复习参考题教案教学设计

选修1-2第一章统计案例《复习参考题》

一、教材分析：前面必修3主要学习了相关关系、散点图，线性回归方程，在这基础上，本章通过对典型案例的讨论，进一步学习线性回归分析方法及其应用，并初步了解独立性检验的基本思想，认识统计方法在决策中的作用。

二、学情分析：学生对线性回归有了一定的了解，但学生对题目给出的背景不能很好的吃透，不能用统计知识做出有效的决策，特别对数据的处理能力有待提高。

三、教学重点：①了解回归分析的基本思想，方法及其初步应用，对残差以及相关指数R2的理解，把非线性回归方程转化成线性回归方程；②了解独立性检验的基本思想，方法，判断两个分类变量是否有关。

四、教学难点：对残差以及相关指数R的理解，把非线性回归方程转化为线2性回归方程。

五、教学过程：

（一）回归分析的基本思想及其初步应用：

【知识回顾】

①相关关系：当自变量取值一定时,因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系.与函数关系不同,相关关系是一种非确定性的关系。

②散点图：表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图,它可直观地判断两个变量的关系是否可以用线性关系表示.若这些点分布在从左下角到右上角的区域,则称两个变量正相关；若这些点分布在从左上角到右下角的区域,则称两个变量负相关

。

③线性相关关系：如果散点图中的点的分布从整体上看大致在一条直线附近那么就称这两个变量之间具有线性相关关系,这条直线叫做回归直线。

回归方程：若变量x与y具有线性相关关系，有n个样本数据xi,yii1,2,…，n，则回归方程为：y=bx+a，其中nni1(xix)(yiy)ni1nxiyinxyxinx22b，aybxi1(xix)1nn2i1

x=1nni1xi，y=2i1yi，x，y称为样本中心，在回归直线上。

④非线性相关：非线性相关:若散点图上所有点看上去都在某条曲线附近波动,则称这两个变量为非线性相关.此时,可以用一条曲线来拟合。

方法：通过变换，把非线性转化为线性。如：y=b可求y与t的线性回归方程，从而得到了y与x+a，通过变换令t=x，则

x

的回归方程。⑤回归分析：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫做回归分析.在线性回归模型：y=bx+a+e中,因变量y的值由自变量x和随机误差e共同确定,即自变量x只能解释部分y的变化。

i⑥残差：n个样本数据于点xi,yii1,2,…，n，eiyi-y=yi-bxi-a则ei称为相应xi,yi的残差。

nyR2iˆiyy21i1n⑦相关指数：yi12i（刻画回归效果）。

方法1：在残差图中，残差点比较均匀落在带状水平区域内，说明选用的模型比

较合适；带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高

方法2：残差平方和：残差ei的平方和越小，回归模型拟合效果越好.

nˆyR2iˆiyy21i1n方法3：相关指数yi12i，其中

0



R



1

。R表示解释变量对于222预报变量变化的贡献率，相关指数R越接近于1(越大)，回归模型拟合效果越好。

【基础检测】

例题1：设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，^＝根据一组样本数据(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为y0.85x－85.71，则下列结论中不正确的是(

D

) A．y与x具有正的线性相关关系

B．回归直线过样本点的中心(x，y) C．若该大学某女生身高增加1 cm，则其体重约增加0.85 kg D．若该大学某女生身高为170 cm，则可断定其体重必为58.79 kg 设题意图：加强学生对线性回归模型的理解。

例题2：工业生产中，合金强度与合金中的碳含量有着密切的关系，某工厂收集了其生产的合金中的碳含量，数据如下表：

现在分别用两种模型：①y=bx+a，②y=c+dlnx进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析绘制残差图，残差绝对值大于2的数据被认为是异常数据。下列说法正确的是：（B

）

A.模型②中所有的残差点都均匀地落在[-2,2] B.模型①剔除异常数据后，合金中地碳含量平均值为：x=18

C.模型②的相关指数R大于模型①

2

D. 模型②比模型①的拟合精度高，回归方程的预报精确也高

设题意图：考查学生对残差、残差图以及相关指数R2的理解

【能力提升】

例题3：

2019年某南澳牡蛎养殖基地考虑增加人工投入，现有以往的人工投入增量x（人)与年收益增量y（万元）的数据如下：

人工投入增量x（人)

年收益增量y（万元）

2

13

3

22

4

31

6

42

8

50

10

56

13

58

该基地为了预测人工投入增量为16人时的年收益增量，建立了y与x的两个回归模型：

模型①：由最小二乘公式可求得ˆ4.1x11.8yy与x的线性回归方程：；

模型②：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线：ybxa的附近，对人工投入增量x做变换，令t77x，则2ybta，且有t2.5,y38.9,i1(tit)(yiy)81.0,i1(tit)3.8．

