二 一般形式的柯西不等式教学设计及课堂实录

第一课时

3.1

二维形式的柯西不等式（一）

教学要求：认识二维柯西不等式的几种形式，理解它们的几何意义，

并会证明二维柯西不等式及向量形式.

教学重点：会证明二维柯西不等式及三角不等式. 教学难点：理解几何意义. 教学过程：

一、复习准备：

1. 提问：

二元均值不等式有哪几种形式？

答案：abab(a0,b0)及几种变式. 22. 练习：已知a、b、c、d为实数，求证(a2b2)(c2d2)(acbd)2

证法：（比较法）(a2b2)(c2d2)(acbd)2=….=(adbc)20

二、讲授新课：

1. 教学柯西不等式：

①

提出定理1：若a、b、c、d为实数，则(a2b2)(c2d2)(acbd)2.

→

即二维形式的柯西不等式

→

什么时候取等号？

②

讨论：二维形式的柯西不等式的其它证明方法？

证法二：（综合法）(a2b2)(c2d2)a2c2a2d2b2c2b2d2

(acbd)2(adbc)2(acbd)2.

（要点：展开→配方）

证法三：（向量法）设向量（a,b）,(c,d)，与之间的夹角为，0。

根据向量内积的定义，我们有：所以所以a2b2

cos，因为cos1，所以，

cos，c2d2|ac||bd|

证法四：（函数法）设f(x)(a2b2)x22(acbd)xc2d2，则

f(x)(axc)2(bxd)2≥0恒成立. ∴

[2(acbd)]24(a2b2)(c2d2)≤0，即(a2b2)(c2d2)(acbd)2

③

讨论：二维形式的柯西不等式的一些变式？

变式：a2b2

或a2b2c2d2|acbd|

或

a2b2c2d2|ac||bd|

c2d2acbd. ④

提出定理2：设,是两个向量，则||||||.

即柯西不等式的向量形式（由向量法提出

）

→

讨论：什么时候等号成立？（是零向量，或者,共线）

⑤

练习：已知a、b、c、d为实数，求证a2b2c2d2(ac)2(bd)2.

证法：（分析法）平方

→

应用柯西不等式

→

讨论：其几何意义？（构造三角形）

2. 教学三角不等式：

①

出示定理3：设x1,y1,x2,y2R，则x12y12x22y22(x1x2)2(y1y2)2. 分析其几何意义

→

如何利用柯西不等式证明

→

变式：若x1,y1,x2,y2,x3,y3R，则结合以上几何意义，可得到怎样的三角不等式？

3. 小结：二维柯西不等式的代数形式、向量形式；三角不等式的两种形式（两点、三点）

三、巩固练习：

1. 练习：试写出三维形式的柯西不等式和三角不等式

第二课时

3.1

二维形式的柯西不等式（二）

教学要求：会利用二维柯西不等式及三角不等式解决问题，体会运用经典不等式的一般方法——发现具体问题与经典不等式之间的关系，经过适当变形，依据经典不等式得到不等关系. 教学重点：利用二维柯西不等式解决问题. 教学难点：如何变形，套用已知不等式的形式. 教学过程：

一、复习准备：

1. 提问：二维形式的柯西不等式、三角不等式？

几何意义？

答案：(a2b2)(c2d2)(acbd)2；x12y12x22y22(x1x2)2(y1y2)2

2. 讨论：如何将二维形式的柯西不等式、三角不等式，拓广到三维、四维？

3. 如何利用二维柯西不等式求函数yx12x的最大值?

要点：利用变式|acbd|a2b2c2d2.

二、讲授新课：

1. 教学最大（小）值：

①

出示例1：求函数y3x1102x的最大值？

分析：如何变形？

→

构造柯西不等式的形式

→

板演

→

变式：y3x1102x

→

推广：yabxcdefx,(a,b,c,d,e,fR)

②

练习：已知3x2y1，求x2y2的最小值.

解答要点：（凑配法）x2y21211(xy2)(3222)(3x2y)2. 131313

讨论：其它方法

（数形结合法）

2. 教学不等式的证明：

①

出示例2：若x,yR，xy2，求证：112. xy分析：如何变形后利用柯西不等式？

（注意对比

→

构造）

要点：111111112(xy)()[(x)2(y)2][()2()]…

xy2xy2xy

讨论：其它证法（利用基本不等式）

②

练习：已知a、bR，求证：(ab)()4. 3. 练习：

①

已知x,y,a,bR，且1a1bab1，则xy的最小值. xyab

要点：xy()(xy)….

→

其它证法

xy②

若x,y,zR，且xyz1，求x2y2z2的最小值.

（要点：利用三维柯西不等式）

变式：若x,y,zR，且xyz1，求xyz的最大值. 4. 小结：比较柯西不等式的形式，将目标式进行变形，注意凑配、构造等技巧.

