3.2.2 复数代数形式的乘除运算优质教案设计

3.2.2

复数代数形式的乘除运算

学习目标

1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算.2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律.3.理解共轭复数的概念．

问题导学（预习新知，夯实基础）

知识点一

复数的乘法及其运算律

思考

怎样进行复数的乘法运算？

答案

两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要把已得结果中的i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并即可．

梳理

(1)复数的乘法法则

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，那么它们的积

(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i. (2)复数乘法的运算律

对于任意z1，z2，z3∈C，有

交换律

结合律

乘法对加法的分配律

知识点二

共轭复数

当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，z的共轭复数用z表示．即z＝a＋bi，则z＝a－bi. 知识点三

复数的除法法则

1＋31＋33＋2思考

类比根式除法的分母有理化，比如＝，你能写出复数的除法法则3－23－23＋2吗？

答案

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(c＋di≠0)，

z1a＋biac＋bdbc－ad则＝＝＋i. z2c＋dic2＋d2c2＋d2判断正误

1．复数加减乘除的混合运算法则是先乘除，再加减．(

√

) 2．两个共轭复数的和与积是实数．(

√

) 23．若z1，z2∈C，且z21＋z2＝0，则z1＝z2＝0.(

×

) z1z2＝z2z1

(z1z2)z3＝z1(z2z3) z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3

题型研究（启迪思维，探究重点）

类型一

复数代数形式的乘除运算

例1

计算：

1331(1)－＋i＋i(1＋i)；

22221＋2i2＋31－i(2)；

2＋i1－4i1＋i＋2＋4i(3). 3＋4i考点

复数的乘除法运算法则

题点

乘除法的运算法则

1331解

(1)－＋i＋i(1＋i) 2222＝－3331＋－i(1＋i) －4444＝－＝－31＋i(1＋i) 223113i －＋－22221＋31－3＝－＋i. 221＋2i2＋31－i－3＋4i＋3－3i(2)＝

2＋i2＋i＝i2－i12i＝＝＋i. 5552＋i1－4i1＋i＋2＋4i5－3i＋2＋4i(3)＝

3＋4i3＋4i＝＝7＋i7＋i3－4i＝

3＋4i3＋4i3－4i21－28i＋3i＋425－25i＝＝1－i. 2525反思与感悟

(1)按照复数的乘法法则，三个或三个以上的复数相乘可按从左到右的顺序运算或利用结合律运算，混合运算和实数的运算顺序一致，在计算时，若符合乘法公式，则可直接运用公式计算．

(2)根据复数的除法法则，通过分子、分母都乘以分母的共轭复数，使“分母实数化”，这个过程与“分母有理化”类似．

跟踪训练1

计算：

(1)(4－i)(6＋2i)－(7－i)(4＋3i)；

3＋2i3－2i(2)＋；

2－3i2＋3ii－2i－1(3). 1＋ii－1＋i考点

复数的乘除法运算法则

题点

乘除法的运算法则

解

(1)(4－i)(6＋2i)－(7－i)(4＋3i) ＝(24＋8i－6i＋2)－(28＋21i－4i＋3) ＝(26＋2i)－(31＋17i)＝－5－15i. 3＋2i3－2i(2)＋

