2.基本不等式教学目标

1.2.1基本不等式（第一课时）

授课人:王红

授课类型：新授课

一、知识与技能：

使学生了解基本不等式的代数、几何背景，学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；学会应用基本不等式解决简单的数学问题。

过程与方法：

通过探索基本不等式的过程，让学生体会研究数学问题的基本思想方法，学会学习，学会探究。

情感态度与价值观：

在探索过程中，鼓励学生大胆尝试，大胆猜想，并能对猜想进行证明，增强学生的信心，获得探索问题的成功情感体验。逐步养成学生严谨的科学态度及良好的思维习惯。同时通过本节内容的学习，让学生体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣。

二、重点及难点

重点：应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式ab证明过程。

难点：基本不等式abab等号成立条件。

2ab的2三、教学过程

1.课题导入

abab2的几何背景：

基本不等式如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？

教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。

2.讲授新课

1．探究图形中的不等关系

1

将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD中右个全等的直角三角形。22设直角三角形的两条直角边长为a,b那么正方形的边长为ab。这样，4个22直角三角形的面积的和是2ab，正方形的面积为ab。由于4个直角三角形的22面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：ab2ab。

当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时22有ab2ab。

22ab时取""号)

2．得到结论：一般的，如果a,bR,那么ab2ab(当且仅当3．思考证明：你能给出它的证明吗？

222ab2ab(ab)证明：因为

22ab时,(ab)0,当ab时,(ab)0,

当222(ab)0(ab)2ab.

所以，，即4．1）从几何图形的面积关系认识基本不等式abab2

特别的，如果a>0,b>0,我们用分别代替a、b ，可得ab2ab，

abab(a>0,b>0)2

abab2

通常我们把上式写作： 2）从不等式的性质推导基本不等式用分析法证明：

ab 3）理解基本不等式ab2的几何意义

探究：课本第98页的“探究”

在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=a,BC=b。过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD。你能利用这个图形得出基本abab2的几何解释吗？

不等式

2

易证Ｒt△AＣD∽Ｒt△DＣB，那么ＣD2＝ＣA·ＣB 即ＣD＝ab. ababab22这个圆的半径为，显然，它大于或等于CD，即，其中当且仅当点C与圆心重合，即a＝b时，等号成立. abab2几何意义是“半径不小于半弦”

因此：基本不等式ab.在数学中，我们称2为a、b的算术平均数，称ab为a、b的几何平均数.本节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 四、应用举例，巩固提高

例1 求证：

（1）在所有周长相同的矩形中，正方形的面积最大；

（2）在所有面积相同的矩形中，正方形的周长最短。

（通过例1的讲解，总结归纳利用基本不等式求最值问题的特征,实现积与和的转化）

对于x,yR，

（1）若xyp（定值），则当且仅当x=y时，xy有最小值2p；

s2（2）若xys（定值），则当且仅当x=y时，xy有最大值．

4（鼓励学生自己探索推导，不但可使他们加深基本不等式的理解，还锻炼了他们的思维，培养了勇于探索的精神．）

3

例2: 某居民小区要建一个八边形的休闲场所,它的主体造型平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200平方米的十字型地域.计划在正方形MNPQ上建一座花坛,造价为每平方米4200元,在四个相同的矩形上(图中阴影部分)铺花岗岩地坪,造价每平方米210元,再在四个空角(图中四个三角形)上铺草坪,每平方米造价80元. (1)

设总造价为S元,AD长 x 为米,试建立S关于x的函数关系式; (2)

当为何值时S最小,并求出这个最小值.

通过例2引导学生领会运用基本不等式abab的三个限制条件（一正二定三相等）2在解决最值问题中的作用，提升解决问题的能力，体会方法与策略．

五、归纳小结，反思提高

重要不等式：若a,bR，则a2b22ab（当且仅当ab时，等号成立）

基本不等式：若a,bR，则abab（当且仅当ab时，等号成立）

2（1）基本不等式的几何解释（数形结合思想）；

（2）运用基本不等式解决简单最值问题的基本方法．

（3）基本不等式的各种变形使用。

六．布置作业，课后延拓

（1）基本作业：课本P10习题1.1 第5、10、13、14题 （2）拓展作业：请同学们课外到阅览室或网上查找基本不等式的其他几何解释，整理并相互交流．

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