3.1.2 复数的几何意义教案设计

基于核心素养下数学史融入高中数学概念课的教学案例

——以“数系的扩充和复数的概念”为例

甘肃省天水市第一中学

刘怡

《普通高中数学课程标准》指出：“通过在高中阶段数学文化的学习，学生将初步了解数学与人类社会发展之间的相互作用，体会数学的科学价值、应用价值、人文价值，开阔视野，寻求数学进步的历史轨迹，激发对于数学创新原动力的认识，受到优秀文化的熏陶，从而提高自身的文化素养和创新意识。”

数学史蕴含了数学知识的发展、数学思想的凝练、数学技能的提升、数学思维的转变、数学态度的端正，所以在一定程度上具有“立德树人”的价值，体现了数学核心素养的取向，它引导教学更加关注育人目的，更加注重培养学生核心素养。

“数系的扩充和复数的概念”这节课蕴含着丰富的数学文化资源，通过挖掘史料，引导学生追寻数学家的足迹，体验数学家的思维过程，培养学生的理性思维。但是实际教学中，不少教师对数学概念所蕴含的数学史及数学文化都知之甚少，从而错失了培养学生思维和提升数学文化素养的良机。因此，笔者从数学文化的视角出发，结合学情，运用数学史的有效融入方式，尝试数学概念的教学，丰富概念的内涵和外延，从而提升学生的数学核心素养。

一、用数学史引入课题，了解数学概念的文化内涵。

史料一：三次数学危机：

历史上数学的发展有顺利也有曲折，大的挫折也叫数学危机。每一次危机会引发数学家对当时数学基础知识的一次质疑，而每一次危机的解决就是一次思想解放，一次巨大的科学进步，从而大大推动了数学学科和人类社会的发展。

第一次危机：

2

的发现。——人们发现了无理数，推翻了毕达哥拉斯的“万物皆数”

和

“可公度”的言论，实现了数系的一次扩充，即从有理数集扩充到实数集。

第二次危机：无穷小量是0还是非0。

引发极限理论的研究，最终促进微积分的创立。

第三次危机：罗素悖论（理发师悖论）

一位理发师发誓：“理发师只给不给自己理发的人理发。”

问题：那么理发师该不该给自己理发？

这次危机与19世纪康拓创立的集合理论相矛盾，至今仍未解决，期待同学们将来为之钻研奋斗！

设计意图：第一次数学危机涉及到数系的扩充与本节课教学背景有关。第一，二次危机学生已经在之前学习中有所了解。第三次危机是为了激发学生的学习理想，迎接科学的挑战！

史料二：数系的发展史

概述：原始社会人类在生产劳动中用结绳计数，刻痕计数等方式中认识到了自然数的存在，随着社会的发展，需要分配与更精确的丈量土地，于是产生了分数，在贸易中又存在计算盈利与亏损等问题，于是负数诞生了。从15世纪到19世纪人类对小小的负数的争论整整花了400多年!从公元前5世纪，毕达哥拉斯学派弟子希帕斯发现无理数，到彻底被人们接受，认识也是在19世纪，经历了漫长的认识之路。16世纪，人们在讨论一元二次方程、一元三次方程的求根公式时，涉及到负数开平方的问题，数学家引入了虚数，同时认识到实数集还可以扩充到复数集。

人类科学发展史上，对数系的扩充一方面是生产生活的需要，另一方面也是数学本身发展的需要。数与数之间的联系是通过一些运算建立起来的，如果没有运算，数不过是一些孤立的符号。数系的扩充进程也和我们目前教科书所学的顺序其实是不一样的，并不是一帆风顺，直线发展的。16世纪的数学家们时常被负数，无理数，还有一类新生的数即今天即将学习的虚数所困扰，它们令数学家们心力交瘁，一筹莫展。历史往往是发现真理容易，而接受真理却很困难。数学家花了一千多年才理解了负数，无理数，花了三百年才理解了复数！