2－3i2＋3i＝i2－3i－i2＋3i＋＝i－i＝0. 2－3i2＋3ii－2i－1i2－i－2i＋2(3)＝

1＋ii－1＋ii－1＋i2－i＋i＝1－3i1－3i－2－i＝

－2＋i－2＋i－2－i－2－i＋6i＋3i2－5＋5i＝＝＝－1＋i. 55类型二

i的运算性质

2＋2i22 016例2

计算：(1)＋；

1－i21＋i(2)i＋i2＋…＋i2 017. 考点

虚数单位i及其性质

题点

虚数单位i的运算性质

21＋i21 008解

(1)原式＝＋2i

－2i＝i(1＋i)＋(－i)1 008

＝i＋i2＋(－1)1 008·i1 008

＝i－1＋i4×252

＝i－1＋1 ＝i. i1－i2 017i－i2 018(2)方法一

原式＝＝

1－i1－ii－i4504·i2i＋1＝＝

1－i1－i

＝1＋i1＋i2i＝＝i. 1－i1＋i2＋＋＋方法二

因为in＋in1＋in2＋in3＝in(1＋i＋i2＋i3)＝0(n∈N*)，

所以原式＝(i＋i2＋i3＋i4)＋(i5＋i6＋i7＋i8)＋…＋(i2 013＋i2 014＋i2 015＋i2 016)＋i2 017

＝i2 017＝(i4)504·i＝1504·i＝i. 反思与感悟

(1)等差、等比数列的求和公式在复数集C中仍适用，i的周期性要记熟，即in＋in1＋in2＋in3＝0(n∈N*)．

＋＋＋(2)记住以下结果，可提高运算速度

①(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i；

②1－i1＋i＝－i，＝i；

1＋i1－i1③＝－i. i1＋i2 017＝________. 跟踪训练2

(1)1－i考点

虚数单位i及其性质

题点

虚数单位i的运算性质

答案

i 解析

1＋i2 017＝1＋i1＋i2 017＝2i2 017

1－i1＋i21－i＝i2 017＝(i4)504·i＝1504·i＝i. (2)化简i＋2i2＋3i3＋…＋100i100. 考点

虚数单位i及其性质

题点

虚数单位i的运算性质

解

设S＝i＋2i2＋3i3＋…＋100i100，①

所以iS＝i2＋2i3＋…＋99i100＋100i101，②

①－②得

(1－i)S＝i＋i2＋i3＋…＋i100－100i101

i1－i100＝－100i101＝0－100i＝－100i. 1－i－100i－100i1＋i－100－1＋i所以S＝＝＝

21－i1－i1＋i＝50－50i. 所以i＋2i2＋3i3＋…＋100i100＝50－50i.

类型三

共轭复数及其应用

例3

把复数z的共轭复数记作z，已知(1＋2i)z＝4＋3i，求z. 考点

共轭复数的定义与应用

题点

利用定义求共轭复数

解

设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＝a－bi，

由已知得(1＋2i)(a－bi)＝(a＋2b)＋(2a－b)i＝4＋3i，

a＋2b＝4，由复数相等的定义知，得a＝2，b＝1，

2a－b＝3，

所以z＝2＋i. 引申探究

例3条件改为z(z＋2)＝4＋3i，求z. 解

设z＝x＋yi(x，y∈R)．则z＝x－yi，

由题意知，(x－yi)(x＋yi＋2)＝4＋3i. 2x2＋x＋y＝4，得

xy－yx＋2＝3.

x＝－1－解得3y＝－2所以z＝－1－11，2

x＝－1＋或3y＝－2，11，2

113113－i或z＝－1＋－i. 2222反思与感悟

当已知条件出现复数等式时，常设出复数的代数形式，利用复数相等的充要条件转化为实数问题求解．

跟踪训练3

已知复数z满足|z|＝1，且(3＋4i)z是纯虚数，求z的共轭复数z. 考点

共轭复数的定义与应用

题点

利用定义求共轭复数

解

设z＝a＋bi(a，b∈R)，则|z|＝a2＋b2＝1，

即a2＋b2＝1.①

因为(3＋4i)z＝(3＋4i)(a＋bi)＝(3a－4b)＋(3b＋4a)i是纯虚数，所以3a－4b＝0，且3b＋4a≠0.②

a＝5，由①②联立，解得3b＝54

a＝－5，或3b＝－5.4

4343所以z＝－i或z＝－＋i. 5555

1．设复数z满足iz＝1，其中i为虚数单位，则z等于(

) A．－i

C．－1

考点

复数的乘除法运算法则

题点

利用乘除法求复数中的未知数

答案

A 1解析

z＝＝－i. i2．若z＝4＋3i(i为虚数单位)，则A．1

43C.＋i

55考点

复数的乘除法运算法则

题点

乘除法的运算法则

答案

D 解析

z＝4＋3i，|z|＝5，43＝－i. |z|55zz|z|等于(

) B．－1 43D.－i 55B．i D．1 1－i23．已知＝1＋i(i为虚数单位)，则复数z等于(

) zA．1＋i

C．－1＋i

考点

复数四则运算的综合应用

题点

复数的混合运算

答案

D 1－i2解析

因为＝1＋i，

z1－i2－2i－2i1－i所以z＝＝＝＝－1－i. 21＋i1＋i2i34．设i是虚数单位，z是复数z的共轭复数，若z＝，则z＝________. 1＋i考点

共轭复数的定义与应用

B．1－i D．－1－i

题点

利用定义求共轭复数

答案

－1＋i －2i1－i2i3解析

z＝＝＝－1－i，

1＋i1＋i1－i所以z＝－1＋i. 5．已知复数z满足：z·z＋2zi＝8＋6i，求复数z的实部与虚部的和．

考点

共轭复数的定义与应用

题点

与共轭复数有关系的综合问题

解

设z＝a＋bi(a，b∈R)，

则z·z＝a2＋b2，

∴a2＋b2＋2i(a＋bi)＝8＋6i，

即a2＋b2－2b＋2ai＝8＋6i，

22a＋b－2b＝8，a＝3，∴解得

2a＝6，b＝1，

∴a＋b＝4，

∴复数z的实部与虚部的和是4.

1．复数代数形式的乘除运算

(1)复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式，复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律．

(2)在进行复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化．

2．共轭复数的性质可以用来解决一些复数问题．

3．复数问题实数化思想．

复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，其桥梁是设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，利用复数相等的充要条件转化.