1.1 回归分析的基本思想及其初步应用优质教案设计

1．1

回归分析的基本思想及其初步应用

1.了解随机误差、残差、残差图的概念．

2.会通过分析残差判断线性回归模型的拟合效果．

3．掌握建立线性回归模型的步骤．

1．回归分析

回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法，回归分析的基本步骤是画出两个变量的散点图，求回归直线方程，并用回归直线方程进行预报．

2．线性回归模型

－－∑

(xi－x)(yi－y)^^^^i＝1^－^－－1n(1)在线性回归方程y＝a＋bx中，b＝，a＝y－bx，其中x＝∑xi，nni＝1－2∑

(xi－x)i＝1n－1n－－y＝∑yi，(x，y)称为样本点的中心，回归直线过样本点的中心．

ni＝1(2)线性回归模型y＝bx＋a＋e，其中e称为随机误差，自变量x称为解释变量，因变量y称为预报变量．

3．刻画回归效果的方式

方式方法

计算公式

i＝1n刻画效果

R2

R2＝1－

^∑ (yi－yi)2

ni＝1－∑ (yi－y)2R2越接近于1，表示回归的效果越好

残差点比较均匀地落在水平的带状区^ei称为相应于点(xi，yi)的残差，

^^ei＝yi－yi

域中，说明选用的模型比较合适，其中这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高

残差平方和

i＝1残差图

^∑

(yi－yi)2

n残差平方和越小，模型的拟合效果越好

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)求线性回归方程前可以不进行相关性检验．(

) (2)在残差图中，纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号．(

) (3)利用线性回归方程求出的值是准确值．(

) (4)用相关指数R2来刻画回归的效果，R2值越小，说明模型的拟合效果越好．(

) (5)比较两个模型的拟合效果，可以比较残差平方和的大小，残差平方和越小的模型，拟合效果越好．(

) 答案：(1)×

(2)√

(3)×

(4)×

(5)√

2．散点图在回归分析过程中的作用是(

) A．统计个体个数

B．比较个体数据的大小

C．研究个体分类

D．粗略判断变量是否线性相关

答案：D 3．在建立两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同的模型，它们的相关指数R2如下，其中拟合效果最好的模型是(

) A．模型1的相关指数R2＝0.98 B．模型2的相关指数R2＝0.80 C．模型3的相关指数R2＝0.50 D．模型4的相关指数R2＝0.25 答案：A ^4．已知样本点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x5，y5)，若∑xi＝10，∑yi＝5，且回归直线为y＝i＝1i＝155^^2x＋a，则a＝________．

解析：样本中心为(2，1)，

^所以1＝2×2＋a，

^所以a＝－3.

答案：－3

线性回归方程

以下是某地搜集到的新房屋的销售价格y和房屋的面积x的数据：

房屋面积(m2)

销售价格(万元)

110

33

90

31

80

28

100

34

120

39

(1)画出数据对应的散点图；

(2)求线性回归方程；

(3)根据(2)的结果估计当房屋面积为150 m2时的销售价格. 【解】

(1)数据对应的散点图如图所示：

1－15(2)x＝∑xi＝(110＋90＋80＋100＋120)＝100，

5i＝151－15y＝∑yi＝(33＋31＋28＋34＋39)＝33.

5i＝15i＝15i＝122222∑x2i＝110＋90＋80＋100＋120＝51 000，

5∑xiyi＝110×33＋90×31＋80×28＋100×34＋120×39＝16 740.

－－∑(xi－x)(yi－y)i＝15^i＝1所以b＝－∑

(xi－x)25－∑xiyi－5－xyi＝1＝5

－22∑xi－5xi＝15＝16 740－5×100×33＝0.24，

51 000－5×1002^－^－a＝y－bx＝33－0.24×100＝9.

^^^所以线性回归方程为y＝bx＋a＝0.24x＋9.

