3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义教学设计

复数代数形式的加减运算

及其几何意义教学设计

1.教学目标

（1）复数加法的交换律与结合律；

（2）复数的加法及其几何意义；

（3）复数的减法及其几何意义. 2.学情分析

我们已经把实数系扩充到了复数系，那么按照实数的运算法则类比，我们将进一步讨论复数的运算问题. 3.重难点分析

重点：复数的加减运算．

难点：加减法对应的几何意义. 4.教学过程

（第一学时）

教学活动

活动1【复习导入】随着生产发展的需要，我们将数的范围扩展到了复数

复数的代数形式：zabi(a,bR)，它是由实部、虚部两部分复合构造而成的整体，它如何进行运算呢？我们就来看一下最简单的复数运算——复数的加、减法．

活动2【课堂探究】新知导学

1. 类比实数的运算法则探究复数的运算

我们知道实数有加、减、乘等运算，且有运算律：

a+b=b+a

ab=ba

(a+b)+c=a+(b+c)

(ab)c=a(bc)

a(b+c)=ab+ac

那么复数应怎样进行加、减、乘运算呢？你认为应怎样定义复数的加、减、乘运算呢？运算律仍成立吗？

探究点1：复数代数形式的加法

设z1=a+bi, z2=c+di是任意两个复数，那么

(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. 说明: （1）复数的加法运算法则是一种规定.当b=0，d=0时与实数加法法则保持一致; （2）很明显，两个复数的和仍然是一个复数,对于复数的加法可以推广到多个复数相加.

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探究点2：复数的加法满足交换律、结合律

设z1=a1+b1i, z2=a2+b2i, z3=a3+b3i. （1）因为

z1+z2=(a1+b1i)+(a2+b2i) =(a1+a2)+(b1+b2)i,

z2+z1= (a2+b2i) + (a1+b1i) =(a1+a2)+(b1+b2)i,

所以

z1+z2=z2+z1 （2）因为

(z1+z2)+z3=[(a1+b1i)+(a2+b2i)]+(a3+b3i) =(a1+a2 +a3)+(b1+b2+b3)i,

z1+ (z2+z3)=(a1+b1i)+[(a2+b2i)+(a3+b3i)] =(a1+a2 +a3)+(b1+b2+b3)i,

所以

(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3) 所以，对任意z1，z2，z3 C, 有

z1+z2=z2+z1

（加法交换律）

（z1+z2）+z3=z1+（z2+z3）

（加法结合律）

活动3【复习导入】复数与复平面内的向量的一一对应关系

我们讨论过向量加法的几何意义，你能由此出发讨论复数加法的几何意义吗？设OZ1,OZ2

分别与复数a+bi, c+di对应

则OZ1(a,b),OZ2(c,d)

那么OZ1OZ2(ac,bd)

，所以OZ(ac)(bd)i

复数的加法可以按照向量的加法来进行. 探究点3：复数加法运算的几何意义（符合向量加法的平行四边形法则）

z1+ z2=OZ1OZ2OZ

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活动4【讲授】新知导学

探究点4 复数的减法

类比实数集中减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足：

(c+di)+(x+yi)=a+bi

的复数x+yi叫做复数a+bi减去复数c+di的差，

记作：

(a+bi)-(c+di).

根据复数相等的定义，有c+x=a, d+y=b

因此

x=a-c,

y=b-d,

所以

x+yi=(a-c)+(b-d)i , 即

(a+bi)-(c+di) =(a-c)+(b-d)i. 复数的减法

(a+bi)-(c+di) =(a-c)+(b-d)i 说明：两个复数的差是一个确定的复数

. 探究点5 复数减法运算的几何意义（符合向量减法的三角形法则）

类比复数加法的几何意义，复数减法的几何意义有是什么呢？

复数z2－z1

如图:

思考：|z1-z2|表示什么?

表示复平面上两点Z1 ,Z2的距离

活动5【组内活动】

在老师的指导下，进行小组合作，由同学们举出实例对复数的加减法及几何意义进行梳理. 然后各小组间进行互评. 活动6【讲授】学以致用

例1 计算(5-6i)+(-2-i)-(3+4i).

例2 计算(1－3i )+(2+5i) +(-4+9i).

答案：原式= -11i

答案：原式= -1+11i

向量Z1Z2

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例3：如果复数z满足z22i1，求z的最大值与最小值及相应的复数z

解：因为

z22iz(22i)，由减法的几何意义可知

z22i1

表示点Z到点C(2,2)的距离（1）

所以点Z的轨迹是以C(2,2)为圆心，1为半径的圆及圆的内部（如图）

而z表示点Z到原点的距离，即圆上的点或圆内部的点到原点的距离. 由图可知，z1,z2即为所求. 直线OC的方程：yx

圆C的方程：(x2)2(y2)21

联立求解：z1(323222,2),z22(2,2)

当z2222i时，zmin1；

当z322322i时，zmax3

活动7【课堂训练】

1.满足条件zi34i的复数z在复平面上对应的轨迹是（

）

A.一条直线

B.两条直线

C.圆

D.其他

2. 复数z满足z33i3，则z的最大值是

3

3

，最小值是

3

3. 若|z1|= |z2| ，则平行四边形OABC是

4. 若| z1+ z2|= | z1- z2| ，平行四边形OABC是

5. 若

|z1|= |z2|，| z1+ z2|= | z1- z2| ，则平行四边形OABC是

6. 已知复数z对应点A,说明下列各式所表示的几何意义. (1)|z－(1+2i)|

答：

点A到点(1,2)的距离

(2)|z+(5+3i)|

答：

点A到点(－5, －3)的距离

(3)|z－1|

答：

点A到点(1,0)的距离

(4)|z+2i|

答：

点A到点(0, －2)的距离

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7.计算

（1）（5+4i）+（-3-2i）

（2）（2-i）-（2+3i）+4i （3）

5-（3+2i）

（4）

4i-（4i-4）

答案：

(1)2 + 2i

(2)0

(3)2 - 2i

(4)4

8.已知复数m=2－3i,若复数z满足等式|z－m|=1,则z所对应的点的集合是什么图形? 解：

以点(2, －3)为圆心,1为半径的圆

活动8【课堂小结】

1.复数的加、减运算法则表明，若干个复数的代数和仍是一个复数，复数的和差运算可转化为复数的实部、虚部的和差运算. 2.在几何背景下求点或向量对应的复数，即求点或向量的坐标，有关复数模的问题，根据其几何意义，有时可转化为距离问题处理. 3. 在实际应用中，既可以将复数的运算转化为向量运算，也可以将向量的运算转化为复数运算，二者对立统一.

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