复习参考题第一课时导学案

第44讲

基本不等式

|||| 课后练习

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[P247]

A级

1.对x∈R且x≠0都成立的不等式是(D)

11A.x＋≥2

B.x＋≤－2

xx|x|11C.2≥

D.|x＋|≥2

xx＋1211解：因为x∈R且x≠0,所以当x>0时,x＋≥2；当x<0时,－x>0,所以x＋＝－(－xxx＋1|x|1)≤－2,所以A,B都错误；又因为x2＋1≥2|x|,所以2≤,所以C错误,故选D.

－xx＋122.小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a

A.a

B.v＝ab

a＋ba＋bC.ab

D.v＝

22解：设甲地到乙地走的路程为S,则

2S2ab2abv＝＝<＝ab, SSa＋b2ab＋abv2b又因为a1,即v>a.

aa＋b123.(2015·湖南卷)若实数a,b满足＋＝ab,则ab的最小值为(C)

abA.2

B.2

C.22

D.4

12解：由＋＝ab知a>0,b>0, ab12所以ab＝＋≥2 ab12＝，ab2,即ab≥22, ab当且仅当124a＋b＝8，

44即a＝2,b＝22时取“＝”, 所以ab的最小值为22.

4.已知x>0,y>0,x＋2y＋2xy＝8,则x＋2y的最小值是(B)

A.3

B.4

911C.

D.

22解：利用基本不等式,

x＋2y2x＋2y＝8－x·(2y)≥8－(), 2整理,得(x＋2y)2＋4(x＋2y)－32≥0, 即(x＋2y－4)(x＋2y＋8)≥0, 又x＋2y>0,所以x＋2y≥4.

当且仅当x＝2,y＝1时取等号.

5.(2016·湖北省八校第二次联考)若2x＋4y＝4,则x＋2y的最大值是

2

.

解：由2x＋4y＝2x＋22y≥22x·22y＝22x得2x＋2y＋2y, 1≤4,当且仅当2x＝22y,即x＝1,y＝时等号成立,所以x＋2y≤2,所以x＋2y的最2大值为2.

6.如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x为

20

(m).

解：设矩形的高为y(m),面积为S(m2), x40－y由三角形相似得＝,即x＋y＝40.

4040x＋y2所以S＝xy≤()＝400, 2当且仅当x＝y＝20时等号成立.

7.已知x>0,y>0,且4x＋y＝1.

11(1)求＋的最小值；

xy(2)求log2x＋log2y的最大值.

1111y4x解：(1)因为＋＝(＋)(4x＋y)＝＋＋5≥2xyxyxyy4x11当且仅当＝,即x＝,y＝时,取“＝”.

xy6311所以＋的最小值为9.

xy1(2)log2x＋log2y＝log2(xy)＝log2(·4x·y)

414x＋y21≤log2[()]＝log2＝－4, 421611当且仅当4x＝y,即x＝,y＝时取“＝”.

82所以log2x＋log2y的最大值为－4.

B级

y4x·＋5＝9.

xy

8.(2016·天津河东一模)在R上定义运算⊗：x⊗y＝x(1－y).若对任意x>2,不等式(x－a)⊗x≤a＋2都成立,则实数a的取值范围是(C)

A.[－1,7]

B.(－∞,3] C.(－∞,7]

D.(－∞,－1]∪[7,＋∞)

解：由题意可知,不等式(x－a)⊗x≤a＋2可化为(x－a)(1－x)≤a＋2,即x－x2－a＋ax≤a＋2, x2－x＋2所以a≤对x>2都成立, x－2x2－x＋2即a≤().

x－2minx2－x＋24由于＝(x－2)＋＋3≥2x－2x－24x－2·＋3＝7(x>2), x－24当且仅当x－2＝,即x＝4时,等号成立,所以a≤7.

x－29.(2015·重庆卷)设a,b＞0,a＋b＝5,则a＋1＋b＋3的最大值为

32

.

解：令t＝a＋1＋b＋3,则

t2＝a＋1＋b＋3＋2a＋1b＋3

＝9＋2a＋1b＋3≤9＋a＋1＋b＋3

＝13＋a＋b＝13＋5＝18, 73当且仅当a＋1＝b＋3时取等号,此时a＝,b＝.

22所以

tmax＝18＝32.

10.某单位决定投资32000元建一仓库(长方体状),高度恒定,它的后墙利用旧墙不花钱,正面用铁栅,每米长造价400元,两侧墙砌砖,每米长造价450元,顶部每平方米造价200元,求：

(1)仓库面积S的最大允许值是多少？

(2)为使S达到最大值,而实际投资又不超过预算,那么正面铁栅应设计为多长？

解：(1)设铁栅长为x米,两侧砖墙长为y米,且x,y>0.顶部面积S＝xy, 依题意得,400x＋900y＋200xy＝32000, 由基本不等式得

32000＝400x＋900y＋200xy≥2400x·900y＋200xy

＝1200xy＋200xy, 即32000≥1200S＋200S,即S＋6S－160≤0, 令t＝S(t>0),得t2＋6t－160≤0, 即(t－10)(t＋16)≤0, 所以0

所以S的最大允许值为100平方米.

(2)由(1)S≤100,当且仅当400x＝900y,且xy＝100时等号成立,解得x＝15.

所以正面铁栅应设计为15米长.