二 一般形式的柯西不等式优质公开课教案

利川市第五中学高一年级数学学科集体备课教案

第 次教案

课 题

主备课人

授课时间

课 型

教学目标

过

程

与

方

法

3.2一般形式的柯西不等式

______班第_____周星期_______第_______节课

______班第_____周星期_______第_______节课

新授课

教学方法

知

识

与

技

能

“212”高效课堂模式

教 具

常规教具

1.理解三维形式的柯西不等式，在此基础上，过渡到柯西不等式的一般形式．

2．会用三维形式及一般形式的柯西不等式证明有关不等式和求函数的最值等问题．

“212高效课堂模式”

授课人

课时数

情感、态度与价值观

培养学生的自学能力，合作探究以及总结归纳的能力

学情分析

教学重点

教学难点

理解三维形式的柯西不等式

会用三维形式及一般形式的柯西不等式证明有关不等式和求函数的最值等问题

教学过程设计（含学法指导内容）

教 学 内 容

教师

学生

二次

活动

活动

备课

一、自主预学案：不看不讲

知识点一：三维形式的柯西不等式

设a1，a2，a3，b1，b2，b3是实数，则(a21＋a22＋a23)(b21＋b22＋b23)≥(a1b1＋a2b2＋a3b3)2，当且仅当bi＝0(i＝1，2，3)或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1，2，3)时，等号成立．

知识点二:一般形式的柯西不等式

设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则(a21＋a22＋…＋a2n)(b21＋b22＋…＋b2n)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，当且仅当bi＝0(i＝1，2，…，n)或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1，2，…，n)时，等号成立．

湖北省利川市第五高级中学

1

1、判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)二维形式的柯西不等式是一般形式的柯西不等式的特殊情况．( ) (2)三维形式的柯西不等式可以由空间向量的几何意义推导出来．( ) (3)柯西不等式中的字母a，b，c，…具有轮换对称性，按照一定顺序轮换，式子不变．(

) (4)在应用柯西不等式时，不需要验证等号成立的条件．(

) 2、已知x，y，z＞0，且x＋y＋z＝1，则x2＋y2＋z2的最小值是(

) 11A．1

B． C． D．3 323、设a，b，c＞0，且a＋b＋c＝1，则a＋b＋c的最大值是(

) A．1 B．3 C．3 D．9 4、已知a，b，c∈R，a＋2b＋3c＝6，则a2＋4b2＋9c2的最小值为____

二、合作探究案：不议不讲

探究一：利用柯西不等式证明不等式

例1.

(1)设a，b，c为正数，求证

(2)设a1，a2，…，an为实数，b1，b2，…，bn为正实数，

a21a22a2n（a1＋a2＋…＋an）2求证：＋＋…＋≥. b1b2bnb1＋b2＋…＋bn

补充例题: 1.

已知正数a，b，c，求证：

2．已知a，b，c∈R，a2＋b2＋c2＝1 求证：|a＋b＋c|≤3. b2c2＋c2a2＋a2b2≥abc. a＋b＋ca2b2c2＋＋≥a＋b＋c. bca湖北省利川市第五高级中学

2

精讲突破：

探究二：用三维形式柯西不等式求最值

例2、设a，b，c为正数，且a＋2b＋3c＝13，求3a＋2b＋c的最 大值．

补充例题: 设2x＋3y＋5z＝29，求函数μ＝2x＋1＋3y＋4＋5z＋6的最大值

精讲突破：

附加题：构造三维柯西不等式求最值

例、(本题满分7分)已知a>0，b>0，c>0，函数f(x)＝|x＋a|＋|x－b|＋c的最小值为4. (1)求a＋b＋c的值；

11(2)求a2＋b2＋c2的最小值．

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3

三、训练案：不做不讲

1、若x，y，z∈R，x2＋y2＋z2＝1，求m＝2x＋2y＋5z的最大值

12、已知α1，α2，…，αn是平面凸n边形的内角的弧度数，求证：α1＋

11n2＋…＋≥. α2αn（n－2）π板

书

设

计

作 业

布 置

教

学

反

思

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