设计意图：了解数学家认识数系扩充的历史，叙述数学家的困难、挫折和失败，能使学生对所学知识产生崇尚之情，并且获得真知灼见和探究问题的勇气，并且不因失败而气馁。

史料三：虚数的发现。

16世纪，数论快速发展，为了解决像x10这样的方程在实数系无解的问题，数学家们开始研究负数开平方根的问题，引入了一种新数，法国数学家笛卡尔给这些数起名叫“虚数”，与“实数”相对应。，-121等这些数都可以表示成15-1，，引入虚数后，-152121-1这样的形式，即任何一个负数开平方根，都可以表示成一个实数与-1的乘积的形式。因此，把-1看做为虚数的单位。后来欧拉首次创用符号“i”来表示-1，所以i 也就规定成了虚数的单位。

i11i今天这样的形式。这种表示即简洁又有特点。

虚数就表示成15i，121发现一类新的数——虚数后，数学家像研究实数运算率那样研究虚数的运算。还发现了许多其他形式的虚数。把实数a与i相加,结果记作ai;把实数b与i相乘,结果记作bi；a与

bi相加，结果记作a+bi,等等。由于加法和乘法运算律仍然应该成立，从而这些运算的结果都可以写成abi(a,bR)的形式。并且还注意到实数a与数i,也可以看作是是a+bi的特殊形式。所以实数系经过扩充后得到的新数集记作Cabia,bR.把它叫做复数集。

设计意图：引导学生了解“虚数”并不是虚幻的数，正如恩格斯所说虚数是正确数学运算的必然结果。虚数是从求解方程的实践中产生的，而求解方程又是人类在生产实践和科学实验中经常要遇到的数学问题。因此虚数不“虚”，它是来源于实践的一种新数。

人教A版课本很简洁地提到“引入一个新数i,使是方程的根，即使i1,最后在复数定义后直接说i为虚数的单位。”这种直接定义的形式，使初学者看不到数学概念生成的合理性，2

适当介绍概念的数学史，有利于学生更加深刻理解概念的内涵和感悟学习新概念的意义。

二、复数的概念

我们把集合Cabia,bR中的数，即形如abi(a,bR)的数叫做复数，其中叫做虚数单位.全体复数所成的集合C叫做复数集. 复数通常用字母z表示，即zabi(a,bR),叫做复数的代数形式。其中a叫复数的实部，b叫复数的虚部。

规定：任两复数abicdi相等的充要条件是ac且bd（a,b,c,dR）

问题1：你能例举一些复数吗？并且说明复数的实部和虚部？

设计意图：学生在例举中容易忽略一些特殊情形，比如实数，0，还有形如bi这样的数。通过适量的例举，引导学生关注实数也是复数，同时强化实部，虚部的理解。

问题2：你能从上述例子中归纳出复数有几种类型？

设计意图：引导学生归纳，提高抽象概括能力，从而理解复数的分类。

实数（b0）复数（abi）纯虚数（a0）

虚数（b0）非纯虚数（a0）问题3：你能用韦恩图画出复数集，实数集，虚数集，纯虚数集之间的关系吗？

设计意图：从集合角度，认识几种数集之间的包含关系。

例题1.实数m取什么值时，复数zm1(m1)i

是（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数

设计意图：强化复数的概念和分类. 三、复数的几何意义

思考：我们知道实数与数轴上的点一一对应，因此，实数可用数轴上的点来表示，类比实数的几何意义，复数的几何意义是什么呢？

追寻数学家的足迹：首先揭开虚数神秘面纱的代表人物是英国沃利斯，他在1685年出版的《代数中》，认为直线上找不到虚数的表示，必须转到平面上去找.后来，1797年挪威的业余数学家维塞尔，在平面直角坐标系中引入实轴和虚轴，建立了复平面。（即x轴叫实轴，y轴叫做虚轴，显然实数轴上的点都表示实数，除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数）。并且把复数abi与向量OM对应起来，从而建立了复数的几何表示。如图1所示

yMrybZ:a+bibOaxOax

图

1

图

2

第二位是瑞士自学成才的业余数学家阿尔冈，他引入复数的模，（即图1中向量OM的长r，）使得复数几何表示进一步简洁，同时成功的解释了复数的运算意义。

第三位是16世纪德国数学权威高斯，他提出直角坐标平面上的点与复平面的点一一对应，首先给出了“复数这个名称”，更加清晰的表达了复数的几何形式，即将复数abi表示成平面上的一个点a,b,从而明确了复平面的概念（如图2），至此复数才开始被广泛接受并应用。人们为了纪念高斯的卓越贡献，称复平面为“高斯平面”。

说明：课本在边角框图中简单的介绍了一些对复数做出巨大贡献的科学家名字，但是并没有说明具体的内容，笔者认为教师有必要以史为据，渗透知识的同时，让学生从中感悟数学家的精神，形成理性思维。

综上，我们从中得到3点信息：

1、

一一对应复数zabi复平面内的点Z(a,b)

2、

一一对应复数zabi平面向量OM

3、复数zabi(a,bR)的模，记作z或abi.由模的定义可知zra2b2(r0)，

其中前两个就是复数的几何意义，教师可以从正反两方面举例说明。为了方便起见，我们常把复数zabi说成点Z或说成向量OZ,并且规定相等向量表示同一个复数.