（1）根据所给的统计量，求模型②中y关于x的回归方程（精确到0.1)；

（2）分别利用这两个回归模型，预测人工投入增量为16人时的年收益增量；

（3）根据下列表格中的数据，比较两种模型的相关指数R，并说明（2）中哪2个模型得到的预测值精度更高、更可靠？

回归模型

回归方程

7模型①

ˆ4.1x11.8y模型②

ybxa

i1ˆi)(yiy2

182.4

79.2

n样本(t，yii)(i1ˆ，b，2，n)的最小二乘估计公式为：i1(tit)(yiy)nˆtˆyb,a(tit)2，

i1

n另，刻画回归效果的相关指数R2ˆi)(yiy(yiy)21i1n

27i17解答：（1）由tˆ81.021.3b3.82.5,y38.9,i1(tit)(yiy)81.0,i1(tit)23.8得

，aˆi38.921.32.514.4yb，

ˆ模型②中y关于x的回归方程为y162.13x14.4．

万元，

（2）当xˆ时，模型①年收益增量预测值为y4.11611.877.4ˆ模型②年收益增量预测值为y21.31614.470.8万元，

2（3）由表格中的数据，有182.479.2，即182.4n79.2n，

2i(yiy)i(yiy)由R2的公式可知，模型①的R2的小于模型②的，这说明模型②拟合效果更好，

在（2）中，用模型②预测当人工投入量x比模型①的77.4万精确度更高，更可靠

16时，年收益增量为70.8万元，这一个预报值设题意图：把非线性回归变换成线性回归，考查学生数据处理的能力。

（二）独立性检验的基本思想

独立性检验：检验两个分类变量是否有关系的一种统计方法。

①对于两个分类变量X和Y，它们的取值分别为x1，x2和y1，y2，列出其2×2列联表

x1

y1

y2

总计

a+b c+d n a c a+c b d b+d x2

总计

②计算随机变量K2观测值k，K2的观测值越大，两个分类变量有关系的概率越大。

K2n(adbc)2

其中nabcd

(ab)(cd)(ac)(bd)参考数据：

P(K2≥k)

k

0.10

2.706

0.050

3.841

0.025

5.024

0.010

6.635

0.001 10.828

【直击高考】

例题4（2019文数1卷17题节选）某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：

男顾客

女顾客

2满意

40 30 不满意

10 20 问：能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？

附：K2=nadbcabcd2acbd

0.001 10.828 PKk

0.050 3.841 0.010 6.635 2k

解：

2100(40201030)(4010)(3020)(4030)(1020)4.762

4.7623.841有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.

【课堂小结】

1.理解残差与相关指数R的意义与关系。

2.对实际问题选择合适的回归模型，确定好哪个是解析变量，哪个是预报变量，代入好对应的数据。

3.独立性检验计算K2的观测值时，参考的临界值应与题目允许的犯错误的概率对应。

2六、课后练习

1．在对两个变量y与x进行回归分析时，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数R2如下，其中拟合效果最好的模型是(

A

) A．模型1，相关指数R2为0.98 B．模型2，相关指数R2为

0.80 C．模型3，相关指数R2为0.50 D．模型4，相关指数R2为0.25 2（2015文数1卷19题）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的宣传费xi，和年销售量yi(i=1,2,3,…,8)的数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的

值，表中i

xi,18i8i1n

2x

y



i1(xix)

ni1(i)2

ni1(xix)(yiy)

i1n(i)(yi

y)

46.6 563 6.8 289.8 1.6 1469 108.8

(Ⅰ)根据散点图判断，y=a+bx与ycdx，哪一个宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；

(Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；

(Ⅲ)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z=0.2y-x，根据(Ⅱ)的结果回答下列问题：

(1)当年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值时多少？

(2)当年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？

解：

（1）由散点图变化情况选择ycdx较为适宜.

（2）由题意知dwi188iwywiy2108.81.668. wi1i又ycdx一定过点w,y，所以c的回归方程为ydw563686.8100.6，

所以y关于xy100.668x. 49576.6（3）（ⅰ）由（2）可知当z0.2576.64966.32x49时，y100.668，

所以年宣传费（ⅱ）zx. 49时，年销售量为576.6t，年利润的预报值为66.32千元. 0.2yx0.2100.668xx13.6xx20.12

x6.826.820.122. 2所以当x6.8，即x6.846.24（千元）时，年利润的预报值最大

3．

CCTV财经频道曾报道某地建筑市场存在违规使用未经淡化海砂的现象．为

了研究使用淡化海砂与混凝土耐久性是否达标的相关性，某大学实验室随机抽取了60个样本，得到了相关数据如下表：

项

目

使用淡化海砂

使用未经淡化海砂

总

计

混凝土

耐久性达标

25

s 40

混凝土耐久

性不达标

t 15

20

总

计

30 30 60 根据表中数据，求出s，t的值，利用独立性检验的方法判断，能否在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为使用淡化海砂与混凝土耐久性是否达标有关？

参考数据：

P(K2≥k)

k 20.10

2.706

0.050

3.841

0.025

5.024

0.010

6.635

0.001 10.828 nad－bc2参考公式：K＝

a＋bc＋da＋cb＋d260×25×15－15×5解：s＝40－25＝15，t＝30－25＝5.

K2＝＝7.5>6.635，

30×30×40×20∴能在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为淡化海砂与混凝土耐久性是否达标有关．