二 综合法与分析法优秀教学设计内容

2．2

直接证明与间接证明

2．2.1

综合法和分析法

1．问题导航

(1)什么是综合法，什么是分析法？两种证明方法的特点是什么？

(2)综合法的推理过程是什么？

(3)综合法与分析法有什么区别和联系？

2．例题导读

通过P85例1的学习，应学会利用综合法证明数学问题的思路和方法及推理步骤．通过P87例2和P88例3的学习，学会分析法证明数学问题的思路、方法和推理模式．

1．综合法

定义

利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法

2.分析法

定义

从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法

推证过程

Q⇐P1→P1⇐P2→

P2⇐P3→…

→得到一个明显

成立的条件逆推证法或执果索因法

特点

推证过程

P⇒Q1→Q1⇒Q2→

Q2⇒Q3→…→Qn⇒Q

(P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论)

特点

顺推证法或由因导果法

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)综合法是执果索因的逆推证法．(

) (2)综合法的推理过程实际上是寻找它的必要条件．(

) (3)分析法就是从结论推向已知．(

) (4)所有证明的数学问题均可使用分析法证明．(

) 答案：(1)×

(2)√

(3)×

(4)×

2．综合法是(

) A．执果索因的逆推证法

B．由因导果的顺推证法

C．因果分别互推的两头凑法

D．原命题的证明方法

答案：B 3．要证明a＋a＋7

) A．综合法

B．类比法

C．分析法

D．归纳法

答案：C 4．命题“函数f(x)＝x－xln x在区间(0，1)上是增函数”的证明过程“对函数f(x)＝x－xln x求导，得f′(x)＝－ln x，当x∈(0，1)时，f′(x)＝－ln x>0，故函数f(x)在区间(0，1)上是增函数”应用了________的证明方法．

解析：本命题的证明，利用已知条件和导数与函数单调性的关系证得了结论，应用了综合法的证明方法．

答案：综合法

1．综合法是一种直接证明的方法，是由已知推出正确结论的推理过程．它的基本思路是“由因导果”，由“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，即从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后推出待证的问题．其逐步推理，实际上是寻找“已知”的必要条件，综合法又叫顺推证法，或者由因导果法，是数学中最常用的证明方法．

2．分析法是数学中常用的一种直接证明方法．它是从未知到已知(从结论到题设)的逻辑推理，简单地说，分析法是“执果索因”，步步寻求上一步成立的充分条件．分析法又叫“逆推证法”或“执果索因法”．

3．综合法和分析法是直接证明中的两种最基本的证明方法，是解决数学问题的常用的思维方法．

一般来说，分析法解题方向明确，利于寻求解题思路；而综合法解题条理清晰，宜于表述．因此在解决问题时，通常以分析法为主寻求解题思路，再用综合法有条理地表述解题过程．

4．综合法、分析法的区别

综合法

分析法

推理方向

顺推，由因导果

逆推，执果索因

解题思路

探路较难，易生枝节

容易探路，利于思考

表述形式

形式简洁，条理清晰

叙述烦琐，易出错

思路的侧侧重于已知条件提供的信息

侧重于结论提供的信息

重点

综合法

(1)在锐角三角形中，求证：sin A＋sin B＋sin C>cos A＋cos B＋cos C. ππ[证明]

∵在锐角三角形中，A＋B>，∴A>－B.

22ππ∴0<－B

22π又∵在0，内正弦函数是单调递增函数，

2π∴sin A>sin－B＝cos B，

2即sin A>cos

B．①

同理sin B>cos C，②

sin C>cos A．③

由①＋②＋③，得sin A＋sin B＋sin C>cos A＋cos B＋cos C.

(2)

如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1，点M在PB上，且PB＝4PM，PB与平面ABC成30°角．求证：

①CM∥平面PAD；

②平面PAB⊥平面PAD. [证明]

①以C为原点，以CD、CB、CP所在的直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系(图略)．

由∠PBC＝30°，|PC|＝2，得|BC|＝23，|PB|＝4，不难得到D(1，0，0)，B(0，23，330)，A(4，23，0)，P(0，0，2)，M0，，.

