2.基本不等式设计意图

基本不等式

一、教学分析设计

【教材分析】

人教版普通高中课程标准试验教科书分不同的章节处理不等式问题。在必修5的第三章中，首先介绍了不等关系与不等式；然后是一元二次不等式及其解法，二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题；最后在第四节介绍基本不等式。在选修教材《不等式选讲》中对不等式与绝对值不等式、证明不等式的基本方法、柯西不等式与排序不等式、数学归纳法证明不等式作了更详细的介绍。并在书中还安排章节复习了基本不等式，并将其推广到三元的形式。基本不等式从数学上凸显了沟通基础数学知识间的内在联系的可行性。

基本不等式的课程标准内容为：探索并了解基本不等式的证明过程；会用基本不等式解决简单的最值问题。教学要求为：了解基本不等式的代数背景、几何背景以及它的证明过程；理解算数平均数、几何平均数的概念；会用基本不等式解决简单的最值问题；通过基本不等式的实际应用，感受数学的应用价值（说明：突出用基本不等式解决问题的基本方法，不必推广到三个变量以上的情形）。《考试说明》中内容为：会用基本不等式解决简单的最值问题。通过对比分析，他们的共同都有“会用基本不等式解决简单的最值问题”。基本不等式与函数（包括三角函数）、数列、解析几何等内容均有丰富的联系，在《考试说明》中属于C及内容（含义：对该知识有实质性的认识并能与已有知识建立联系，掌握内容与形式的变化；有关技能已经形成，能用它来解决简单的有关问题）。

【学生分析】

高三学生具备了一定的运用基本不等式进行解题的经验，基本认识了运用基本不等式的使用前提：“一正二定三相等”，但是面对高考要求（在《考试说明》中属于C及内容，其要求是，对基本不等式要有实质性的认识并能与已有知识建立联系，掌握内容与形式的变化；有关技能已经形成，能用它来解决简单的有关问题）还是有些无奈，在具体的题目中“正数”条件往往容易从题设中获得，“相等”条件就不那么容易验证确定了，特别是同时或者是连续几次使用基本不等式时候容易忽略每次“=”的条件要一致，而“定值”条件涉及各种数学式子的“和”、“积”，既是式子的表现形式又是运算形式，灵活多变，不拘一格。学生在运用基本不等式解决最值问题时对条件的变形不够灵活，往往不能顺利地“配凑”出定值。

【目标分析】

结果性目标：掌握基本不等式及其重要变形，形成“配凑”出“定值”的变化能力，会用基本不等式解决简单的最值问题。

体验性目标：在理解基本不等式和运用基本不等式解决最值问题的活动中，体验数与形的关联，以及用基本不等式求最值问题与不等式成立条件间的关联。

【核心问题分析】

这节课的主要设计意图是“让学生体验数与形的关联，以及在运用基本不等式解决最值问题的活动中，体验最值问题与不等式成立条件之间的关联”。

用基本不等式求最值是高中数学非常重要的内容，也是高考的热点，在历年各地的高考试题中频频出现直接或中间过程运用基本不等式的题目，可谓常考不衰，常考常新。在具体的题目中，“正数”条件往往容易在题设中获得，“相等”条件也容易验证确定，而“定值”条件往往以某种形式隐藏在所给的数学式子中（通常是命题者设计的一个难点），本节课希望回顾基本不等式及其几何解释，体验数与形的关联，并通过活动使学生体验最值问题与不等式条件之间个关联，从而能通过“配凑”获取“定值”。

