二 一般形式的柯西不等式教学设计方案

二

一般形式的柯西不等式

对应学生用书P32

名称

三维形式柯西不等式

形式

设a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R，则(a21＋2222a22＋a3)(b1＋b2＋b3)≥(a1b1＋a2b2＋2等号成立条件

当且仅当b1＝b2＝b3＝0或存在一个实数k使得ai＝kbi(i＝1,2,3) a3b3)

222bn是实数，则(a2(b21＋a2＋…＋an)·1＋b22＋…＋b2n)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)

一般形式柯西不等式

设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，当且仅当bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个实数k，使得ai＝kbi(i＝1,2，…，n) [说明]

一般形式的柯西不等式是二维形式、三维形式、四维形式的柯西不等式的归纳与推广，其特点可类比二维形式的柯西不等式来总结，左边是平方和的积，右边是积的和的平方．在使用时，关键是构造出符合柯西不等式的结构形式．

对应学生用书P32

111n2[例1]

设x1，x2，…，xn都是正数，求证：＋＋…＋≥. x1x2xnx1＋x2＋…＋xn[思路点拨]

根据一般柯西不等式的特点，构造两组数的积的形式，利用柯西不等式证明．

111＋＋…＋

[证明]

∵(x1＋x2＋…＋xn)xxx12n利用柯西不等式证明不等式

＝[(x1)2＋(x2)2＋…＋(xn)2]12121＋＋…＋2≥

x1x2xnx1·1＋x2·1＋…＋xn·12＝n2，

x1x2xn

111n2∴＋＋…＋≥. x1x2xnx1＋x2＋…＋xn

柯西不等式的结构特征可以记为：

(a1＋a2＋…＋an)·(b1＋b2＋…＋bn)≥(a1b1＋

a2b2＋…＋anbn)2. 其中ai，bi∈R＋(i＝1,2，…，n)，在使用柯西不等式时要善于从整体上把握柯西不等式的结构特征，正确地配凑出公式两侧的数是解决问题的关键．

1．已知a，b，c，d∈R＋，且a＋b＋c＝1，求证：3a＋1＋3b＋1＋3c＋1≤32. 证明：根据柯西不等式，有

(3a＋1＋3b＋1＋3c＋1)2≤

(1＋1＋1)(3a＋1＋3b＋1＋3c＋1)＝18，

∴3a＋1＋3b＋1＋3c＋1≤32.

[例2]

(1)已知x，y，z∈R＋，且x＋y＋z＝1. 149求

＋

＋

的最小值．

xyz(2)设2x＋3y＋5z＝29. 求函数μ＝2x＋1＋3y＋4＋5z＋6的最大值．

149149＋＋(x＋y＋z)．

[思路点拨]

(1)利用＋＋＝xyzxy8(2)利用(2x＋1＋3y＋4＋5z＋6)2＝

1×2x＋1＋1×3y＋4＋1×5z＋6)2. [解]

(1)∵x＋y＋z＝1，

149149＋＋(x＋y＋z) ∴＋＋＝xyzxyz≥利用柯西不等式求最值

123·x＋·y＋·z2

xyz＝(1＋2＋3)2＝36. yz当且仅当x＝＝，

23

111即x＝，y＝，z＝时取等号．

632149所以＋＋的最小值为36. xyz(2)根据柯西不等式，有

(2x＋1·1＋3y＋4·1＋5z＋6·1)2

≤[(2x＋1)＋(3y＋4)＋(5z＋6)]·(1＋1＋1) ＝3×(2x＋3y＋5z＋11) ＝3×40 ＝120. 故2x＋1＋3y＋4＋5z＋6≤2 30，

当且仅当2x＋1＝3y＋4＝5z＋6，

372822即x＝，y＝，z＝时等号成立．

6915此时μmax＝2 30.

利用柯西不等式求最值时，关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果．同时，要注意等号成立的条件．

1＋1＋1＋1的最小值为________．

2．设a，b，c，d均为正实数，则(a＋b＋c＋d)·abcd1＋1＋1＋1

解析：(a＋b＋c＋d)·abcd12121212＝[(a)＋(b)＋(c)＋(d)]·＋＋＋≥

abcd2222a·1＋b·1＋c·1＋d·12＝(1＋1＋1＋1)2＝42＝16，

abcd当且仅当a＝b＝c＝d时取等号．

答案：16 3．已知：x，y，z∈R＋且x＋y＋z＝2，则x＋2y＋3z的最大值为(

) A．27

C．4

B．23

D．5 解析：∵(x＋2y＋3z)2＝(1×x＋2y＋3·z)2≤(12＋22＋(3)2)[(x)2＋(y)2＋111当且仅当x＝y＝z＝时取等号. (z)2]＝8(x＋y＋z)＝16.434

∴x＋2y＋3z≤4. 答案：C 4．把一根长为12 m的细绳截成三段，各围成三个正方形．问：怎样截法，才能使围成的三个正方形面积之和S最小，并求此最小值．

xy解：设三段绳子的长分别为x，y，z，则x＋y＋z＝12，三个正方形的边长分别为，，44x2y2z21222z均为正数，三个正方形面积之和：S＝4＋4＋4＝16(x＋y＋z)．

4∵(12＋12＋12)(x2＋y2＋z2)≥(x＋y＋z)2＝122，

1即x2＋y2＋z2≥48.从而S≥×48＝3. 16xyz当且仅当＝＝时取等号，

111又x＋y＋z＝12，

∴x＝y＝z＝4时，Smin＝3. 故把绳子三等分时，围成的三个正方形面积之和最小，最小面积为3 m2.