2231→→→设CM＝xDP＋yDA，则x＝，y＝.

44→→→∴CM，DP，DA共面．

∵CM⊄平面

PAD，∴CM∥平面PAD.

②作BE⊥PA于点E(图略)，

→∴E(2，3，1)，BE＝(2，－3，1)．

→→∴BE·DA＝0，∴BE⊥DA.

又∵BE⊥PA，∴BE⊥平面PAD，

∴平面PAB⊥平面PAD.

利用综合法证明数学问题的三个步骤

分析条件―→仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系选择方向与区别，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题方法

↓

转化条件―→把题目的已知条件，转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图组织过程形三种语言之间的转化，组织过程时要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路

↓

适当调整―→解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，并对一些语言进行适当回顾反思的修饰，反思总结解题方法的选取

1．(1)求证：当x∈R时，x2>3x－3. 证明：∵x2－(3x－3)＝x2－3x＋3

323＝x－2＋，

432又∵x∈R，∴x－2≥0，

323∴x－2＋>0，

42即x－(3x－3)>0，

∴x2>3x－3.

(2)设数列{an}的前n项和为Sn，且(3－m)Sn＋2man＝m＋3(n∈N*)．其中m为常数，且

m≠－3. ①求证：{an}是等比数列；

3②若数列{an}的公比q＝f(m)，数列{bn}满足b1＝a1，bn＝f(bn－1)(n∈N，n≥2)，求证：21为等差数列．

bn证明：①由(3－m)Sn＋2man＝m＋3，得(3－m)Sn＋1＋2man＋1＝m＋3.

两式相减，得(3＋m)an＋1＝2man，m≠－3，

an＋12m∴＝，∴{an}是等比数列．

anm＋3②∵(3－m)Sn＋2man＝m＋3，

∴(3－m)a1＋2ma1＝m＋3，

∴a1＝1.

2mb1＝a1＝1，q＝f(m)＝，

m＋3∴当n∈N且n≥2时，

2bn－133bn＝f(bn－1)＝·，

22bn－1＋3∴bnbn－1＋3bn＝3bn－1，

111∴－＝.

bnbn－1311∴b是首项为1，公差为的等差数列．

3n分析法

若a>0，求证：a＋a＋3

要证a＋a＋3

只需证(a＋a＋3)2<(a＋1＋a＋2)2，

即证2a＋3＋2a（a＋3）

<2a＋3＋2（a＋1）（a＋2），

只需证2a（a＋3）<2（a＋1）（a＋2），

只需证a（a＋3）<（a＋1）（a＋2），

只需证a2＋3a

只需证0<2，

因为0<2显然成立，

所以a＋a＋3

分析法证明数学问题的范围、方法、技巧

ππ2．(1)已知α，β均为锐角，且α＋β≠，(1＋tan α)(1＋tan β)＝2，求证：α＋β＝. 24

π证明：要证α＋β＝，由于α，β均为锐角，所以只需证tan(α＋β)＝1，

4tan α＋tan β即证＝1，

1－tan αtan β只需证tan α＋tan β＋tan αtan β＝1，

∵(1＋tan α)(1＋tan β)＝2，

∴tan α＋tan β＋tan α·tan β＝1成立，

π∴α＋β＝得证．

4－－(2)已知△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，求证：(a＋b)1＋(b＋c)1＝3(a＋b＋－c)1. －－－证明：要证(a＋b)1＋(b＋c)1＝3(a＋b＋c)1，

113只需证＋＝，

a＋bb＋ca＋b＋ca＋b＋ca＋b＋cca即证＋＝3，也就是证＋＝1.

a＋bb＋ca＋bb＋c只需证c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，

需证c2＋a2＝ac＋b2，

需证b2＝c2＋a2－2ac·cos 60°，需证B＝60°.