四、课堂思考

1、复数能比较大小吗？

设计意图：强化复数的分类意识。学生课堂出现的问题是贸然的回答“是”或“否”但是又说不出理由。教师需要引导学生从复数的分类，还有几何意义这两个角度去思考答案。经过启发，学生不难发现，如果两复数是实数肯定能比较大小，如果是虚数，虚数是在无序的，所以无法比较大小，当然实数与虚数也不能比较大小。

2、复数的模能比较大小吗？

设计意图：强化模的概念，复数的模是实数，是长度，可以比较大小。

3、复数能像实数那样进行加，减，乘，除运算吗？

设计意图：承上启下，启发学生课后用类比的方法，自主探究复数的运算，为下节课做铺垫。

五、课堂练习：

1、如果（xy）(y1)i(2x3y)(2y1)i,求实数x,y的值.

2、实数m取什么值时，复平面内表示复数z(m28m15)(m25m14)i的点（1）位于第四象限；

（2）位于第一、三象限；

（3）位于直线yx上

六、复数的发展和应用

16世纪，是一个认识数系扩充十分混乱的世纪，负数和无理数才刚刚被数学家接受，虚数的出现，使得数学家们更是一筹莫展。因为那个时代在现实世界中无法找到任何可以支持虚数的事物，就连法国数学家韦达和笛卡尔起初都曾错误的认为虚数是“虚幻之数，研究它没有任何意义”。

后来经过数学家们的深入研究与探索，复数在几何上找到“立足之地”以后，“眼见为实”的人们对它才刮目相看了，从18世纪末起，以欧拉为首的一些数学家如柯西，黎曼等的艰辛努力，使它最终发展成一门新的，独立的数学分支，叫复变函数论。

复数更多的应用是作为一种数学工具，服务于各个领域，比如复数为证明机翼上升力的基本定理起到了重要作用，为建立巨大水电站（如三峡水电站）提供了重要依据。复数还广泛应用于物理学的各个分支，比如在交流电，工程力学中的计算，计算量子力学中的震荡波产生的影响，等等。

七、师生小结：通过这堂课的学习，你有哪些收获？

八、作业（略）

九、关于教学设计的两点说明

（1）融入数学史，回归本真教学

《普通高中数学课程标准》指出：“高中数学课程应该返璞归真，努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质.”本节课教学设计可以分两课时完成，但是实际教学中，不少教师为了加快教学进度，往往一个课时就能完成复数概念和几何意义的教学。复数的学习内容简单，学生也很容易理解，适当的融入相关数系的扩充史，不但不会加重学生学习负担，反而可以扩大学生知识面，感悟数学精神，形成正确的数学观。正如M.克莱因指出：“通常的数学课程使人产生一种错觉。它们给出一个系统的逻辑叙述，使人们有这种印象：数学家们似乎理所当然的从定理到定理，数学家能克服任何困难，并且这些课程完全经过锤炼，已成定局。学生被湮没在成串的定理中，特别是当他们正开始学习这些课程的时候。......课本中字斟句酌的叙述，未能表现出创作过程中的斗争、挫折，以及在建立一个可观的结构之前，数学家所经历的艰苦漫长的道路。而学生一旦认识到这些，他将不仅获得真知灼见，还将获得顽强地追究他所攻问题的勇气，并且不会因为他所做的工作并不完美无缺而感到颓丧。实在的说，叙述数学家如何跌跤，如何在迷雾中摸索前进，并且如何零零碎碎的得到他们的成果，具有同样重要的教育价值。”

（2）凸显数学文化，培养理性思维

数学文化的教育不仅包括知识、技能、思维能力的教育，更重要的是包括了数学思想、数学悟性、数学经验和数学品质的教育。本节复数教学设计中教师可以创设富有文化气息的数学史情境，展示数学思维，发现数学规律，揭示数学本质，从而培养学生理性思维，提升学生数学文化素养和数学核心素养。

参考文献

[1]殷伟康. 让数学课堂充满数学文化的魅力——以等差数列的前n项和（一）为例[J] 上海中学数学教学.2017年第12期

[2]汪晓勤.HPM:数学史与数学教育[M].北京.科学出版社.2017 [3]徐品方

张红

宁锐. 中学数学简史[M].北京.科学出版社2017