第三课时

3.2

一般形式的柯西不等式

教学要求：认识一般形式的柯西不等式，会用函数思想方法证明一般形式的柯西不等式，并应用其解决一些不等式的问题. 教学重点：会证明一般形式的柯西不等式，并能应用. 教学难点：理解证明中的函数思想. 教学过程：

一、复习准备：

1. 练习：

2. 提问：二维形式的柯西不等式？如何将二维形式的柯西不等式拓广到三维？

答案：(a2b2)(c2d2)(acbd)2；(a2b2c2)(d2e2f2)(adbecf)2

二、讲授新课：

1. 教学一般形式的柯西不等式：

①

提问：由平面向量的柯西不等式||||||，如果得到空间向量的柯西不等式及代数形式？

②

猜想：n维向量的坐标？n维向量的柯西不等式及代数形式？

结论：设a1,a2,,an,b1,b2,,bnR，则

(a12a22an2)(b12b22bn2)(a1b1a2b2anbn)2

an时取等号，假设bi0）

bn

讨论：什么时候取等号？（当且仅当a1a2b1b2联想：设Ba1b1a2b2anbn，Aa12a22可联想到一些什么？

Cb12b22an2，bn2，则有B2AC0，③

讨论：如何构造二次函数证明n维形式的柯西不等式？

（注意分类）

2222要点：令（fx）（a12a2an)x22(a1b1a2b2anbn)x(b12b2bn)

，则

f(x)(a1xb1)2(a2xb2)2+（anxbn)20. 又a12a22an20，从而结合二次函数的图像可知，

2(a1b1a2b2anbn)4(a12a222an2)(b12b22bn2)≤0 即有要证明的结论成立.

（注意：分析什么时候等号成立.）

④

变式：a12a221an2(a1a2an)2.

（讨论如何证明）

n

2. 教学柯西不等式的应用：

①

出示例1：已知3x2yz1，求x2y2z2的最小值.

分析：如何变形后构造柯西不等式？

→

板演

→

变式：

②

练习：若x,y,zR，且111yz1，求x的最小值. xyz23③

出示例2：若a>b>c，求证：

要点：(ac)(114. abbcac1111)[(ab)(bc)]()(11)24

abbcabbc3. 小结：柯西不等式的一般形式及应用；等号成立的条件；根据结构特点构造证明.

第四课时

3.3 排序不等式

教学要求：了解排序不等式的基本形式，会运用排序不等式分析解决一些简单问题，体会运用经典不等式的一般方法. 教学重点：应用排序不等式证明不等式. 教学难点：排序不等式的证明思路. 教学过程：

一、复习准备：

1. 提问：

前面所学习的一些经典不等式？

（柯西不等式、三角不等式）

2. 举例：说说两类经典不等式的应用实例. 二、讲授新课：

1. 教学排序不等式：

（1）引入：若某网吧的3台电脑同时出现了故障，对其维修分别需要45min，25 min和30 min，每台电脑耽误1 min，网吧就会损失0.05元。在只能逐台维修的条件下，按怎么样的顺序维修，才能使经济损失降到最小？

①基本概念：

一般地，设有两组数：a1≤a2≤a3，b1≤b2≤b3，我们考察这两组数两两对应之积的和，利用排列组合的知识，我们知道共有6个不同的和数，它们是：

对

应

关

系

（a1，a2，a3）

（b1，b2，b3）

（a1，a2，a3）

（b1，b3，b2）

（a1，a2，a3）

（b2，b1，

b3）

（a1，a2，a3）

（b2，

b3，b1）

（a1，a2，a3）

（b3，b1，b2）

（a1，a2，a3）

（b3，b2，

b1）

和

备

注

同序和

S1a1b1a2b2a3b3

S2a1b1a2b3a3b2

乱序和

S3a1b2a2b1a3b3

乱序和

S4a1b2a2b3a3b1

乱序和

S5a1b3a2b1a3b2

乱序和

S6a1b3a2b2a3b1

根据上面的猜想，在这6个不同的和数中，应有结论：

同序和a1b1a2b2a3b3最大，反序和a1b3a2b2a3b1最小。

②对引例的验证：

对

应

关

系

（1，2，3）

（25，30，45）

（1，2，3）

（25，45，30）

（1，2，3）

（30，25，45）

和

反序和

备

注

同序和

乱序和

乱序和

S1a1b1a2b2a3b3220

S2a1b1a2b3a3b2205

S3a1b2a2b1a3b3215

（1，2，3）

（30，45，25）

（1，2，3）

（45，25，30）

（1，2，3）

（45，30，25）

S4a1b2a2b3a3b1195

S5a1b3a2b1a3b2185

S6a1b3a2b2a3b1180

乱序和

乱序和

反序和

（2）类似的问题：

5个人各拿一只水桶到水龙头接水，如果水龙头注满这5个人的水桶需要的时间分别是4分钟，8分钟，6分钟，10分钟，5分钟。那么如何安排这5个人接水的顺序，才能使他们等待的总时间最少？

分析：

（3）提出排序不等式（即排序原理）：

设有两个有序实数组:a1a2···an;b1b2···bn.c1,c2,···cn是b1,b2，···,bn的任一排列,则有

a1b1a2b2···+anbn

(顺序和) a1c1a2c2+···+ancn (乱序和) a1bna2bn1+···+anb1 (反序和) 当且仅当a1a2···=an或b1b2···=bn时，反序和等于顺序和.

（要点：理解其思想，记住其形式）

2. 教学排序不等式的应用：

①

出示例1：设a1,a2,,an是n个互不相同的正整数，求证：

anaa3111. 1a1223n2232n2

分析：如何构造有序排列？

如何运用套用排序不等式？

证明过程：

设b1,b2,,bn是a1,a2,,an的一个排列，且b1b2bn，则b11,b22,,bnn.

又1

a1111，由排序不等式，得

2232n2anbna2a3b2b3b…

122222223n23n

小结：分析目标，构造有序排列.

②

练习：

已知a,b,c为正数，求证：2(a3b3c3)a2(bc)b2(ac)c2(ab).

解答要点：由对称性，假设abc，则a2b2c2，

于是

a2ab2bc2ca2cb2ac2b，a2ab2bc2ca2bb2cc2a，

两式相加即得. 3. 小结：排序不等式的基本形式.