股定理，圆锥的母线长l=r(得

S2)，根据圆锥的侧面积公式2rS242r4S2S圆锥侧=πrl=π·r·r(. )2r22

2.两个平行于圆锥底面的平面将圆锥的高分成相等的三段，那么圆锥被分成的三部分的体积的比是（

）

A.1∶2∶3

B.1∶7∶19

C.3∶4∶5

D.1∶9∶27 分析：因为圆锥的高被分成的三部分相等，所以两个截面的半径与原圆锥底面半径之比为1∶2∶3，于是自上而下三个圆锥的体积之比为(3r2h)∶［3(2r)2·2h］∶［3(3r)2·3h］=1∶8∶27，所以圆锥被分成的三部分的体积之比为1∶（8－1）∶（27－8）=1∶7∶19. 答案：B

3.三棱锥V—ABC的中截面是△A1B1C1，则三棱锥V—A1B1C1与三棱锥A—A1BC的体积之比是（

）

A.1∶2

B.1∶4

C.1∶6

D.1∶8 分析：中截面将三棱锥的高分成相等的两部分，所以截面与原底面的面积之比为1∶4，将三棱锥A—A1BC转化为三棱锥A1—ABC，这样三棱锥V—A1B1C1与三棱锥A1—ABC的高相等，底面积之比为

1∶4，于是其体积之比为1∶4. 答案：B

例2

如图7，一个圆台形花盆盆口直径为20 cm，盆底直径为15 cm，底部渗水圆孔直径为1.5 cm，盆壁长为15 cm.为了美化花盆的外观，需要涂油漆.已知每平方米用100毫升油漆，涂100个这样的花盆需要多少毫升油漆？（π取3.14，结果精确到1毫升，可用计算器）

图7

活动：学生思考和讨论如何转化为数学问题.只要求出每个花盆外壁的表面积，就可以求出油漆的用量.而花盆外壁的表面积等于花盆的侧面积加上底面积，再减去底面圆孔的面积.

解：如图7，由圆台的表面积公式得一个花盆外壁的表面积S=π［(-π(1521520)1515］2221.52)≈1 000(cm2)=0.1(m2). 2涂100个这样的花盆需油漆：0.1×100×100=1 000（毫升）. 答：涂100个这样的花盆需要1 000毫升油漆. 点评：本题主要考查几何体的表面积公式及其应用. 变式训练

1.有位油漆工用一把长度为50 cm，横截面半径为10 cm的圆柱形刷子给一块面积为10 m2的木板涂油漆，且圆柱形刷子以每秒5周的速度在木板上匀速滚动前进，则油漆工完成任务所需的时间是多少?（精确到0.01秒）

解：圆柱形刷子滚动一周涂过的面积就等于圆柱的侧面积，

∵圆柱的侧面积为S侧=2πrl=2π·0.1·0.5=0.1π

m2，

又∵圆柱形刷子以每秒5周匀速滚动，

∴圆柱形刷子每秒滚过的面积为0.5π

m2，

10m220因此油漆工完成任务所需的时间t=≈6.37秒. 0.5m2点评：本题虽然是实际问题，但是通过仔细分析后，还是归为圆柱的侧面积问题.解决此题的关键是注意到圆柱形刷子滚动一周所经过的面积就相当于把圆柱的侧面展开的面积，即滚动一周所经过的面积等于圆柱的侧面积.从而使问题迎刃而解.

2.（2007山东滨州一模，文14）已知三棱锥O—ABC中，OA、OB、OC两两垂直，OC=1,OA=x，

OB=y，且x+y=4，则三棱锥体积的最大值是___________. 分析：由题意得三棱锥的体积是当x=2时，三棱锥的体积取最大值答案：11112xyx(4x)(x-2)2+，由于x＞0，则326632. 32

3

（四）课堂小结

本节课学习了：

1.柱体、锥体、台体的表面积和体积公式. 2.应用体积公式解决有关问题.

（五）作业

习题1.3

A组

第1、2、3题.