∵A、B、C成等差数列，

－－－∴B＝60°，∴(a＋b)1＋(b＋c)1＝3(a＋b＋c)1.

综合法与分析法的综合应用

1x＋设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，若函数f(x＋1)与f(x)的图象关于y轴对称，求证：f2为偶函数．

1x＋为偶函数，只需证明其图象的对称轴为y轴，

[证明]

法一：要证f2b1即只需证－－＝0，

2a2只需证a＝－b.

bb由已知，得抛物线f(x＋1)的对称轴x＝－－1与抛物线f(x)的对称轴x＝－关于y轴2a2a对称，

bb－.

∴－－1＝－2a2a于是得a＝－b.

1x＋为偶函数．

∴f21x＋，

法二：记F(x)＝f2欲证F(x)为偶函数，只需证F(－x)＝F(x)，

11－x＋＝fx＋，

即只需证f22由已知，函数f(x＋1)与f(x)的图象关于y轴对称，而函数f(x)与f(－x)的图象也是关于y轴对称的，

∴f(－x)＝f(x＋1)．

111－x＋＝f－x－＝fx－＋1

∴f2221x＋，

＝f2

1x＋为偶函数．

∴f2

一方面从问题的已知条件出发，经逻辑推演导出中途结果，另一方面从问题的结论出发，回溯到中途，即导出同一个中途结果，从而沟通思路使问题得到解决．

a＋bb＋cc＋a3．(1)若a，b，c是不全相等的正数，求证：lg＋lg＋lg>lg a＋lg b＋lg c. 222a＋bb＋cc＋a证明：要证lg＋lg＋lg>lg a＋lg b＋lg c，只需证222a＋bb＋cc＋aa＋bb＋ca＋bb＋cc＋alg>lg(abc)，只需证··>abc.因为≥ab>0，≥bc>0，··22222222c＋aa＋bb＋cc＋aa＋bb＋c≥ca>0，且上述三式中的等号不全成立，所以··>abc.因此lg＋lg222222c＋a＋lg>lg a＋lg b＋lg c. 2(2)在某两个正数x，y之间插入一个数a，使x，a，y成等差数列，插入两数b，c，使x，b，c，y成等比数列，求证：(a＋1)2≥(b＋1)(c＋1)．

2a＝x＋y，

2证明：由已知得b＝cx，

c2＝by，b2c2∴x＝，y＝，

cb2bc2即x＋y＝＋，

cbb2c2从而2a＝＋.

cb要证(a＋1)2≥(b＋1)(c＋1)，

只需证a＋1≥（b＋1）（c＋1）成立．

（b＋1）＋（c＋1）只需证a＋1≥即可．

2b2c2也就是证2a≥b＋c.而2a＝＋，

cb22bc则只需证＋≥b＋c成立即可，

cb3即证b＋c3＝(b＋c)(b2－bc＋c2)≥(b＋c)bc，

即证b2＋c2－bc≥bc，

即证(b－c)2≥0成立，

上式显然成立，

∴(a＋1)2≥(b＋1)(c＋1)．

综合法在几何证明中的应用

规范解答

(本题满分12分)如图，在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD为菱形，OA⊥平面ABCD，E为OA的中点，F为BC的中点，求证：

(1)平面BDO⊥平面ACO；

(2)EF∥平面OCD. [证明]

(1)因为OA⊥平面ABCD，

BD⊂平面ABCD，所以OA⊥BD.2分

因为底面ABCD是菱形，所以AC⊥BD

又OA∩AC＝A，所以BD⊥平面ACO.4分

又因为BD⊂平面BDO，所以平面BDO⊥平面ACO.6分

(2)取OD的中点M，连接EM，CM，

1则ME∥AD，ME＝AD.7分

2因为ABCD是菱形，

所以AD∥BC，AD＝BC，

因为F为BC的中点，8分

1所以CF∥AD，CF＝AD，

2所以ME∥CF，ME＝CF10分

所以四边形EFCM是平行四边形，所以EF∥MC.

