2.2.1 综合法和分析法教学内容

【课题】2.2.1 综合法和分析法

【教学目标】

知识与技能：

（1）

了解综合法及综合法的思考过程、特点。

（2）

了解分析法及分析法的思考过程、特点。

过程与方法：

让学生积极举例子、培养辨析能力；培养他们分析问题和解决问题的能力。

情感态度与价值观：

通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。

【教学重点】

综合法和分析法。

【教学难点】

综合法和分析法的思考过程、特点。

【教学过程】

教

学

过

程

新课引入：

综合法和分析法，是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题时，常用的思维方式。

教师

学生

教学

行为

行为

意图

介绍

总结

归纳

了解

思考

记忆

带领

学生

分析

*动脑思考

探索新知

【新知识】

1.

综合法

在数学证明中，我们经常从已知条件和某些数学定义、定理、公理等出发，通过推理推导出所要的结论。例如：

2222已知a,b0,求证a(bc)b(ca)4abc.

证明：因为bc2bc,a0,

所以a(bc)2abc.

又因为ca2ac,b0，

222222

教

学

过

程

所以b(c2a2)2abc.

因此

a(b2c2)b(c2a2)4abc.

一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法。

*巩固知识

典型例题

教师

学生

教学

行为

行为

意图

强调

观察

思考

主动

求解

ABP,BCQ，说明

例1

ABC所在平面外，ACR.求证P,Q,R三点共线. 证明:因为ABP,BCQ,ACR.

所以

P,Q,R;

①

引领

讲解

说明

通过例题进一步领会

PAB,QBC,RAC

②

由②得P,Q,R平面ABC. 因此P,Q,R是平面ABC与平面的公共点. 因为两平面相交有且只有一条交线,所以P,Q,R三点在平面ABC与平面的交线上,即P,Q,R三点共线. 例2

在ABC中,设CBa,CAb,求证

SABC1222ab(ab).

2证明：因为SABC12absinC,cosCabab,

所以S2ABC1422absin2C

观察

教

学

过

程

1422教师

学生

教学

行为

行为

意图

讲解

说明

思考

主动

求解

通过例题进一步领会

ab(1cos122C)

2

1422abab

ab2

14122[a2b2(ab).

于是SABCab(ab).

2例3

在ABC中三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c,且A，B，C等差数列,

a，b，c成等比数列,求证ABC为等边三角形. 证明:由A，B，C成等差数列,有

2BAC

①

因为A，B，C为ABC的内角,所以

ABC

②

由①②,得

B由a，b，c成等比数列,有

2

bac

④

引导

分析

思考

参与

分析

引导启发学生思考

3

③

由余弦定理及③,可得

222

bac2accosB

22

acac

再由④,得

22

acacac

即

(ac)0

因此

ac

从而有

AC

⑤

由②③⑤,得

2

教

学

过

程

ABC3教师

学生

教学

行为

行为

意图

所以ABC为等边三角形.

解决数学问题时,往往要先作语言的转换,如把文字语言转换成符号语言,或把符号语言转换成图形语言等.还要通过细致的分析,把其中的隐含条件明确表示出来.

*动脑思考

探索新知

【新知识】

证明数学命题时,还经常从要证的结论Q出发,反推回去,寻求保证Q成立的条件,即使Q成立的充分条件P1.为了证明P1成立,再去寻求P1成立的充分条件P2;为了证明P2成立,再去寻求P2成立的充分条件P3……直到找到一个明显成立的条件（已

总结

归纳

仔细

分析

讲解

关键

词语

思考

归纳

理解

记忆

带领

学生

总结

知条件、定理、定义、公理等）为止。

例如，基本不等式了上述方法。

为了证明

只需证

ab2ab

只需证

ab2ab0

只需证

(a因为(a2ab2ab(a0,b0)的证明就用ab2

ab，b)20

b)0显然成立，所以原不等式成立. 一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）.这种证明的方法叫做

教

学

过

程

分析法. *巩固知识

典型例题

例4

求证3725.

教师

学生

教学

行为

行为

意图

说明

强调

引领

讲解

说明

引领

分析

观察

思考

主动

求解

观察

思考

求解

思考

了解

进一步领会知识点

注意

观察

学生

是否

理解

知识

点

证明:因为37和25都是正数,所以为了证明

3

725，只需证

（3

7）（25），22只需证

1022120

即证

22110

即证

即证

21<25 因为21<25显然成立,所以原不等式成立.

例5 SA平面ABC,ABBC,过A作SB的垂线,垂足为E,过E作SC的垂线,垂足为F.求证AFSC

证明:要证

AFSC

只需证

SC平面AEF,

只需证

215

说明

启发

引导

教

学

过

程

AESC(因为

) 只需证

AE平面SBC,

只需证

AEBC(因为

) 只需证

BC平面SAB,

只需证

BCSA(因为

) 由SA平面ABC,可知,上式成立. 所以, AFSC

*运用知识

强化练习

4cossin1.求证：对于任意角，4教师

学生

教学

行为

行为

意图

提问

巡视

指导

动手

求解

cos2.

回答

及时了解学生知识掌握情况

质疑

巡视

求证归纳强调

引导

说明

2.求证63.(a27225.

已2知2tansina,tansinb,b)16ab.

*归纳小结

体会并理解综合法、分析法的证明过程、方法. *课后作业

1.已知A，B都是锐角,且AB2

回忆

记录

检验

学生

学习

效果

，4（1tanA）(1tanB)2,求证AB.

2.

ABC的三边a，b，c的倒数成等差数列,求证B2.

*教学后记