2.基本不等式教学内容概述

3.4 基本不等式：

第1课时

基本不等式

学习目标

1.探索基本不等式的证明过程，并了解基本不等式的代数、几何背景.(重点）

2.基本不等式的简单应用. 新课导入

国际数学家大会是由国际数学联盟（IMU）主办，首届大会于1897年在瑞士苏黎士举行，1900年巴黎大会之后每四年举行一次，它已经成为最高水平的全球性数学科学学术会议.

有哪位同学知道哪一届国际数学家大会在北京举行，它的会标是什么？

第24届国际数学家大会，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民

热情好客．

课堂探究

探究点1

探究基本不等式

1.你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？

D

G

H

A

F

E

B

C

设AE=a,BE=b,则正方形ABCD的面积是________，

这4个直角三角形的面积之和是_________，

1

S正方形ABCD22224S直角三角形，即ab2ab.

2.ab2ab成立吗？

当且仅当a=b时，等号成立，

即a2b22ab成立.

【提升总结】

22ab2ab,

一般地，对于任意实数a，b，我们有当且仅当a=b时，等号成立. 3.你能给出它的证明吗？

证明：因为a2+b2-2ab=(a-b)20,所以a2+b22ab.特别地，如果

a>0,b>0,我们用a,b分别代替a,b,可得ab2ab.

通常我们把上式写作abab(a0,b0).2

4.你能用不等式的性质直接推导吗？

证明：要证

abab

2ab2ab

只要证

2 ①

要证①，只要证a2abb0

要证②，只要证②

③

(ab)0

2显然, ③是成立的.当且仅当a=b时, ③中的等号成立.

【提升总结】

基本不等式：

abab (a0,b0).

2注意：（1）a,b均为正数；

（2）当且仅当a=b时取等号.

D

C

A

如图,AB是圆的直径，C是AB上任一点，AC=a,CB=b,过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD,BD,则CD= B

半径为＿＿. E

因为ACD∽DCB,所以CD2ACCB,即CDab.CD小于或等于圆的半径.

3

用不等式表示为

abab.

2上述不等式当且仅当点C与圆心重合，即当a=b时，等号成立. 几何意义：半径不小于半弦. ab2叫做正数a，b的算术平均数，

ab

叫做正数a，b的几何平均数. 可以叙述为: 两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数. 探究点2

基本不等式在求最值中的应用

例1

当

x0

时，x1

的最小值为

2 ，此时x1

x111解：x0,x2x2,当且仅当x,即x=1时，等号成立.xxx例2

(1)用篱笆围一个面积为100 m分析：设矩形菜园的长为x m，宽为y m，

周长确定，则2（x+y）=36，篱笆的面积为xy m2.即求xy的最大值. 的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短.最短的篱笆是多少？

分析：设矩形菜园的长为x m，宽为y m，

面积确定，则xy=100，篱笆的长为2（x+y）m.即求（x+y）的最小值. 解：设矩形菜园的长为x m，宽为y m，

则xy=100，篱笆的长为2（x+y）m.

4

因为xyxy，2

2(xy)所以xy2100.

4

0.等号当且仅当x=y时成立，此时x=y=10.

因此，这个矩形的长、宽都为10 m时，所用篱笆最短，最短篱笆是40 m.

【提升总结】

当xy的值是常数

p

时，当且仅当x=y时，x+y有最小值2结论1

两个正数积为定值，则和有最小值. 例2

(2)一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大.最大面积是多少？

分析：设矩形菜园的长为x m，宽为y m，

周长确定，则2（x+y）=36，篱笆的面积为xy m2.即求xy的最大值. 解：设矩形菜园的长为x m，宽为y m，

则

2(x + y)= 36, x+ y=18，

矩形菜园的面积为xy m2

P.

xy18因为xy9，得xy81.22

当且仅当x=y,即x=y=9时，等号成立. 因此，这个矩形的长、宽都为9 m时，菜园的面积最大，最大面积是81 m2 . 【提升总结】

当x+y的值是常数S时，当且仅当x=y时，xy有最大值结论2

两个正数和为定值，则积有最大值.

5 1S2.4

最值定理

结论1

两个正数积为定值，则和有最小值. 结论2

两个正数和为定值，则积有最大值. 注意：①各项皆为正数；

②和为定值或积为定值；

③注意等号成立的条件. 一“正”，

二“定”，

三“等”.

例3

某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池,其容积为4 800 m3,深为3 m.如果池底每平方米的造价为150元, 池壁每平方米的造价为120元,怎样设计水池能使总造价最低?最低总造价是多少? 分析：水池呈长方体形，高为3 m,底面的长与宽没有确定. 如果底面的长与宽确定了，水池总造价也就确定了.因此应当考察底面的长与宽取什么值时水池总造价最低. 解：设底面的长为x m，宽为y m,水池总造价为z元，根据题意，有

4800z150120(23x23y)3=240 000+720(xy).由容积为4 800 m3 ，可得3xy=4 800,因此xy=1 600.由基本不等式与不等式的性质，可得

240 000+720(x+y)240 000+720×2xy,即z240 000+720×21 600,z297 600.

当xy,即xy40时,等号成立.

6

所以，将水池的底面设计成边长为40 m的正方形时总造价最低，最低总造价是297 600元. 课堂训练

1.在下列函数中，最小值为2的是（

）

A.

x5y(xR,x0)

5xxx1(1x10)

B.ylgxlgx1(0x)

sinx2

C.

y33(xR)

D.ysinx4+

2.函数y=xx3.已知

x的值域为>0______.

x0,y0,

且

2x5y20,

则xy的最大

课堂小结

值为_____.

1.两个重要的不等式

22a,bR,那么ab2ab(当且仅当ab时取“”号)；（1）

（2）基本不等式abab(a0,b0)(当且仅当ab时取“”号).2

2.不等式的简单应用：主要是求最值，

把握

“六字方针”，即

“一正，二定，三等”.

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