2.基本不等式教案和课堂实录

第四节

基本不等式

学习目标

1.理解基本不等式的内容及证明.2.能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小.3.能初步运用基本不等式证明简单的不等式.

1．基本不等式ab≤a＋b

2(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0．

(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b．

2．几个重要的不等式

ba(1)a2＋b2≥ 2ab(a，b∈R)；(2)a＋b≥2(a，b同号)；

a＋b2a＋b2a＋b(3)ab≤(a，b∈R)；(4)22≤2(a，b∈R)．

3．算术平均数与几何平均数

a＋b设a＞0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为ab，基本不等式可叙述2为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．

4．利用基本不等式求最值问题

已知x>0，y>0，则

(1)如果xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2p(简记：积定和最小)．

q2(2)如果x＋y是定值q，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大)．

4

[小题体验]

1．(教材习题改编)设x，y∈R＋，且x＋y＝18，则xy的最大值为________．

答案：81 2．若实数x，y满足xy＝1，则x2＋2y2的最小值为________．

解析：x2＋2y2＝x2＋(2y)2≥2x(2y)＝22，

所以x2＋2y2的最小值为22．

答案：22

1．使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可．

2．“当且仅当a＝b时等号成立”的含义是“a＝b”是等号成立的充要条件，这一点22

至关重要，忽略它往往会导致解题错误．

3．连续使用基本不等式求最值，要求每次等号成立的条件一致．

[小题纠偏]

1．判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)当a≥0，b≥0时，a＋b≥ab(

) 2a＋b≥ab成立的条件是相同的(

) 2(2)两个不等式a2＋b2≥2ab与xy(3)x＞0且y>0是＋≥2的充要条件(

) yx答案：(1)√

(2)×

(3)×

2．若f(x)＝x＋5A．

27C．

2答案：B 13．函数f(x)＝x＋的值域为____________________．

x答案：(－∞，－2]∪[2，＋∞)

考点一

利用基本不等式求最值重点保分型考点——师生共研

[典例引领]

111．(2017·宜春中学与新余一中联考)已知x，y∈R＋，且x＋y＋＋＝5，则x＋y的最xy大值是(

) A．3

C．4 11解析：选C

由x＋y＋x＋y＝5，

x＋y得5＝x＋y＋xy，

∵x＞0，y＞0，

7B．

29D．

21(x>2)在x＝n处取得最小值，则n等于(

) x－2B．3

D．4

∴5≥x＋y＋x＋y4＝x＋y＋，

x＋yx＋y22∴(x＋y)2－5(x＋y)＋4≤0，

解得1≤x＋y≤4，

∴x＋y的最大值是4．

2．(2017·常州调研)若实数x满足x＞－4，则函数f(x)＝x＋解析：∵x＞－4，∴x＋4＞0，

99∴f(x)＝x＋＝x＋4＋－4≥2 x＋4x＋4当且仅当x＋4＝答案：2 113．已知a>0，b>0，a＋b＝1，则a＋b的最小值为________．

解析：∵a>0，b>0，a＋b＝1，

ba11a＋ba＋b∴a＋b＝a＋b＝2＋a＋b≥2＋2 1＝b＝时等号成立．

2答案：4 [由题悟法]

利用基本不等式求最值的方法

利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或积为定值，主要有两种思路：

(1)对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解．常用的方法有：拆项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等．

(2)条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值．

[即时应用]

31．设0＜x＜，则函数y＝4x(3－2x)的最大值为________．

2解析：y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]

2x＋3－2x29≤22＝2，

3当且仅当2x＝3－2x，即x＝时，等号成立．

4330，，

又∵∈42ba11·＝4，即aba＋b的最小值为4，当且仅当a9x＋4·－4＝2，

x＋49的最小值为________．

x＋49，即x＝－1时取等号．

x＋4

390＜x＜的最大值为．

∴函数y＝4x(3－2x)229答案：

22．(2017·郑州质检)已知正数x，y满足x2＋2xy－3＝0，则2x＋y的最小值是________．

3－x2解析：由题意得y＝，

2x3－x23x2＋331∴2x＋y＝2x＋＝＝x＋x≥3，

2x2x2当且仅当x＝y＝1时，

等号成立．

答案：3 113．若[典例引领]3中条件和结论互换，即：已知a＞0，b＞0，＋＝4，则a＋b的最ab小值为________．

1111解析：由＋＝4，得＋＝1．

ab4a4b111ba1＋(a＋b)＝＋＋≥＋2 ∴a＋b＝4a4b24a4b2答案：1 考点二

基本不等式的实际应用重点保分型考点——师生共研

[典例引领]