又因为EF⊄平面OCD，MC⊂平面OCD.

所以EF∥平面OCD.12分

[规范与警示]

(1)在处易忽略“菱形”这一条件的运用导致无法证明面面垂直．在处往往不能正确的构造出平行四边形导致无法得到线线平行，最后导致第(2)问结论无法证出．

(2)几何证明的前提是熟练地应用各个判定定理及性质定理，注意各个定理的应用格式，掌握常见的辅助线的作法，寻找好定理所需的条件，如本例中构造平行四边形说明线线平行．同时证明时要注意应用题中的条件，注意隐含条件的挖掘，如果漏掉某一条件或对某一条件挖掘不深则会导致题目无法证明．

1．关于综合法和分析法的说法错误的是(

) A．综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法

B．综合法又叫顺推证法或由因导果法

C．综合法和分析法都是因果分别互推的两头凑法

D．分析法又叫逆推证法或执果索因法

解析：选C.由综合法、分析法的定义可知，C错误．

2．在△ABC中，tan A·tan B>1，则△ABC是(

) A．锐角三角形

B．直角三角形

C．钝角三角形

D．不确定

解析：选A.∵tan A·tan B>1，∴tan A>0，tan B>0，

tan A＋tan B∴A、B为锐角，又tan(A＋B)＝<0，

1－tan Atan Bππ∴A＋B>，∴C<，∴△ABC是锐角三角形，故选A.

223．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象过点(－1，3)和(1，1)，若0

3＝a－b＋c，解析：将x＝－1，y＝3和x＝1，y＝1代入y＝ax＋bx＋c中，得

1＝a＋b＋c，2∴b＝－1，∴a＋c＝2，又∵0

答案：(1，2) a＋b4．设a>0，b>0，证明≥ab. 2a＋b证明：要证≥ab，

2只需证a＋b≥2ab，

即证a＋b－2ab≥0，

只需证(a－b)2≥0，

a＋b上式显然成立，故≥ab成立．

2

[A.基础达标]

1．命题“对于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos 2θ”的证明过程为：“cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos 2θ”，其应用了(

) A．分析法

B．综合法

C．综合法、分析法综合使用

D．类比法

解析：选B.从证明过程来看，是从已知条件入手，经过推导得出结论，符合综合法的证明思路．

2．欲证2－3＜6－7成立，只需证(

) A．(2－3)2＜(6－7)2

B．(2－6)2＜(3－7)2

C．(2＋7)2＜(6＋3)2

D．(2－3－6)2＜(－7)2

解析：选C.A中，2－3<0，6－7<0，平方后不等价；B、D与A情况一样；只有C项，2－3<6－7⇔2＋7<6＋3⇔(2＋7)2<(3＋6)2.

3．函数f(x)＝|log3x|在区间[a，b]上的值域为[0，1]，则b－a的最小值为(

) A．2 B．1 12C.

D.

3311解析：选D.由函数f(x)＝|log3x|在区间[a，b]上的值域为[0，1]，则a＝，1≤b≤3；或332≤a≤1，b＝3，故b－a的最小值为，故选D.

34．已知a，b，c为三条不同的直线，且a⊂平面M，b⊂平面N，M∩N＝c.有下列命题：①若a不垂直于c，则a与b一定不垂直；②若a∥b，则必有a∥c；③若a⊥b，a⊥c，则必有平面M⊥平面N.其中正确的是(

) A．①

B．②

C．③

D．②③

解析：选B.由线线平行、线线垂直的判定和性质，可知只有②正确．

2ab1xa＋b5．已知函数f(x)＝2，a，b∈(0，＋∞)，A＝f，B＝f(ab)，C＝fa＋b，则A，2B，C的大小关系为(

) A．A≤B≤C

B．A≤C≤B

C．B≤C≤A

D．C≤B≤A

解析：选A.∵a>0，b>0，∴∴a＋b≥ab.

