1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用优秀获奖教案

《独立性检验的基本思想及其初步应用》

（人教A版选修1-2第一章第二节）

一、

教学设计

1、内容和内容解析

本节课主要内容是通过典型案例的研究，介绍了独立性检验的基本思想、方法和初步应用。“独立性检验”是在考察两个分类变量之间是否具有相关性的背景下提出的，因此教材上首先提到了分类变量的概念，并给出了考察两个分类变量之间是否相关的一种简单的思路，即借助等高条形图的方法，随后引出相对更精确地解决办法——独立性检验。独立性检验的思想是建立在统计思想、假设检验思想(小概率事件在一次试验中几乎不可能发生)等基础之上。

虽然本节是新增内容，理论比较复杂，教学时间也不长(1-2课时)，但由于它贴近实际生活，体现出数学应用教育价值，故地位不可小视. 该内容是学生前面学习的《必修三》中的统计知识的进一步应用，并与本册课本前一节内容《回归分析的基本思想及其初步应用》（研究两普通变量的相关性）相呼应，此外还涉及到《选修1-2》中的“反证法”思想.

通过本节课的学习使文科学生认识到统计方法在决策中的作用，是高中数学知识中体现统计思想的重要内容之一，是素质教育的重要组成部分。随着现代信息技术飞速传播和发展，人们每天都会接触到影响生活的统计信息，所以具备一些统计知识已经成为现代人应具备的一种数学素养。

2、目标和目标解析

①知识与技能目标

通过对典型案例（吸烟和患肺癌有关吗?）的探究，理解独立性检验的基本思想，明确独立性检验的基本步骤，会对两个分类变量进行独立性检验，并能利用独立性检验的基本思想来解决实际问题。

②过程与方法目标

通过探究“吸烟和患肺癌是否有关系”引出独立性检验的问题，借助样本数据的列联表画出等高条形图，直观判断出吸烟和患肺癌可能有关系。这一直觉来自于观测数据，即样本。问题是这种来自于样本的印象能够在多大程度上代表总体，这节课就是为了解决这个问题，让学生经历逐步领会独立性检验基本思想的体验过程，提高学生的数据分析能力。

③情感态度价值观目标

通过本节课的学习，加强数学与现实生活的联系，体现数学学科的教育价值。培养学生以科学的态度评价两个分类变量有关系的可能性。让学生对统计方法有更深刻的认识，体会统计方法应用的广泛性。教学中适当地利用学生合作与交流，使学生在学习的同时，体会与他人合作的重要性。

1

目标解析：

独立性检验是考察两个分类变量是否有关系，并且能较精确地给出这种判断的可靠程度的一种重要的统计方法．利用独立性检验，能够帮助我们对日常生活中的实际问题作出合理的推断和预测．因此，在学习中通过对统计案例的分析，理解和掌握独立性检验的方法，体会独立性检验的基本思想在解决实际问题的应用，以提高我们处理生活和工作中的某些问题的能力．

新课标指出：“学生的数学学习内容应当是现实的、有趣的和富有挑战性的。”从心理学的角度看，青少年有一种好奇的心态、探究的心理。因此，紧紧地抓住学生的这一特征，利用学生身边的问题“吸烟和患肺癌是否有关系”，设计教学情境，使学生在观察、讨论等活动中，逐步提高数据分析能力。