首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本1y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y＝x2－200x＋80 000，且每处理一2吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．

(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？

(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损？

y180 000解：(1)由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为x＝x＋x－200≥2 2180 000x·x－200＝200，

2180 000当且仅当x＝x，即x＝400时等号成立，

2ba1·＝1．当且仅当a＝b＝时取等号．

4a4b2

故该单位月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元．

(2)不获利．设该单位每月获利为S元，

12则S＝100x－y＝100x－2x－200x＋80 000

11＝－x2＋300x－80 000＝－(x－300)2－35 000，

22因为x∈[400,600]，所以S∈[－80 000，－40 000]．

故该单位每月不获利，需要国家每月至少补贴40 000元才能不亏损．

[由题悟法]

解实际应用题的3个注意点

(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．

(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值．

(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．

[即时应用]

某化工企业2017年年底将投入100万元，购入一套污水处理设备．该设备每年的运转费用是0．5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．设该企业使用该设备x年的年平均污水处理费用为y(单位：万元)．

(1)用x表示y；

(2)当该企业的年平均污水处理费用最低时，企业需重新更换新的污水处理设备．则该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备．

解：(1)由题意得，y＝即y＝x＋100＋0.5x＋2＋4＋6＋…＋2x，

x100＋1．5(x∈N*)．

x(2)由基本不等式得：

100y＝x＋x＋1．5≥2 100x·x＋1．5＝21．5，

100当且仅当x＝x，即x＝10时取等号．

故该企业10年后需要重新更换新的污水处理设备．

考点三

利用基本不等式求参数的取值范围重点保分型考点——师生共研

[典例引领]

a1．已知函数f(x)＝4x＋x(x＞0，a＞0)在x＝3时取得最小值，则a＝________．

解析：(1)∵x＞0，a＞0，

a∴f(x)＝4x＋≥2 xa当且仅当4x＝，

x即4x2＝a时，f(x)取得最小值．

又∵f(x)在x＝3时取得最小值，

∴a＝4×32＝36．

答案：36 x2＋ax＋112．已知函数f(x)＝(a∈R)，若对于任意的x∈N*，f(x)≥3恒成立，则a的x＋1取值范围是________．

x2＋ax＋118x＋＋3．设g(x)解析：对任意x∈N，f(x)≥3，即≥3恒成立，即a≥－xx＋1*a4x·＝4a，

x8817＝x＋x，x∈N*，则g(x)＝x＋x≥42，当x＝22时等号成立，又g(2)＝6，g(3)＝．∵3g(2)＞g(3)，∴g(x)min＝8178x＋＋3≤－，

．∴－x3388－，＋∞．

∴a≥－，故a的取值范围是338－，＋∞

答案：3[由题悟法]

求解含参数不等式的求解策略

(1)观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或取值范围．

(2)在处理含参数的不等式恒成立问题时，往往将已知不等式看作关于参数的不等式，体现了主元与次元的转化．

[即时应用]

1a1．已知不等式(x＋y)x＋y≥9对任意的正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为(

) A．2

C．6 B．4 D．8 1ayax2＋解析：选B

(x＋y)＝1＋a＋＋≥1＋a＋2a＝(a＋1)(x，y，a＞0)，当且xyxy1＋a的最小值为(a＋1)2，于是(a＋1)2≥9恒成仅当y＝ax时取等号，所以(x＋y)·xy立．所以a≥4，故选B．

2．已知正数x，y满足x＋22xy≤λ(x＋y)恒成立，则实数λ的最小值为________．

x＋22xy解析：依题意得x＋22xy≤x＋(x＋2y)＝2(x＋y)，即≤2(当且仅当x＝2y时x＋yx＋22xyx＋22xy取等号)，即的最大值为2．又λ≥，因此有λ≥2，即λ的最小值为2．

x＋yx＋y答案：2