(3)根据(2)可知，

当x＝150 m2时，销售价格的估计值为：

^y＝0.24×150＋9＝45(万元)．

(1)求线性回归方程的三个步骤

－－n2n①算：根据数据计算x，y，∑xi，∑xiyi.

i＝1i＝1^^②代：代入公式求b，a的具体数值．

^^^③求：由上面的计算结果求方程y＝bx＋a.

(2)求线性回归方程的三个关键点

1.某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得下表数据：

x y 6

2

8

3

10

5

12

6 ^^^^根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y＝bx＋a中的b的值为0.7，则记忆力为14的同学的判断力约为________．

－6＋8＋10＋12解析：由题意，x＝＝9，

4－2＋3＋5＋6y＝＝4.

4^^^^因为线性回归方程y＝bx＋a中的b的值为0.7，

－^^－y＝a＋bx.

^^所以4＝9×0.7＋a，所以a＝－2.3.

^所以y＝0.7x－2.3.

^当x＝14时，y＝9.8－2.3＝7.5.

答案：7.5 2．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：

单价x(元)

销量y(件)

8

90

8.2

84

8.4

83

8.6

80

8.8

75

9

68 ^^^^^－^－(1)求回归直线方程y＝bx＋a，其中b＝－20，a＝y－bx；

(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本) －1解：(1)x＝(8＋8.2＋8.4＋8.6＋8.8＋9)＝8.5，

6－1y＝(90＋84＋83＋80＋75＋68)＝80，

6

^^－^－因为b＝－20，a＝y－bx，

^所以a＝80＋20×8.5＝250，

^所以回归直线方程为y＝－20x＋250.

(2)设工厂获得的利润为L元，

33则L＝x(－20x＋250)－4(－20x＋250)＝－20(x－)2＋361.25，

433所以该产品的单价应定为元时，工厂获得的利润最大．

4

线性回归分析

为研究重量x(单位：克)对弹簧长度y(单位：厘米)的影响，对不同重量的6个物体进行测量，数据如下表所示：

x y 5

7.25

10

8.12

15

8.95

20

9.9

25

10.9

30

11.8 (1)作出散点图并求线性回归方程；

(2)用相关指数R2判断拟合效果；

(3)进行残差分析．

【解】

(1)散点图如图．

－1x＝(5＋10＋15＋20＋25＋30)＝17.5，

6－1y＝(7.25＋8.12＋8.95＋9.9＋10.9＋11.8)≈9.487，

662∑xi＝2 275，∑xiyi＝1 076.2，

i＝1i＝16^^计算得，b≈0.183，a≈6.285，

^所求线性回归方程为y＝0.183x＋6.285.

(2)列表如下：

^yi－yi

－yi－y

6i＝10.05

－2.24

0.005

－1.37

－0.08

－0.54

－0.045

0.41

0.04

1.41

0.025

2.31

6^2－所以∑

(yi－yi)≈0.013 18，∑

(yi－y)2＝14.678 4.

i＝1

0.013 18所以R2＝1－≈0.999 1，

14.678 4回归模型的拟合效果较好．

(3)由残差表中的数值可以看出第3个样本点的残差比较大，需要确认在采集这个数据的时候是否有人为的错误，如果有的话，需要纠正数据，重新建立回归模型；由表中数据可以看出残差点比较均匀地落在不超过0.15的狭窄的水平带状区域中，说明选用的线性回归模型的精度较高，由以上分析可知，弹簧长度与重量成线性关系．

“相关指数R2、残差图”在回归分析中的作用

i＝1nn(1)相关指数R2是用来刻画回归效果的，由R2＝1－^∑(yi－yi)2i＝1－∑(yi－y)2可知，R2越大，意味着残差平方和越小，也就是说模型的拟合效果就越好．

(2)残差图也是用来刻画回归效果的，判断依据是：残差点比较均匀地分布在水平带状区域中，带状区域越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程预报的精度也越高．

某运动员训练次数与运动成绩之间的数据关系如下：

次数(x)

成绩(y)