教学重点：通过实例让学生体会独立性检验的基本思想，掌握独立性检验的一般步骤. 3、教学问题诊断分析

①的出现比较突然，学生可能会提出疑问. 对于文科学生，我认为只要告诉他们这属于大学的研究范畴，在此不必做过多解释. ②为什么给出一个临界值k0呢？那是因为在假设“H0：两个变量无关”下，K的观测值k应该很小，但多小才算小呢？这时需要一个衡量大小的临界值k0。教材在这一部分处理上，是先进行某一临界值的讲解，而后再给出卡方临界值表，这对于学生是比较难于理解的。为了突破这个难点，我采用“先入为主”的思想，把教材后面介绍的卡方临界值表提前讲解，用概率知识解读临界值表的含义，至于小概率事件所对应的临界值，则属于大学的研究范畴，也不必做过多解释. ③如何理解独立性检验的基本思想？独立性检验的步骤是固定的，仿照教科书的例题，学生不难完成习题，但独立性检验的思想对学生来说是比较难理解的，它来源于统计上的假设检验思想。考虑到对高中生而言，假设检验的思想难于理解，所以在教科书上仅从反证法的角度介绍独立性检验思想。学生可以通过教材上的表格对二者的基本思想作比较并加以区别。表格内容如下：

反证法原理

独立性检验原理

在假设H0下，如果推出一个矛盾，就证明了H0不成立。

在假设H0下，如果出现一个与H0相矛盾的小概率事件，就推断H0不成立，且该推断犯错误的概率不超过这个小概率。

独立性检验的基本思想和反证法类似，它们都是假设结论不成立，反证法是在假设结论不成立基础上推出矛盾从而证得结论成立，而独立性检验是在假设结论不成立基础上推出有利于结论成立的小概率事件发生，于是认为结论在很大程度上是成立的。因为小概率事件在一次试验中通常是不会发生的，所以有利于结论成立的小概率事件的发生为否定假设提供了有力的证据。

2

2

④为什么在最后表达结论时要出现“在犯错误的概率不超过的前提下”这样的词？这也是初学者较难理解的问题，原因就在于独立性检验的过程中存在一个小小的漏洞，就是假设“在一次实验中，小概率事件不发生”，而事实上，小概率事件是可能发生的(用反证法，如果始终不发生，就是不可能事件了)，而正是因为这一点点漏洞，导致独立性检验的结果可能是错误的，但是犯错误的概率不会太大，我们就把犯错误的最大概率等同于小概率事件发生的概率了。

教学难点：理解独立性检验的基本思想

4．教学支持条件分析

为了有效实现教学目标，根据问题诊断分析，采取问题启发式教学方法，充分调动学生的积极性，让学生逐步领会独立性检验的基本思想,掌握独立性检验的方法。适当辅助信息技术，以构建有利于学生建立概念的“多元联系表示”的教学情境。

5、教学过程

教学环节

师

生

活

动

设

计

意

图

数学教学只有从问题开始才有其生命力，创设一个学生熟悉的实际问题情境，既提出本节课研究的问题，又使学生有亲切感，调动学生的学习热情。同时使学生体会数学的应用价值，感受学习数学新知识的必要性．

让学生自行设计出列联表。分类变量与列联表是本节新概念，但比较简单，学生不难想到，因此鼓励学生独立思考，自主设计. 通过这个简单的问题，希望使能问

题

导

入

引

入

新

课

师：问题1：吸烟会影响到烟民的寿命吗？

“吸烟有害健康”，这是我们很熟悉的常识，因此我们很自然地认为，吸烟会减损人的寿命，然而也有很多例外。一个吸烟而且长寿的人的例子能说明吸烟对人的健康没有影响吗？为什么？

生：思考，回答

师：问题2：假如我们想通过调查，考察吸烟是否与患肺癌有关，那我们需要用到什么样的数据？是否可以将这些数据列成一张表格便于分类加和？

生：思考，回答

师：问题3：分类变量是本节给出的新概念，你能指出分类变量和我们数学中提到的普通变量在本质上有什么差别吗？你能否再举出

3

几个分类变量的例子？你能否举出一对分类变量，使它们之间有某种相互关联？

生：思考，回答

学生们打开思路，同时领略到数学是有用的，数学与生活息息相关。

本着“正难则反”的思路，借助反证法的思考模式，将问题转化为两个分类变量独立，就是研究其概率的关系，在用频率代替概率后，提出思考问题，通过分组讨论由学生自己引出随机变量新

