2.基本不等式优质课教学设计

均值不等式在生活中的应用

均值不等式是高中数学中的重要不等式，是解决最值问题的重要手段，是高考考查的重点和热点，本文将均值定理在实际生活的应用作以简单介绍供同学们学习时参考. 例

1某工厂内有一段长为14m,高为3m的旧墙，现准备利用这面旧墙建造平面图形为矩形，面积为126m2的仓库.建1m新墙的费用为a元；修1m旧墙的费用为元；拆去1m旧墙用所得材料建1m新墙的费用为元.请你设计一个方案使建筑总费用最低. 分析：设矩形利用旧墙一边的长为xm，分x14和x14两种情况讨论处理. 解析：设矩形利用旧墙一边的长为xm，则矩形的另一边长为a4126m. xa4a2（1）当x14时，则修旧墙的费用为x，拆旧墙建新墙的费用为a252(14x)，建新墙的费用为(2x14)a，

2xa(14x)a252x36a(2x14)=7a(1)(0x14)

故总费用为y=x42x4x∵0x14，∴当且仅当x36x36x360，0，由均值不等式有：2=6 4x4x4xx364x即x12(0,14)时，取等号，即当x=12时，ymi=n7a(61)=35a. (2)当(2xx14时，则修旧墙的费用为14=a47a2，建新墙的费用为25614)a，

x故总费用为y=设f(x)=x7a2527a126a(2x14)=2a(x7)(x14). 2x2x126(x14)，

x任意x1，x2[14,)，且x1x2，∴x1x20，x1x2196

则f(x1)f(x2)=x1126(x2126)=x1x2126(x2x1)

x1x2x1x2=(x1x2)(x1x2126)0

x1x2126(x14)在[14,)上x∴f(x1)f(x2)，根据函数单调性的定义知，f(x)=x是增函数，

∴当x14时，ymin=7a1262a(147)=35.5a

214比较（1）（2）可知当利用旧墙12m为矩形的一条边长时，建筑费用最低. 点评：本题是利用均值不等式及其变型形式求实际问题的最值问题，先要认真审题，领悟问题的实际背景，确定题中量与量间的关系，初步形成用那类模型解决问题的思路，明确解题方向，其次，根据题意找出量与量的不等关系，建立函数模型；第三，利用均值不等式求最值，应注意均值不等式成立的三个条件：（1）各项或各因式都为正；（2）和为常数或积为常数；（3）可以取等号，当且仅当三个条件同时满足时和为常数时积有最大值；积为常数时和有最小值，若有一个条件不满足，则不能用均值不等求最值,如本题的第二部分因不能取等号故不能均值不等式；第四步，用数学解对实际问题做出回答. 对不满足“一正二定三相等”的最值问题，可以通过分类讨论，配凑等手段变形成满足“一正二定三相等”的最值问题，在用均值不等式求解. 跟踪练习：

1.某厂某三年的产值中，第二年比第一年增长p%,第三年比第二年增长q%，设两年的平均长率为s%,则s与pq大小为（

）.

2pqpqs

D. s

C. 22A. pqs

2

B.pqs

2

2.用钢条制做一个高为1m体积为4m3长方体型的容器的框架，则最少需要钢条（

）m. A.20

B.48

C.5

D.36 3.作一个面积为1平方米，形状为直角三角形的框架，有下列四种长度的的钢管供选择，其中最为合理（够用且最省料）的是（

）. A.4.7米

B.4.8米

C.4.9米

D.5米

4.要用钢筋做一个面积为s平方米的扇形广告框架，则最少需要使用钢筋

米. 5.用长为24米的钢丝制做一个底面是正方形的长方体形的框架，要使长方体形的框架的体积最大，则底面矩形的边长为

米. 6.一份印刷品，要求排版面积（矩形）为432平方厘米。它的左、右两边都留有4厘米的空白，上、下底部都留3厘米的空白（如图）,则矩形长

厘米，宽为

厘米时，用纸最省. 7.某工厂购买某种设备时费用为10万元,每年的设备运营费为9千元,设备的维修费为第一年2千元,第二年4千元……依每年2千元递增,问该设备使用多少年报废最合算?(使用多少年平均费用最少). 8.某单位建造一间地面面积为12m2的背面靠墙的矩形小房，房屋正面的造价为1200元/m2，房屋侧面的造价为800元/m2，屋顶的造价为5800元，如果墙高为3m，且不计房屋背面的费用，则问怎样设计房屋能使总造价最低，最低总造价是多少元。

参考答案：

1.答案：B.解答：设第一年产值为A元，则第二年产值为A(1p%)，第三年产值为A(1p%)(1q%),按平均增长率计算则第三年的产值为A(1s%)2，

由题知，A(1p%)(1q%)=A(1s%)2

1p%1q%2)

21p%1q%pq两边开方得1s%，即s22即(1s%)2=(1p%)(1q%)(，当且仅当pq时，取等号. 故选B. 2.A解答：设长方体的底面矩形的长为x，则矩形的宽为，

总用料为y=44x4x1644(x0)=44(x)442x=20，

xxx4x当且仅当x即x=2时，ymin=20，故选A. 3.C解答：设一条直角边长为x，则另一条直角边长为，斜边长为x24x22x，则用钢管量为yxx22x2x422=2224.828

(x0)2x2xxxx2当且仅当x即x2时，ymin4.828，故选C. 4. 答案：

4s解答：设扇形的半径为x，则扇形的弧长为的周长为y=2x22x2sx2s(x0)

x2s，则扇形x=4s

2s即xs时，ymin=4s. x当且仅当2x244x4x5.答案：2米，解答：设底面正方形的边长为x，则高为=62x

4xx62x3)=8(m3)

长方体的体积为V=x2(62x)(0x3)(3当且仅当x=x=62x即x2时，高为2，Vmax=8 6. 答案：24厘米，18厘米，解答：

设排版矩形的长为x cm，宽为y cm，则用纸的长为（x＋8）cm，宽为（y＋6）cm，记纸面积为S，则

xy432

s(x8)(y9)s=xy6x8y48=4806x8y48026x8y=786（cm2）

当且仅当6x8y，即x＝24，y＝18时，smin=786 ∴纸的长为32cm，宽为24cm，纸的面积为768cm2

7.解答：设该设备使用x年报废，前x年的平均费用为y万元. 由题知，每年的使用费及维修费依次构成首项为1.1公差为0.2的等差数列，有等差数列前n项和公式得，前x年的总使用费及维修费为0.1x2x，

则前x年的平均费用为

100.1x2x1010y=(x0)=0.1x120.1x1=3

xxx当且仅当0.1x10即x=10x时，ymin=3

∴该设备使用10年报废最合算. 8.解答：设房屋正面底边长为x，则侧面底边长为3x1200=3600x，侧面造价为2312x，正面造价为1257600800=，

xx总造价为y=3600x+=3600(x57600+5800（x0）

x1616)580036002x5800=34600（元）

xx16即x=4x当且仅当x时，ymin=34600元.

∴房屋正面墙长为4m时，总造价最低，最低值为34600元.