(1)作出散点图；

(2)求出线性回归方程；

(3)作出残差图，并说明模型的拟合效果．

解：(1)作出该运动员训练次数(x)与成绩(y)之间的散点图，如图所示．

30

30

33

34

35

37

37

39

39

42

44

46

46

48

50

51

8－－(2)可求得x＝39.25，y＝40.875，∑x2i＝12 656，

i＝182∑yi＝13 731，∑xiyi＝13 180，

i＝1i＝18^i＝1所以b＝－－∑

(xi－x)(yi－y)i＝18－∑

(xi－x)28＝i＝18－－∑xiyi－8xy－2∑x2i－8xi＝1≈1.041 5，

8^－^－a＝y－bx≈－0.003 875，

^所以线性回归方程为y＝1.041 5x－0.003 875.

(3)作残差图如图所示：

由图可知，残差点比较均匀地分布在水平带状区域中，说明选用的模型比较合适．

非线性回归分析

下表为收集到的一组数据：

x y 21

7

23

11

25

21

27

24

29

66

32

115

35

325 (1)作出x与y的散点图，并猜测x与y之间的关系；

(2)建立x与y的关系，预报回归模型并计算残差；

^(3)利用所得模型，预报x＝40时y的值．

【解】

(1)作出散点图如图所示，从散点图中可以看出x与y不具有线性相关关系，根据已有知识可以发现样本点分布在某一条指数函数型曲线y＝c1ec2x的周围，其中c1，c2为待定的参数．

(2)两边取对数把指数关系变为线性关系，令z＝ln y，则变换后的样本点应分布在直线z＝bx＋a(a＝ln c1，b＝c2)的周围，这样就可以利用线性回归模型建立y与x之间的非线性回归方程，数据可以转化为：

x z 21

1.946

23

2.398

25

3.045

27

3.178

29

4.190

32

4.745

35

5.784

^求得回归直线方程为z＝0.272x－3.849，

^－所以y＝e0.272x3.849.

残差：

yi

^yi

^ei

7

6.443

0.557

11

11.101

－0.101

21

19.125

1.875

－3.84924

32.950

－8.950

66

56.770

9.230

115

128.381

－13.381

325

290.325 34.675 (3)当x＝40时，y＝e0.272x≈1 131.

求非线性回归方程的步骤

(1)确定变量，作出散点图．

(2)根据散点图，选择恰当的拟合函数．

(3)变量置换，通过变量置换把非线性回归问题转化为线性回归问题，并求出线性回归方程．

(4)根据相应的变换，写出非线性回归方程．

(5)分析拟合效果：通过计算相关指数或画残差图来判断拟合效果．

在一次抽样调查中测得样本的5个样本点，数值如下表：

x y (1)作出散点图；

(2)根据散点图分布情况确定回归模型函数；

(3)根据(2)试求出y与x之间的回归方程．

解：(1)由数值表可作散点图如图．

0.25

16

0.5

12

1

5

2

2

4

1

(2)根据散点图知样本点分布在一条反比例函数曲线的周围，所以可以确定回归模型函k数为y＝.

xk1(3)由y＝，令t＝得y＝kt，

xx则得变换后的数据表如下：

t y 4

16

2

12

1

5

0.5

2

0.25

1

由置换后的数值表作散点图如下：

－－所以t＝1.55，y＝7.2.

^i＝1所以b＝5≈4.134 4，

－22∑ti－5ti＝1－－∑tiyi－5ty5^－^－a＝y－bt≈0.8.

^所以y＝4.134 4t＋0.8.

^4.134 4所以y与x之间的回归方程是y＝＋0.8. x

1．随机误差e产生的主要原因

(1)所用的确定性函数不恰当引起的误差．

(2)忽略了某些因素的影响．影响变量y的因素不只是变量x，可能还包括其他因素(例如，在描述身高和体重的模型中，体重不仅受身高的影响，还会受遗传基因、饮食习惯、生长环境等其他因素的影响)．

(3)存在观测误差．由于测量工具等原因，导致y的观测值产生误差．

2．残差图中的可疑数据的特征表现

(1)个别样本点的残差过大，即大多数的残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，而个别残差点偏离该区域过于明显，需要确认在采集这些样本点的过程中是否有人为的错误，如果采集数据有错误，那么需要纠正，然后重新利用线性回归模型拟合数据；如果数据采集没有错误，那么需要寻找其他原因．