知

呈

现

分

组

讨

论

师：问题4：怎样利用吸烟和患肺癌列联表中的数据，判断吸烟与患肺癌是否有关呢？

生：思考，计算，回答

师：统计上常用等高条形图直观展示列联表数据的频率特征

师：运用Excel软件现场制作等高条形图

师：同学们通过数据和图形分析，直观判断“吸烟和患肺癌有关”，但这种直观判断的不足之处在于不知道有多大的把握认为这二者有关呢？而独立性检验则可以弥补这个不足。

师：问题5：要研究两个分类变量有关系是不容易解决的问题，既然正面很难研究，我们考虑从它的反面入手研究，即假设H0：两个分类变量无关（独立），在H0成立的条件下，能推导出a,b,c,d之间有怎样的关系？

生：分组讨论，推导出在H0成立的条件下有

K2公式中的部分结构。

有利于学生理解随机变量K，为下面提出随机变量K做好铺垫。

22

新

知

解

读

师：问题6：通过上述推导得到化成生：，那么直观上，为表示其差异性，将其转的大小能说明什么？

值让学生头脑里保持一种很清晰的意识：越小，值越小越独立，两个分类变量关系越弱；越大，越不独立，两个分类变量关系越强。

师：问题7：为了使不同样本容量的数据有统一的评判标准，统计学家们经过研究后构造了一个随机变量n(adbc)2K(ab)(ac)(cd)(bd)，其中nabcd为样本2越有利于说明两件事越“独立(无关)”，反之说明越“相关”. 容量。K的大小又能说明什么？

生：思考，齐答“K越小说明两个变量越独立（无关），K越大2224

启

发

探

究

说明两个变量越不独立（有关）”。

随机变量师：问题8：在假设“H0：两个变量无关”下，K的观测值k应该很小，但多小才算小呢？

师：这时需要一个衡量大小的临界值k0。统计学家们总结出如下的卡方临界值表：

P(K≥k0) k0

P(K≥k0) k0

22的20.50 0.455 0.05 3.841 0.40 0.708 0.025 5.024 0.25 1.323 0.010 6.635 0.15 2.072 0.005 7.879 0.10 2.706 0.001 10.828 以k0=6.635为例，下，计算出随机变量，就是说在H0成立的条件的观测值大于等于6.635的概率不超过0.01，也就是有99%的情况下其观测值是小于6.635的。

生：理解教师的讲解，参与到思想方法的理解中。

理解是本节课的难点之一，利用概率知识解读卡方临界值表中数据的含义，有助于学生理解独立性检验的基本思想. 本环节我没有按照教材的呈现顺序，而是将卡方临界值表提到前面来讲解，这样改变后能使学生首先了解随机变2量K的含义，并2能体会到如果K的观测值很大，就认为两个分类变量是有关系的合理性，为后面引出独立性检验的规则做好铺垫。达到突破难点的目的。

使学生初步体会独立性检验的整体思想，并与所学的反证法思想相对比，顺便归纳整理独立性检验的一般步骤.此问题难度较大，需要学生建立在对反证法与独立性检验的原理及操作全过程都比较熟悉的基础上才能完成。

师：问题9：从整体思路上看，独立性检验的思想与反证法的思想

有些类似之处，请将下列表格补充完整，并体会它们各自的本质及类

二者之间的区别和联系，并尝试归纳独立性检验的一般步骤。

反在假设H0下，如果推出一个矛盾，就证明了______不

比

证

法成立。

对

原

理

比

独在假设H0下，如果出现一个与H0相矛盾的小概率事

立

性件，就推断______不成立，且该推断犯错误的概率不

检超过这个小概率。

验

原归

理

5

纳

提

升

生：观察，思考，齐答。独立性检验的一般步骤：明确问题→确定犯错误概率的上界列联表→计算统计量给出结论. 师：问题10：为什么在最后表达结论时要出现“在犯错误的概率不超过的前提下”这样的词？

师：独立性检验中因为有“认为小概率事件不可能发生”的观点而存在漏洞，从而存在着犯错误的风险。我们认为犯错误的概率不会超过小概率事件的发生概率，因此在结论中会这样描述“在犯错误的概率不超过的前提下，我们认为”。

