1.3 二项式定理（通用）名师教学设计

§1.5.1二项式定理

知识与技能：理解二项式定理的发现，掌握二项式定理和二项展开式的通项公式，并能用它们解决与二项展开式有关的简单问题。

过程与方法：通过实例观察分析，感悟定理的发现过程，培养学生归纳猜想，抽象概括能力；培养学生发现探求问题能力养成科学的思维方式。

情感、态度与价值观：培养学生勇于探索，勇于创新的个性品质，感受和体验数学的简洁美、和谐美和对称美。

教学重点：对二项式定理发现过程的理解，二项式定理的初步应用。

教学难点：对二项式定理发现过程的理解

教学设想：通过三个问题情景，引导学生归纳探究二项定理，让学生充分体验到归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果，而且可以启发我们发现一般性问题的解决方法，培养学生归纳猜想，抽象概括能力；培养学生发现探求问题能力养成科学的思维方式。

教学过程：

一、复习引入

问题一：三个盒子里分别放有红苹果和青苹果各一个，从每个盒子各取一个苹果，取的苹果会多少种不同情况？有多少取法？

1、取到一个红苹果；

2、取到二个红苹果；

3、取到三个红苹果；

4、都没有取到红苹果

问题二：计算(a1b1)(a2b2)(a3b3)并思考积中的每一项的产生过程，有什么特点？

(a1b1)(a2b2)(a3b3)

a1a2a3a1a2b3a1b2a3a1b2b3b1a2a3b1a2b3bb12a3bb12b3

展开式中的各项:从每个括号中各取一个字母乘积构成的. 二、情景探究 问题情境：

(a+b)1= , (a+b)2= , (a+b)3= , (a+b)4= ？ . (a+b)10= ？ .

1

学生活动

引导学生分析(a＋b)2、(a＋b)3、(a＋b)4展开过程，发现其形成规律．

（a+b）展开式中的每一项都是从（a+b）（a+b）（a+b）的每个括号里各取一个字母的乘积。

一般地，由(ab)n=（a+b）（a+b）（a+b）……（a+b）可知，其展开式是从每个括号里各取一个字母的一切可能乘积的和。可见，（a+b）的展开式中项都具有ab（r=0，1，2……n）的形式，其系数就是在（a+b）（a+b）……（a+b）的n个括号中选r个取b的方法种数。

1（ab)C0a1C1b111

021222

（ab)C2aC2abC2b30322233

（ab)C3aC13abC3abC3b

44132223344（ab)C04aC4abC4abC4abC4b

0n1n-1rn-rrnnbCn

（ab)CnaCnabCnanb三、归纳探究

0n1n112n22rnrrnn

ｎCnaCnabCnabCnabCn(a+b) =

bｎ这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式右边的多项式叫做 (a+b)的 ，其中Crn（r=0,1,2,……,n）叫做 ， 叫做二项展开式的通项，它是展开式的第 项，展开式共有 个项. 012n1.系数规律：

Cn、Cn、Cn、、Cn2.指数规律：（1）各项的次数均为n；（2）二项和的第一项a的次数由n降到0，第二项b的次数由0升到n. 3.项数规律：二项和的n次幂的展开式共有n+1个项

4.通项：Tr1Ca5.符号：a+b

四、数学应用

例1、展开(2解：

3n-rr3rnrbr（r =0.1.2·····n) n14)，并求出它的第三项的二项式系数和第三项的系数？

x104101311221231134014(2)4C42()C42()C42()C42()C42()xxxxxx

32248116234xxxx例2展开(解：

x1x)6，并求出它的第3项的二项式系数和第6项的系数？

2

(x1x)(6x1(x1)6)x3x610615335560[C6x(1)0C6x(1)1C62x4(1)2C6x(1)3C64x2(1)4C6x(1)1C6x(1)6]3x13(x66x515x420x315x26x1)x1561x36x215x2023xxx五、高考这样考

13x1、【2017山东，理11】已知

n2x的展开式中含有项的系数是54，则n=(

)

62(12x)x2、【2016年高考北京理数】在

的展开式中，作答）

的系数是___（用数字52(2xx)x3、【2016高考新课标1卷】的展开式中,

的系数是____（用数字填写）

1(x2)8x

的展开式中

4、【2016高考天津理数】8x2的系数为______(用数字作答) 1x5、【2012高考重庆理】的展开式中常数项为

2xA.353535 B. C. D.105、

1684k8k【解析】二项展开式的通项为Tk1C8(x)44得k4，所以T5()C8(1)k()kC8kx4k，令4k0，解22x11235，选B 8练习.

(x228)的展开式中x4的系数是(

) xA．16

B．70

C．560

D．1120

五、小结

1.记住二项式定理和二项展开式的特征

（1）项数：共n+1项,是关于a与b的齐次多项式

（2）指数:a的指数从n逐项递减到0,是降幂排列；b的指数从0逐项递增到n，是升幂排列。

3

2.会区别二项式系数，项的系数

3.掌握用通项公式求二项式系数，项的系数及项

六、练习：

1、教材第28页第1，2，3，4题

52、（2018年全国3卷5题）x22的展开式中x4x的系数为（

）

A．10

B．20

C．40

D．80 3、（2018年天津卷10题）在(x12x)5的展开式中，x2的系数为_________________. 4、（2018年浙江14题）二项式(+)8的展开式的常数项是_________________________

4