(2)残差图有异常，即残差呈现不随机的规律性，此时需要考虑所采用的线性回归模型是否合适．

1．下表是x和y之间的一组数据，则y关于x的回归直线必过(

) x y A．点(2，3)

C．点(2.5，4)

1

1

2

3

3

5

4

7 B．点(1.5，4) D．点(2.5，5) －－解析：选C．回归直线必过样本点的中心(x，y)，即(2.5，4)．

2．从某高中随机选取5名高三男生，其身高和体重的数据如下表所示：

身高x/cm

体重y/kg

160

63

165

66

170

70

175

72

180

74 ^^根据上表可得回归直线方程y＝0.56x＋a，据此模型预报身高为172 cm的高三男生的体

重为(

) A．70.09 kg

C．70.55 kg

B．70.12 kg D．71.05 kg －160＋165＋170＋175＋180解析：选B．x＝＝170，

5－63＋66＋70＋72＋74y＝＝69.

5－－因为回归直线过点(x，y)，

－－^^所以将点(170，69)代入y＝0.56x＋a中得a＝－26.2.

^所以回归直线方程为y＝0.56x－26.2.

^将x＝172代入，得y＝70.12.

3．如图是x和y的一组样本数据的散点图，去掉一组数据________后，剩下的4组数据的相关指数最大．

解析：经计算，去掉D(3，10)这一组数据后，其他4组数据对应的点都集中在某一条直线附近，即两变量的线性相关性最强，此时相关指数最大．

答案：D(3，10) 4．在研究身高和体重的关系时，求得相关指数R2≈________，可以叙述为“身高解释了64%的体重变化，而随机误差贡献了剩余的36%”，所以身高对体重的效应比随机误差的效应大得多．

解析：结合相关指数的计算公式可知，

当R2≈0.64时，身高解释了64%的体重变化．

答案：0.64

[A

基础达标] 1．有关线性回归的说法，不正确的是(

) A．具有相关关系的两个变量是非确定性关系

B．散点图能直观地反映数据的相关程度

C．回归直线最能代表线性相关的两个变量之间的关系

D．散点图中的点越集中，两个变量的相关性越强

答案：D 2．在画两个变量的散点图时，下列叙述正确的是(

) A．预报变量在x轴上，解释变量在y轴上

B．解释变量在x轴上，预报变量在y轴上

C．可以选择两个变量中任意一个变量在x轴上

D．可以选择两个变量中任意一个变量在y轴上

解析：选B．结合线性回归模型y＝bx＋a＋e可知，解释变量在x轴上，预报变量在y轴上．

3．四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的相关关系，求得回归直线方程，并分别得到以下四个结论：

^①y与x负相关且y＝2.347x－6.423；

^②y与x负相关且y＝－3.476x＋5.648；

^③y与x正相关且y＝5.437x＋8.493；

^④y与x正相关且y＝－4.326x－4.578. 其中一定不正确的结论的序号是(

) A．①②

C．③④

B．②③

D．①④

解析：选D．x的系数符号决定变量x，y之间的正、负相关关系，x的系数大于0为正相关，小于0为负相关，易知①④不正确．

4．根据如下样本数据

x y 3

4.0

4

2.5

5

－0.5

6

0.5

7

－2.0

8

－3.0 ^^^得到的回归方程为y＝bx＋a，则(

) ^^A．a＞0，b＞0

^^C．a＜0，b＞0

解析：选B．作出散点图如图所示．

^^B．a＞0，b＜0 ^^D．a＜0，b＜0

^^^^^^^^观察图象可知，回归直线y＝bx＋a的斜率b＜0，x＝0时，y＝a＞0.故a＞0，b＜0. 5．经统计，用于数学学习的时间(单位：小时)与成绩(单位：分)近似于线性相关关系，对每小组学生每周用于数学的学习时间x与数学成绩y进行数据收集如下：