生：理解教师的讲解，参与到思想方法的理解中。

使学生意识到，犯错误概率是进行独立性检验中不可缺少的数据，并学会处理数据，建立统计观念。

通过例题解析，使学生进一步熟悉独立性检验能解决什么问题，解决步骤如何，还有解题过程的书写格式。既深化对该统计思想的理解，又掌握应用独立性检验解决问题的步骤。

各小组将各自收集的分类变量数据进行独立性检验，并展示检验结果，加深学生对独立性检验思想的理解，体验数学在实际生活中的应用。同时用学生收集的分类变量数据做练习，更能增强学生的学习兴趣。

由学生先进行小组讨论，有些学生不会利用所学知识来分析问题，通过小组讨论，借助集体的及的临界值→收集数据→整理数据→制并的观测值→比较观测值与临界值例1 在某医院，因此患心脏病而住院的665名男性病人中，有214人秃顶；而另外772名不是因为患心脏病而住院的男性病人中，有175人秃顶。利用图形判断秃顶与患心脏病是否有关系。能否在犯例

错误的概率不超过0.010的前提下认为秃顶与患心脏病有关系？

题

师：启发、引导、讲解

讲

生：思考、计算、作图

解

成

师：课前各小组都收集了你们感兴趣的分类变量的相关数据，利用

本节课我们所学的独立性检验进行判断，看各自有多大的把握认为果

它们有关系？

展

生：小组内进行检验，而后每小组由一名学生进行研究成果展示。

示

课

堂

课

后

练

习

练习：网络游戏对现代人的生活影响较大，尤其对青少年.为了解网络游戏对中学生学习成绩的影响，某地区教育主管部门从辖区初中生随机抽取了1000人调查，发现其中经常上网玩游戏的有200人，其中有80人期末考试不及格，而另外800人中，有120人不及格.问：中学生经常玩网络游戏是否影响学习？为什么？(你的结论正确率要达到99%) 6

作业： 1. 仔细阅读课本，并体会独立性检验的基本思想

2. 课本15页的“练习”

力量，增强学生对独立性检验的理解，巩固提高所学知识，体会合作学习的有效作用。

二、

教学实践心得

《独立性检验的基本思想及其初步应用》的教育价值的思考

我记得在去年，也就是在高二下半学期末，文理班先后上完《独立性检验的基本思想及其初步应用》的课程后，一位年轻的优秀的理科数学教师与我闲聊说：“独立性检验这一节内容突然插入教材中，上了有什么意义？同时，我还常常听见身边的老教师也在质疑说“独立性检验上来没什么意义！”但我又记得，一次在电视的“留学频道”的节目中介绍统计在美国高考SAT中地位重要。于是，我心中就产生疑问，开始思考这节课的教育价值到底是什么？这节课的“突然插入”是不是多余的，不必要的？还是需要部分数学教师在统计的教学上有待加强研讨、深入钻研，增加相关知识的储备呢？

在中学，统计学的教育价值是什么呢？

史宁中教授认为主要有三点：“首先，养成通过数据来分析问题的习惯。其实质是通过事实来分析问题，当遇到问题时，应当去调查研究，应当去收集数据，在此基础上进行的推断才可能客观地反映实际背景。其次，建立随机的概念。有些事情可能发生，有些事情可能不发生，这在日常生活中是大量存在的。即便如此，只要我们掌握的信息多了，也能够合理地推断实际背景。第三，学习如何去判断事情的主要因素。我已经谈到，统计学能够在一堆看似杂乱无章的数据中提炼信息、寻找规律，这就需要抓主要因素。”目前，中学统计学的核心教育价值是培养统计观念。那么，什么是统计观念呢？

《数学课程标准》（实验稿）认为统计观念主要表现在：能从统计的角度思考与数据信息有关的问题，能通过收集数据、描述数据、分析数据的过程，作出合理的决策，认识到统计对决策的作用；能对数据的来源、处理数据的方法以及由此得到的结果进行合理的质疑。

