1.3 二项式定理（通用）特级教师教学实录

1.3.1《二项式定理》教学设计

【教

材】人民教育出版社人教A版

【教学目标】

知识与技能：

理解并掌握二项展开式的排列规律；掌握二项展开式、二项式系数的概念以及通项公式；熟练掌握二项式定理及其应用。

过程与方法：

通过布置课前任务来培养学生的自学能力；通过让学生讨论、讲解来训练学生的语言表达能力和逻辑思维能力；通过让学生解决生活或专业中与数学相关的问题来培养学生的分析问题、解决问题的能力。

情感态度与价值观：

通过让学生解决一些生活或专业中的问题，让学生感悟数学的实用性；通过小组活动，培养学生的团队精神；通过让学生解决一系列层层深入的问题，培养学生积极探索勇于创新的精神。

【教学重点】二项式定理。

【教学难点】二项式定理的应用。

【突破难点的关键】通过多媒体演示、类比举例等手段让抽象的概念具体化。

【教学方法】探究式问题教学法。此法就是把学习问题与学生的学习活动相结合，教师引导学生发现问题、分析问题、解决问题，从而使学生独立地、创造性地完成学习任务。

【教

具】多媒体投影仪，实物投影仪。

教

学

过

程

【知识回顾】组合和组合数、组合数公式

【引入新课】

一、观察探究

1.试一试

请观察这4个展开式，说说它们有哪些规律？

双边活动

教师提问

学生回答

教师启发

学生观察

讨论解决.

（ab)2ababa22abb2

教师从各个角度分(ab)3(ab)(ab)(ab)a33a2b3ab2b3

项启发归纳.

(ab)4a44a3b6a2b24ab3b4

学生回答.

n(ab)?

2.规律探究

展开式的项数：每个展开式的项数恰好比(a+b)的次数多1。

a与b在各项中的次数：

1. 在每项中的次数是降幂排列，最高次数恰好等于(a+b)的次

数，最低次数为零；

2.

在每项中的次数是升幂排列，最低次数为零，最高次数等于

(a+b)的次数，且展开式中每一项a与b的次数和都等于(a+b)

的次数。

教

学

过

程

双边活动

展开式系数的规律：

(a+b)2展开式有三项，它们的系数分别为1,2,1，也就是

3(a+b)展开式有四项，它们的系数分别为1,3,3,1，也就是

(a+b)4展开式有五项，它们的系数分别为1,4,6,4,1，也就是教师总结引入二项式定理

总之，展开式中各项的系数都可用组合数

来表示，其中n二项展开式、二项恰好等于(a+b)的次数，m恰好等于展开式中b的次数。

式系数概念理解和根据以上分析，可以猜想(a+b)5的展开式为

通项公式的理解记忆

二、新知学习

启发寻找识记策略

二项式定理

n(a+b)

n1n-12n-22rn-rrnn=C0a+Cab+Cab++Cab++Cbnnnnn

学生对照二项式定上述公式叫做二项式定理. 理回答

1.

右边多项式叫(a+b)n的二项展开式,共有n+1项. 教师逐项分析确定

2.二项式系数：

012rnCn,Cn,Cn,Cn,Cn

3.二项式通项公式：

rnrrTr1Cnab

4. 在二项式定理中，如果a=1,b=x,则得到公式：二项式定理应用特

例

教师解释

022nn（1+x)nCn+C1xCx...Cx.nnn

学生回答

应用

5（12x)例1：

求

的二项展开式.

解：由二项式定理有

学生自行解答

5001122（12x)C(2x)C(2x)C(2x)555

334455C(2x)C(2x)C(2x)555

2345110x40x80x80x32x

教

学

过

程

5

若展开（12x)呢？

双边活动

教师引领学生一起审题，分析运用通项公式

教师启发

学生讨论

说明系数和二项式系数的区别

1

的二项展开式.例2：

求



2xx

6解：先化简在运算

12x12xxx66

162x1x3

=106152433[C(2x)C(2x)C(2x)C(2x)6666x3

6012123xxx

42560C(2x)C(2x)C(2x)]

666

例3：

7求(1+2x)的展开式的

⑴第4项；

(2）第4项的二项式系数；

(3）第4项系数.

解：

(1+2x)7

的通项为：Tr+1=C7r·17-r· (2x)r

T3+1=C73·17-3· (2x)3 =35×23×x3=280x3

练习1：

5(1-2x)展开式中的第三项是

=64x3192x2240x160

222T21C（2x)40x

52第三项的二项式系数是

C510

第三项的系数是

1练习2：求

(x)9的二项展开式中x3的系数。

x解：展开式的通项为

2C52240

教

学

过

程

双边活动

教师分析

学生解答

重点练习

Tr11r)

xr92r(1)rC9x.r9rC9x(根据题意，有9-2r=3,解得r=3.因此，x3的系数是

9873(1)3C9(1)384.

3!r注：二项展开式中第r+1项的系数与第r+1项的二项式系数Cn是两个不同的概念。

小结：

二项式定理

二项式系数

二项展开式的通项公式

二项式定理的应用

作业：

课本P36 习题A组

课后

记

讲解二项式定理的结构特征从“三数”角度分析，明确二项式系数的概念，区别好系数概念，重点要求学生掌握好通项公式的运用。