x y 15

102

16

98

18

115

19

115

22

120 ^^^^^由表中样本数据求得回归方程为y＝bx＋a，则点(a，b)与直线x＋18y＝100的位置关系是(

) A．点在直线左侧

C．点在直线上

B．点在直线右侧

D．无法确定

－1－1解析：选B．由题意，x＝(15＋16＋18＋19＋22)＝18，y＝(102＋98＋115＋115＋55120)＝110，

i＝15－－－2∑xiyi＝9 993，5xy＝9 900，∑x2i＝1 650，5x＝1 620，

i＝15^9 993－9 900所以b＝＝3.1.

1 650－1 620^所以a＝110－3.1×18＝54.2.

因为54.2＋18×3.1＞100，

^^所以点(a，b)在直线右侧．

^6．已知某人加工零件的个数x与花费时间y(h)之间的线性回归方程为y＝0.01x＋0.5，则加工600个零件大约需要________h. 解析：由题意知，加工600个零件大约需要时间y＝0.01×600＋0.5＝6.5(h)．

答案：6.5 7．已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为(4，5)，则回归直线方程是________．

^解析：斜率的估计值为1.23，且回归直线一定经过样本点的中心(4，5)，可得y－5＝1.23(x^－4)，即y＝1.23x＋0.08.

^答案：y＝1.23x＋0.08 8．若对于变量y与x的10组统计数据的回归模型，R2＝0.95，又知残差平方和为120.53，－那么

(yi－y)2的值为________．

i＝110

120.53i＝1解析：由R2＝1－10得1－10＝0.95，

－2－2∑

(yi－y)∑

(yi－y)i＝1i＝1^∑

(yi－yi)210－得

(yi－y)2＝2 410.6.

i＝110答案：2 410.6

9.从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi(单位：千元)与月储蓄yi(单位：千元)的数据资料，算得

xi＝80，

yi＝20，

xiyi＝184，

xi2＝720. i＝1i＝1i＝1i＝110101010^^^(1)求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程y＝bx＋a；

(2)判断变量x与y之间是正相关还是负相关；

(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．

80－1n解：(1)由题意知n＝10，x＝xi＝＝8，

ni＝110n20－1ny＝yi＝＝2，x

ni＝110i＝1－22又x2i－nx＝720－10×8＝80，

i＝1ni＝1－－xiyi－nxy＝184－10×8×2＝24，

－∑xiyi－n－xyi＝1ni＝1nn^b＝24＝＝0.3，

80－2∑x2i－nx^－^－a＝y－bx＝2－0.3×8＝－0.4，

^故所求线性回归方程为y＝0.3x－0.4.

^(2)由于变量y的值随x值的增加而增加(b＝0.3＞0)，

故x与y之间是正相关．

^(3)将x＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)．

10．已知某商品的价格x(元)与需求量y(件)之间的关系有如下一组数据：

x y (1)画出y关于x的散点图；

14

12

16

10

18

7

20

5

22

3

(2)求出回归直线方程；

5－－(3)计算R2的值，并说明回归模型拟合程度的好坏．(参考数据：x＝18，y＝7.4，x2ii＝152＝1 660，

yi＝327，

i＝1i＝155^2－xiyi＝620，

(yi－yi)＝0.3，

(yi－y)2＝53.2.)

i＝1i＝15解：(1)散点图如图所示：

555－－22(2)因为x＝18，y＝7.4，xi＝1 660，

yi＝327，

xiyi＝620，

i＝1i＝1i＝1^所以b＝－∑xiyi－5－xyi＝1－2∑x2i－5xi＝155＝－1.15，

^－^－a＝y－bx＝28.1. ^即所求回归直线方程为：y＝－1.15x＋28.1. 5^2－(3)因为

(yi－yi)＝0.3，

(yi－y)2＝53.2 i＝1i＝15所以R2＝1－i＝1－∑

(yi－y)2i＝15^∑

(yi－yi)2≈0.994，

5故回归模型的拟合效果较好．

[B

能力提升] 11．下列数据符合的函数模型为(

) x y 1

2

2

2.69

3

3

4

3.38

5

3.6

6

3.8

B．y＝2ex

D．y＝2＋ln x

7

4

8

4.08

9

4.2

10

4.3 1A．y＝2＋x

3C．y＝2e

1x解析：选D．分别将x值代入解析式判断知满足y＝2＋ln x.