简单地说，统计观念是统计意识，统计技能和统计评判质疑能力的统一体。

统计意识，就是在现实生活中，应用统计的方法解决实际问题的一种行为的主动性或者说自觉性。统计意识是统计活动的起点，是统计教学的核心目标。没有统计意识，就谈不上统计技能，就是具有再娴熟的统计技能，但遇到具体问题可能还是想不到用统计的方法去

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寻求问题的解决。

统计技能，就是完成统计活动所必须的、在统计活动过程中所表现出来的各种能力和技能的总和，是统计活动得以顺利完成的保障。包括收集数据、整理数据、分析数据、作出决策。

收集数据——根据具体问题设计合适的方案，包括数据来源的选择（实验或调查），获取数据方法的设计（普查或抽样调查，样本如何选等）等；

整理数据——能制作表格、象形图、条形统计图、扇形统计图、折线统计图等，并了解各自的特点，在具体问题中应用；

分析数据——具备直观地分析数据特征的观察能力和计算（包括利用各种工具，如计算机）反映数据集中程度和离散程度的各种定量指标的运算能力以及对各种指标的选择能力等。

质疑能力，就是在最终的统计抉择过程中，学生应该具备对数据的来源、处理数据的方法以及由此得到的结论进行合理的质疑的能力。它包括两个方面，一方面是，对他人所提供的数据或结果的评判能力，另一方面是对自己的数据和结果的评判能力，实际上这也是一个批判和反思能力。统计的目的在于应用，因面只有具备对数据的评判质疑能力，才能形成真正有效的统计行为。

那么，本节课《独立性检验的基本思想及其初步应用》的教育价值具体又是什么呢？

一、体现了分类思想方法的渗透与统计直观的培养

分类思想方法是学习统计学的重要基础，教学中要重新借助学生熟悉的物品与生活经验。本节课中的分类变量：吸烟与不吸烟、患肺癌与不患肺癌等就涉及到分类。探究“吸烟和患肺癌是否有关系”，这个过程也涉及数据收集、数据整理与表示，可以用语言描述，也可以用表格或象形统计图来表示，本节课采用2*2列联表来表示数据，用等高条形图展示数据的频率特征。

二、让学生完整地经历收集、整理、分析、描述数据的过程

选择学生熟悉的现实的有意义的教学素材，让学生充分而完整地学习收集数据的方法，体会整理数据不同方式的优劣，学会描述分析数据的特征，是教学的一个重要目标。首先要让学生明确统计学的研究对象是数据，而不是数字。通常调查收集数据的常用方法有直接观察法、报告法、登记法等，获得一个统计对象的数据可以采用普查方式，也可以采用抽样方式。用那种方式、方法收集数据，不存在着对错之分，只有哪种方法更合适，更节约，更能获得“好”数据之别。本节课的课堂练习就是利用由学生收集的他们自己感兴趣的资料数据

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进行巩固训练的。

三、让学生理解独立性检验的基本思想方法的实际意义

每个人都有主观判断，但并不是每一个直观判断都是正确的，有时会受到表象的影响，得到一个错误的直观判断，这就需要有一个科学的评判标准。独立性检验就是一个科学的评判标准。例如甲说某两个分类变量是有关系的，那么甲说的话的可信程度有多大呢？这就是独立性检验的实际意义所在。直接证明某两个分类变量有关很困难，故从反面来证明，类似于反证法，用假设检验的思想方法来证明。

四、让学生从统计角度分析统计图表的真实性，提高学生的质疑能力，以培养统计意识。

本节课是不是还可以引导学生对自己检验出的结果产生质疑，让学生对统计方法有更深刻的认识，进一步体会科学的严谨性。比如统计可能犯错误，原因可能是收集的数据样本容量小或样本采集不合理，也可能是理论上的漏洞。又如在一次实验中，我们假设小概率事件不发生，这一点本身就值得质疑。.本节课由于时间有限，没能引导学生质疑，可以放在下一个课时，通过更多正面和反面的例子予以进行。

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