【教学媒体】

黑板、投影仪

二、教学实施设计

【教学环节】

环节

教学过程

引入：图1是第24届国际数学家大会的会标，请找出图1、图2中的相等关系和不等关系，并抽象出数学模型，然后再用图1、图2解释这个模型。

明确基本不创设情境，等式的几何提出问题

核心问题：

运用基本不等式解决下列最值问题，并归纳其方法。

（1）已知x1，求函数f(x)图1 图2

引导学生理解释，理解解基本不等基本不等式式，提出本本质；明确节课的核心学习任务，问题。

为积极研究做准备。

通过数形结合赋予基本不等式几何直观，渗透数学背景和数学文化。明确本节课的学习任务。

教师活动

学生活动

设计意图

xx2的最大值；

x12

（2）求函数yx23x22的最小值；

（3）设a0,b0，若2a2b22，求a1b2的最大值；

（4）已知a0,b0,且9abab，求ab的最小值。

学生通过独立思考和小组交流讨论，

先自主探究后小组讨论解决问题。

学生活动预设：

巡视、引学生运用分享彼此见解，有助于问题对于（1）小题，学生容易忽略“正数”；对于（2）小导、帮助学“配凑”的的解决，解题，可能有学生不考虑“等号”的取得条件；对于（3）小生对问题的办法尝试解知识的形决题，有学生可能配凑不出定值；

对于（4）小题，学生对于解读与解决决问题，并成，并把问“定值”的取得，有不同的思路，会形成问题与不等式条件并收集学生小组讨论交握考点，题

间的不同体验。

解决问题的流，然后进抓住关方案和探究行展示分结果。

享。

键，跳过陷阱。对困难学生给予指导，体现教师课堂的引领作用。

1、

基本不等式：

反教师引导学体验感受解让学生通①

教师评价预设：

根据学生解决问题情况实时进行引导和评价，促进学生认知提升。

a2b22ab(a,bR);abab(a,bR)2生认识基本决问题过程过解决问不等式的本中的成功与题的体质、掌握运不足，在利验，领悟用基本不等用基本不等数学的思式解决最值式解决最值想方法，问题思路、问题的活动感受数学思（a,bR）（①半径不小于半弦②斜边不小于直角边③提斜线段不小于垂线段）

升

ab2a2b22、重要不等式串：ab()(a,bR)

223、思想方法：通过换元、消元、拆项、凑系数等“配凑”思想方法。中，体验数的严谨，

方式化成atb的形式求最小值。

t完善学生严与形的关构。

从而完善谨的认知结联，以及用自己已有基本不等式的知识结求最值问题构，实现与不等式成专题复习立条件间的的意义。

关联。并进一步完善自己的知识结构。

通过学生自主探究，得到结论，并运用到实4、关键：配凑出定值，“和”与“积”

缩放转化。

教师评价预设：

对观察图1、图2，学生可能不能提炼出数学知识，通过引导评价学生的思考，抽象出数学概念和几何解释；对于核心问题的解决，学生可能不能概括促出数学思想方法和关键，通过评价，引导学生去体验运用基本不等式解决最值问题和不等式条件间的关联。

1、

已知a0,b0且ab1，求(a)(b)的最小值；

2应2、（四川高考题改编）已知ab0,，求a1a1b践之中，让学生体验“成用反16出示相关题功”的喜的运用归纳提b(ab)型练习，让悦，感受学生解决，并作出点评。

升的成果，完成课堂练习

数学学习的价值。同时通过学生最后解答结果的展示，了解其掌握程度，以及时纠正和补充。

最小值。

教师评价预设：

利用学生将知识在新的情境中运用的活动，促进学生进一步对核心问题认识的加深与巩固。

馈

【评价预设】

（巡视、指导）主要以学生评价为主（鼓励式评价，启发式评价）

预案1：在做（1）小题时，有学生未注意“正数”条件；

预案2：在做（2）小题时，有学生忽略“等号”成立的条件；

预案3：在做（3）小题时，有学生无法通过配凑系数构造定值；

预案4：有学生在做（4）小题时, 有学生利用“1”、有拼凑出定值、有换元、有消元等思路；也可能有学生无法通过“配凑”，构造出“定值”；也即是没有下手的方向。

【板书设计】

§ 运用基本不等式求最值

一、核心问题：

运用基本不等式解决下列最值问题，并归纳其方法。

二、解决问题:

三、反思提升: 基本不等式：

重要不等式串：

思想方法：

关键：

四、应用反馈:

【教学流程】

巡视，引导

知识方面

巡视、引导、评价

归纳提升

思想方法和关键点

作出恰当点评

互动交流展示解决结果

学生活动：解决核心问题

回归教材引入并提出核心问开

始

(辅助性板书) 运用反馈

学生交流展示

作业布置

结束