对应学生用书P33 1111．若a，b，c∈R＋，且＋＋＝1，则a＋2b＋3c的最小值为(

) a2b3cA．9 C.3

B．3

D．6 111＋＋≥(1＋1＋1)2＝9，

解析：柯西不等式得a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c)a2b3c∴a＋2b＋3c的最小值为9. 答案：A 2．已知a1

2＋a2

2＋…＋an

2＝1，x1

2＋x2

2＋…＋xn

2＝1，则a1x1＋a2x2＋…＋anxn的最大值是(

) A．1 C．3

B．2

D．4 222222解析：(a1x1＋a2x2＋…＋anxn)2≤(a

1＋a

2＋…＋a

n)(x

1＋x

2＋…＋x

n)＝1×1＝1，当x1x2xn且仅当＝＝…＝＝1时取等号．

a1a2an∴a1x1＋a2x2＋…＋anxn的最大值是1. 答案：A

3．已知a2＋b2＋c2＋d2＝5，则ab＋bc＋cd＋ad的最小值为(

) A．5 C．25

B．－5

D．－25 解析：(ab＋bc＋cd＋da)2≤(a2＋b2＋c2＋d2)·(b2＋c2＋d2＋a2)＝25，当且仅当a＝b＝c5＝d＝±时，等号成立．

2∴ab＋bc＋cd＋bd的最小值为－5. 答案：B 4．(湖北高考)设a，b，c，x，y，z是正数，且a2＋b2＋c2＝10，x2＋y2＋z2＝40，ax＋a＋b＋cby＋cz＝20，则＝(

) x＋y＋z1A.

41C.

21

B.

33

D.

4ab解析：由柯西不等式得，(a2＋b2＋c2)(x2＋y2＋z2)≥(ax＋by＋cz)2＝400，当且仅当＝＝xya＋b＋c1c1＝时取等号，因此有＝. z2x＋y＋z2答案：C 5．已知：2x＋3y＋z＝8，则x2＋y2＋z2取得最小值时，x，y，z形成的点(x，y，z)＝________. 8232解析：由柯西不等式(2＋3＋1)(x＋y＋z)≥(2x＋3y＋z)，即x＋y＋z≥＝. 1472222222222xy当且仅当＝＝z时等号成立．又2x＋3y＋z＝8，

238124解得：x＝，y＝，z＝，

7778124所求点为7，7，7. 8124答案：7，7，7

49366．设a，b，c为正数，则(a＋b＋c)a＋b＋c的最小值是________．

4936解析：(a＋b＋c)a＋b＋c

＝[(a)2＋(b)2＋(c)2]223262＋＋

abc236≥a·＋b·＋c·2

abc＝(2＋3＋6)2＝121.

abc当且仅当＝＝＝k(k为正实数)时，等号成立．

236答案：121 7．已知a，b，c∈R＋且a＋b＋c＝6，则2a＋2b＋1＋2c＋3的最大值为________．

解析：由柯西不等式得：(2a＋2b＋1＋2c＋3)2＝(1×2a＋1×2b＋1＋1×2c＋3)2≤(12＋12＋12)(2a＋2b＋1＋2c＋3)＝3(2×6＋4)＝48. 当且仅当2a＝2b＋1＝2c＋3，

即2a＝2b＋1＝2c＋3时等号成立．

8137又a＋b＋c＝6，∴a＝，b＝，c＝时，

3662a＋2b＋1＋2c＋3取得最大值43. 答案：43 8．在△ABC中，设其各边长为a，b，c，外接圆半径为R，求证：(a2＋b2＋11122＋2＋2c2)≥36R. sinAsinBsinCabc证明：∵＝＝＝2R，

sin Asin Bsin C1112＋2＋∴(a2＋b2＋c2)sinAsinBsin2C

abc22＋＋≥＝36R. sin Asin Bsin C9．求实数x，y的值使得(y－1)2＋(x＋y－3)2＋(2x＋y－6)2取到最小值．

解：由柯西不等式，得

(12＋22＋12)×[(y－1)2＋(3－x－y)2＋(2x＋y－6)2]

≥[1×(y－1)＋2×(3－x－y)＋1×(2x＋y－6)]2＝1，

1即(y－1)2＋(x＋y－3)2＋(2x＋y－6)2≥. 6y－13－x－y2x＋y－6当且仅当＝＝，

12155即x＝，y＝时，上式取等号．

261此时有最小值. 610．已知实数a，b，c，d满足a＋b＋c＋d＝3，a2＋2b2＋3c2＋6d2＝5，求a的最值．

解：由柯西不等式，

111＋＋≥(b＋c＋d)2，

有(2b2＋3c2＋6d2)236即2b2＋3c2＋6d2≥(b＋c＋d)2，

由条件可得，5－a2≥(3－a)2，

解得1≤a≤2，

当且仅当2b3c6d＝＝时等号成立，

111236111代入b＝，c＝，d＝时，amax＝2，

23621代入b＝1，c＝，d＝时，amin＝1. 3

3