22ab≤1，

a＋b2ab∴≤ab.

a＋b1x又∵f(x)＝2为减函数，

2aba＋b∴f≤f(ab)≤fa＋b，故选A.

26．在不等边三角形中，a为最大边，要想得到A为钝角的结论，对三边a，b，c应满足的条件是a2________b2＋c2(填“>”“<”“≥”或“≤”)．

答案：> 7．若抛物线y＝4x2上的点P到直线y＝4x－5的距离最短，则点P的坐标为________．

22解析：设点P在直线y＝4x＋m上，将y＝4x＋m代入y＝4x，得4x－4x－m＝0，令Δ1＝0，得m＝－1.∴4x2－4x＋1＝0，∴x＝，y＝1.

21答案：2，1

238．正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，在正方体的表面上与点A距离为的点集形3成一条曲线，这条曲线的长度为________．

π23解析：这条曲线在面ADD1A1上的一段是以A为圆心，为半径，为圆心角的一段36π3圆弧，在面A1B1C1D1上的一段是以A1为圆心，为半径，为圆心角的一段圆弧，由正方32π23π353体的对称性知，这条曲线的长度为：3(·＋·)＝π.

6323653答案：π

6π9．△ABC的三边a，b，c的倒数成等差数列，求证：B<. 2211证明：由条件得＝＋，

bac2ac即b＝.

a＋ca2＋c2－b2又∵cos B＝，

2ac2ac222a＋c－a＋c∴cos B＝

2ac（a2＋c2）（a＋c）2－4a2c2＝.

2ac（a＋c）2∵a，b，c均为正数，

∴a2＋c2≥2ac，

∴(a＋c)2≥4ac，

∴(a2＋c2)(a＋c)2－4a2c2

≥2ac·4ac－4a2c2

＝4a2c2>0，

π即cos B>0，又∵0

2

10．已知x>0，y>0，求证：(x＋y)>(x＋y). 证明：要证明(x＋y)>(x＋y)，只需证(x2＋y2)3>(x3＋y3)2，即证x6＋3x4y2＋3x2y4＋y6>x6＋2x3y3＋y6，即证3x4y2＋3x2y4>2x3y3.

∵x>0，y>0，∴x2y2>0，即证3x2＋3y2>2xy，

∵3x2＋3y2>x2＋y2≥2xy，

∴3x2＋3y2>2xy成立，

故(x＋y)>(x＋y).

[B.能力提升] 1．若2＋4<22，则点(m，n)必在(

) A．直线x＋y＝1的右上方

B．直线x＋y＝1的左下方

C．直线x＋2y＝1的右上方

D．直线x＋2y＝1的左下方

＋＋解析：选D.由均值不等式得2m＋4n≥22m4n＝22m2n，∴22m2n<22，∴m＋2n<1，故选D.

2．过x2＋y2＝10x内一点(5，3)有n条弦，它们的长度构成等差数列，最小弦长为数列11首项a1，最大弦长为数列的末项an，若公差d∈3，2，则n的取值范围是(

) A．{4}

B．[5，7] C．(7，＋∞)

D．(0，＋∞) 解析：选B.A(5，3)，圆心O(5，0)，最短弦为垂直OA的弦，∴a1＝8，最长弦为直径，2121∴an＝10，公差d＝，∴≤≤，∴5≤n≤7.

3n－12n－1－3．函数y＝a1x(a>0且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny－1＝0(m·n>0)11上，则＋的最小值为________．

mn－解析：由函数y＝a1x(a>0且a≠1)恒过定点A(1，1)，

点A在直线mx＋ny－1＝0上，

∴m＋n－1＝0，即m＋n＝1.

又m·n>0，

∴m>0，n>0.