12．关于x与y有如下数据：

x y 2

30

4

40

5

60

6

50

8

70 ^为了对x，y两个变量进行统计分析，现有以下两种线性模型：甲：y＝6.5x＋17.5，乙：^y＝7x＋17，则________(填“甲”或“乙”)模型拟合的效果更好．

2解析：设甲模型的相关指数为R21，则R1＝1－i＝1155＝1－＝0.845；设乙模1 000－2∑

(yi－y)i＝15^∑

(yi－yi)25型的相关指数为R22，

180则R2＝1－＝0.82.

21 0002因为0.845＞0.82，即R21＞R2，所以甲模型拟合效果更好．

答案：甲

13．假定小麦基本苗数x与成熟期有效穗数y之间存在相关关系，今测得5组数据如下：

x y 15.0

39.4

25.8

42.9

30.0

42.9

36.6

43.1

44.4

49.2 (1)以x为解释变量，y为预报变量，作出散点图；

(2)求y与x之间的回归方程，对于基本苗数56.7预报有效穗数；

(3)计算各组残差，并计算残差平方和；

(4)求相关指数R2，并说明残差变量对有效穗数的影响占百分之几．

解：(1)散点图如下．

(2)由图看出，样本点呈条状分布，有比较好的线性相关关系，因此可以用线性回归方程刻画它们之间的关系．

^^^－－设回归方程为y＝bx＋a，x＝30.36，y＝43.5，

－－－－22x2i＝5 101.56，xy＝1 320.66，y＝1 892.25，x＝921.729 6，

5i＝1i＝1xiyi＝6 746.76.

5

^由b＝－∑xiyi－5－xyi＝1－2∑x2i－5xi＝155≈0.29，

^－^－a＝y－bx＝≈34.70. ^故所求的回归直线方程为y＝34.70＋0.29x.

^当x＝56.7时，y＝34.70＋0.29×56.7＝51.143.

因此估计成熟期的有效穗数为51.143. ^(3)由ei＝yi－yi，,可分别求得e1＝0.35，e2＝0.718，e3＝－0.50，e4＝－2.214，e5＝1.624，

－残差平方和：

(yi－yi)2＝8.427 196. i＝15－(4)可得：

(yi－y)2＝50.18，

i＝158.427 196所以R2＝1－≈0.832.

50.18所以解释变量(小麦基本苗数)对预报变量(成熟期有效穗数)约贡献了83.2%，

残差变量贡献了约1－83.2%＝16.8%.

14．(选做题)为了研究某种细菌随时间x变化时，繁殖个数y的变化，收集数据如下：

天数x/天

繁殖数y/个

1

6

2

12

3

25

4

49

5

95

6

190 (1)用天数x作解释变量，繁殖个数y作预报变量，作出这些数据的散点图；

(2)描述解释变量x与预报变量y之间的关系；

(3)计算R2. 解：(1)所作散点图如图所示．

(2)由散点图看出样本点分布在一条指数函数y＝c1ec2x的周围，于是令z＝ln y，则

x z 1

1.79

2

2.48

3

3.22

4

3.89

5

4.55

6

5.25

^^＋由计算器得：z＝0.69x＋1.115，则有y＝e0.69x1.115.

(3)

^y

y n6.08

6

12.12

12

24.17

25

48.18

49

96.06

95

191.52

190

i＝1n^2n^

ei＝∑

(yi－yi)2＝4.816 1，

i＝1i＝1^∑

(yi－y)2＝24 642.8，

4.816 1R2＝1－≈0.999 8，

24 642.8即解释变量天数对预报变量繁殖个数解释了99.98%.