2.1.2 演绎推理特级教师教学实录

教学目标：

1．了解归纳推理的概念和归纳推理的作用，了解演绎推理与合情推理的区别与联系．

2．掌握归纳推理的一般步骤．

3．能利用归纳进行一些简单的推理．

教学重点：

了解演绎推理的含义，能利用演绎推理进行简单的推理．

教学难点：

了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别．

教学过程：

一、

创设情境

在数学学习中，除了合情推理，我们更多使用的是一种由一般性的命题推演出特殊性命题的推理方法．例如，在案例3中，“铜能导电”的结论就是通过如下推理得到的：

所有的金属都能导电，

铜是金属，

所以，铜能导电．

我们再看一个类似的推理案例．

在学习整数时，有下面的推理：

个位数字是0或5的正整数必是5的倍数，

2

375的个位数字是5，

所以，2

375是5的倍数．

二、构建新知

像这样的推理通常称为演绎推理（deductive inference）．三段论式推理是演绎推理的主要形式，常用的格式为：

M —

P（M是P）

S —

M（S是M）

S —

P（S是P）

三段论推理的依据，用集合的观点来理解：若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的一个子集，那么S中所有元素也都具有性质P．

三、数学运用

DE//BA，例1

△ABC中，D，E，F分别是BC，CA，AB上的点，∠BFD＝∠A，求证：EDAF．

分析

（1）同位角相等，两直线平行，

（大前提）

BFD与A是同位角，且BFD＝A，

（小前提）

所以，DF//EA．

（2）两组对边分别平行的四边形是平行四边形，

（大前提）

（3）

平行四边形的对边相等，

（大前提）

（小前提）

DE//BA，且DF//EA，

（小前提）

（结 论）

（结 论）

所以，四边形AFDE为平行四边形． ED

和AF为平等四边形的对边，

所以，ED＝AF．

（结 论）

上面的证明通常简略地表述为：

BFD＝ADF//EA四边形AFDE是平行四边形ED＝AF．

DE//BAbb＋m例2

已知a，b，m均为正实数，b＜a，求证：＜．

aa＋m

分析

b＜amb＜ma ab＋mb＜ab＋ma

m＞0b(a＋m)＜a(b＋m)bb＋mb(a＋m)a(b＋m)＜．

＜aa＋ma(a＋m)a(a＋m)a(a＋m)＞0

又

证明过程包含了几个三段论？

例3

在锐角三角形ABC中，AD⊥BC，

BE⊥AC，D，E是垂足，

求证：AB的中点M到D，E的距离相等．

分析

（1）因为有一个内角是直角的三角形是直角三角形

——大前提

在△ABC中，AD⊥BC，即∠ADB＝90°

——小前提

所以△ABD是直角三角形

——结论

（2）因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

——大前提

因为

DM是直角三角形斜边上的中线

——小前提 所以

DM＝1AB

——结论 2同理

EM＝AB，所以

DM＝EM．

四、学生探究

1．下列表述正确的是 ．

①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．

2．把下列演绎推理写成“三段论”的形式．

（1）三角函数都是周期函数，y＝tanx是三角函数，所以y＝tanx是周期函数．

（2）一切奇数都不能被

2

整除，（2100＋1）是奇数，所以（2100＋1）不能被2整除．

五、课堂总结 1．演绎的前提是一般性原理，演绎所得的结论是蕴涵于前提之中的个别、特殊事实，结论完全蕴涵于前提之中．

2．在演绎推理中，前提与结论之间存在必然的联系，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论也必定是正确的．因而演绎推理是数学中严格证明的工具．

3．演绎推理是一种收敛性的思维方法，它较少创造性，但却具有条理清晰、令人信服的论证作用，有助于科学的理论化和系统化．

六、课后作业 教材第72页练习3，5．