1111nmnm1＋＝m＋n(m＋n)＝2＋＋≥2＋2·＝2＋2＝4(当且仅当m＝n＝时取等mnmnmn2号)．

答案：4 bb＋m4．设a>b>0，m>0，用分析法证明<成立的充分条件是________．

aa＋m解析：∵a>b>0，m>0.

bb＋m要证<成立，

aa＋mb＋mb只需证·a(a＋m)<·a(a＋m)成立即可．

aa＋m即证ab＋bm

只需证bm

即证(b－a)m<0成立即可，

由已知可知上式显然成立．

答案：(b－a)m<0 5．如图所示，过抛物线y2＝2px(p>0)的顶点任作两条互相垂直的弦OA、OB，求证：AB过x轴上的一个定点．

mn222122213331222133313331

证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

y1y2∵OA⊥OB，∴＝－1，

x1x2222∴y1y2＝x21x2，

2∵y1＝2px1，y22＝2px2，

2∴4px1x2＝(x1x2)2，∴x1x2＝4p2.

设直线AB与x轴的交点为M(m，0)，设直线AB的方程为y－y1＝k(x－x1)(k≠0)，且k存在．

y1令y＝0，得x＝－＋x1，

k22由y1＝2px1，y2＝2px2，两式相减，得

y2－y12p2y2＝，

2－y1＝2p(x2－x1)，∴k＝x2－x1y2＋y1－y1（y1＋y2）y1∴x＝－＋x1＝＋x1

k2p－y2y1y21－y1y2＋2px1＝＝－，

2p2p222又y21y2＝4px1x2，∴x＝x1x2，

∴x1x2＝m2，∴m2＝4p2，m＝2p.

即AB过x轴上一定点为(2p，0)．

经检验，当AB斜率不存在时，m＝2p也适合，故AB过x轴上的一个定点．

6．设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，a2＝6，a3＝11，且(5n－8)Sn＋1－(5n＋2)Sn＝An＋B，n∈N*，其中A、B为常数．

(1)求A与B的值；

(2)证明数列{an}为等差数列；

(3)证明不等式5amn－aman>1对任何正整数m，n都成立．

解：(1)由已知得S1＝a1＝1，S2＝a1＋a2＝7，S3＝a1＋a2＋a3＝18.

由(5n－8)Sn＋1－(5n＋2)Sn＝An＋B，得

－3S2－7S1＝A＋B，A＋B＝－28，即

2S3－12S2＝2A＋B，2A＋B＝－48，A＝－20，解得

B＝－8.(2)证明：由(1)得

(5n－8)Sn＋1－(5n＋2)Sn＝－20n－8.①

∴(5n－3)Sn＋2－(5n＋7)Sn＋1＝－20n－28.②

②－①，得(5n－3)Sn＋2－(10n－1)Sn＋1＋(5n＋2)Sn＝－20.③

∴(5n＋2)Sn＋3－(10n＋9)Sn＋2＋(5n＋7)Sn＋1＝－20.④

④－③，得(5n＋2)Sn＋3－(15n＋6)Sn＋2＋(15n＋6)Sn＋1－(5n＋2)Sn＝0.

∵an＋1＝Sn＋1－Sn，

∴(5n＋2)an＋3－(10n＋4)an＋2＋(5n＋2)an＋1＝0.

∵5n＋2≠0，∴an＋3－2an＋2＋an＋1＝0.

∴an＋3－an＋2＝an＋2－an＋1，n∈N*.

又a3－a2＝a2－a1＝5，∴数列{an}为等差数列．

(3)证明：由(2)可知，an＝1＋5(n－1)＝5n－4，

要证5amn－aman>1，

只需证5amn>1＋aman＋2aman，

∵amn＝5mn－4，aman＝(5m－4)(5n－4)＝25mn－20(m＋n)＋16，

∴只需证5(5mn－4)>1＋25mn－20(m＋n)＋16＋2aman，

即证20m＋20n－37>2aman.

∵2aman≤am＋an＝5m＋5n－8<5m＋5n－8＋(15m＋15n－29)＝20m＋20n－37.

∴5amn－aman>1.