阅读与思考 九连环教学设计第一课时

九连环与递推数列

一、教学目标：

1.

知识与技能：掌握解九连环的方法，掌握用递推数列有关知识求解九连环的最少移动步数，从而推广到解n连环. 2.

思想与方法：通过递推法来求解九连环的最少移动步数，进一步渗透化归思想；通过构造法、累加法来求解n连环的最少移动步数，进一步渗透分类讨论思想. 3.

情感、态度、价值观：通过研究九连环的来源、结构、玩法和求解最少移动步数来增强学生对九连环的学习兴趣，锻炼学生的迁移能力和逻辑推理能力，从而让学生明白数学和生活息息相关. 二、教学重点：

1.

解九连环的策略与方法. 2.

结合递推数列有关知识求解九连环的最少移动步数. 三、教学难点：

1.

将九连环问题转化为数列问题. 2.

解n连环的最少移动步数. 四、学法指导：探索式教学. 五、教具：教师自备四个九连环（二个九个环都在柄上；一个已解下前七环；一个已解下前三环），学生每人一个，多媒体辅助教学. 六、教学过程：

1.导入：四张图片（古代两张、现代两张都在解九连环）引出九连环的来源.九连环历史非常悠久，据说发明于战国时代.宋朝以后，九连环开始广为流传.在明清时期，上至士大夫，下至贩夫走卒，大家都很喜欢它.它是我国古代四大益智游戏之一，与七巧板、华容道、孔明锁一起被称为中国古典益智游戏中的“四大金刚”. 其中“七巧板”由7块板组成，玩家根据7块板，可拼成许多图形，例如三角形、平行四边形、人物、动物、桥、房、塔等;

“华容道”是一个带二十个小方格的棋盘，通过移动各个棋子，帮助曹操从初始位置移到棋盘最下方中部，从出口逃走;“孔明锁”也叫鲁班锁，玩家在玩的过程中，通过几何分割，可以组成多种锁定方式.魔方的结构原理与孔明锁基本相符，可以说孔明锁是魔方的祖先.(结合图片学生先讲，教师再补充) 今天这节课我们要着重研究一下九连环. 2.九连环的结构：

柄钗环柄19 8 7 6 5 4 3 2柄把环杆板环环杆

3.如何解九连环？（教师边讲解边展示,叫两个学生上来跟着操作，下面学生看.解下前五环后叫学生总结出解九连环的要点,教师协助.）

解九连环的要点：

（1）第一环可以自由上（下）；

（2）要想上（下）第n环（n2），必须满足两个条件：

（I）第n-1环在环柄上

（II）前n-2个环都不在环柄上

要点出来后再发下九连环让学生解前七环，比赛最快的三个同学发奖品,教师下台指导）. 4.如何解九连环这个问题我们已经解决了。那么大家有没有发现在解九连环的过程中上下移动圆环总共移了多少次？下面我们一起来探究一下.大家知道要解下九连环，必须先解下前七环；要解下前七环，必须先解下前五环；要解下前五环，必须先解下前三环；要解下前三环，必须先解下第一环.它们之间存在着一种递推关系，故我们可以用刚学过的递推数列来表示，我们用通项an表示解下前n环所需的最少移动次数.要解下九连环须分为四个步骤1.解下前七环；2.解下第九环；3.套上前七环；4解下前八环.结合flash得到：a92a7a81再归纳得到一个递推公式：an2an2an11. 利用递推公式可得：

a11a22a32a1a215a52a3a4121a72a5a6185

a42a2a3110a62a4a5142a82a6a71170a92a7a813415.我们已经得到a9，那么如何利用这个递推公式an2an2an11求通项an呢？

解：(1)an2an2an11an12an3an21(1)(2):anan22(an1an3)记bnanan2则(1)(2)

anan12an2an12an3an2bn2bn1当n3时，数列bn为等比数列(2)由(1)知bnb3qn342n32n1anan22n1

当n为奇数时：a3a122a5a324a7a526anan22n1以上式子相加:ana12224262n1an202224262n112n11n1(21)2312当n为偶数时：a4a223a6a425a8a627anan22以上式子相加:ana22325272n1an212325272n12(12n)1n1(22)3122

1n1(22)当n为偶数时

3综上知

n1n1(21)当n为奇数时

3七、小结：（1）解九连环的诀窍

（2）本节课的收获：知识、思想、方法等方面

八、课外探究题：

（1）阅读：书本P59-60阅读与思考题

（2）了解中国古代四大益智游戏：九连环、华容道、七巧板、孔明锁

（3）华生问题：上个世纪70年代早期，美国一家生产玩具的公司老板杰西华生（Jesse R. Watson）提出这样一个问题：假设九连环的初始状态是只有最靠近柄把的一个环在柄上，其他所有的环都在柄下，问解开这个九连环最少需要多少步？

九、板书设计：

1、九连环的玩法

2、九连环的步数

（1）第一环可以自由上（下）

（2）要想上（下）第n环（n>2），必须满足两个条件：

（I）第n-1环在环柄上

（II）前n-2个环不在环柄上

十、教后感：

n1

a{